5.2 课时1 y=ax^2的图像和性质-【初中必刷题】2024-2025学年九年级下册数学同步课件(苏科版)

数 学 九年级下册 苏科版 1 2 3 第5章 二次函数 4 5.2 二次函数的图像和性质 课时1 的图像和性质 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 二次函数 的图像 1.下列抛物线中，开口向下的有( ) ；；； ． B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【解析】根据二次函数的图像及性质，即二次项系数小于0时图像开口向下可知， 图像开口向下的是①④，共2个.故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7 2.【2023广东珠海质检】抛物线，，， 中，开 口最大的是抛物线( ) A A. B. C. D. 【解析】 二次函数中 的值越小，函数图像的开口越大, ， 抛物线，，， 中， 开口最大的是抛物线 .故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 3.【2024江苏苏州调研】二次函数 的图像是一条抛物线，若抛物线 开口向上，则 的取值范围是______. 【解析】 二次函数的图像开口向上，， ，故答 案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 知识点2 二次函数 的性质 4.【2024江苏常州质检】在同一平面直角坐标系中，画函数, , 的图像，它们图像的共同特点是( ) B A.都是关于 轴对称，抛物线开口向上 B.都是关于 轴对称，抛物线的顶点都是原点 C.当时，随 的增大而增大 D.抛物线的顶点都是原点，顶点是抛物线的最低点 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 【解析】在同一平面直角坐标系中，画函数 , ,的图像，如图所示.函数 的图像开 口向下，故A选项错误，不符合题意；三个函数的图像都是关于 轴对称，抛物线的顶点都是原点，故B选项正确，符合题意； 函数，当时，随 的增大而减小，故C选项错误， 不符合题意；函数 的图像的顶点是最高点，故D选项错误，不符合题意. 故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5.【2023安徽合肥模拟】已知点，， 在同一个函数的 图像上，这个函数可能是( ) D A. B. C. D. 【解析】，， 点A与点B关于轴对称， 符合题意的只有C， D选项.由，可知，在对称轴的右侧，随 的增大而减小.由二 次函数的性质可知，当时，在对称轴的右侧，随的增大而减小， 符合题 意的只有D选项.故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 6.已知点,是函数的图像上的两点，且当 时，有，则 的取值范围是_______. 【解析】 当时，有，， ．故答案为 ． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 13 7.【2024北京密云区期末】若点，， 三点都在二次函数 的图像上，则，，的大小关系是_____________.（用“ ”连接） 【解析】 在中，，的图像开口向下，对称轴为 轴， 距离轴越远的点的纵坐标越小.， ， 故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 14 关键点拨 本题考查比较二次函数值的大小，二次函数 的图像开口向下，对称轴为 轴，离对称轴越远的点的纵坐标越小，由此可解. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 8.如图，边长为2的正方形的中心为平面直角坐标系的原点， 轴，以 为顶点且过，两点的抛物线与以为顶点且过， 两点的抛物线将正方形分 割成几部分，则图中阴影部分的面积是___. 2 【解析】根据题意可得 .故答案为2. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 16 9.已知函数是关于 的二次函数. 【解】是关于的二次函数， 且 ，解得或 . （1）当为何值时，该函数图像的开口向下？此时当为何值时，随 的增大而减小？ 【解】当时，， 当 时，函数图像开口向下,此时 当时，随 的增大而减小. （2）当为何值时，该函数有最小值？此时当为何值时，随 的增大而增大？ 【解】当时， ，函数图像开口向上，函数有最小值,此时当 时，随 的增大而增大. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 17 刷易错 易错点 求最值时，忽略顶点处取最值致错 10.在这个范围内,二次函数 的最大值为____，最小值为___. 16 0 【解析】当时,随的增大而减小，此时, . 当时,随的增大而增大，此时, .综上所述,在 这个范围内，函数有最大值16,最小值0.故答案为16,0. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 18 易错警示 此题容易忽略在顶点处取最小值，误认为在端点处取最小值. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 19 提升 1.【2023江苏苏州期末，中】如图，当时，函数与函数 的图像大致是( ) C A. B. C. D. 【解析】当时,,，的图像开口向上， 的 图像经过第一、二、三象限；当时，，， 的图像 开口向下， 的图像经过第二、三、四象限.综上可知，C选项符合.故选C. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 20 思路分析 分和两种情况讨论.当时，由可知;当 时，由 可知 ，分别分析图像即可确定正确的选项. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 21 （第2题图） 2.【2024江苏宿迁期末，中】如图，正方形的顶点 在二次 函数的第一象限的图像上，若点 的横坐标与纵坐标之和等 于6，则对角线 的长为( ) C A.2 B. C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 22 思路分析 抛物线与几何的综合 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 23 【解析】设点B的横坐标为 点B的横坐标与纵坐标之和等于6， 点B的纵坐标 为 点B在二次函数的第一象限的图像上， ，解得 （不合题意，舍去），，， 点B的坐标为 .如图， 连接，则.四边形是正方形， . 故选C. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 24 （第3题图） 3.【2024河南商丘调研，中】如图，正方形四个顶点的坐标依次为 ，，，，若抛物线 与正方形的边有公共 点，则实数 的取值范围是__________. 【解析】当抛物线经过时，;当抛物线 经 过时，,.故观察图像可知 时，抛物线 与正方形的边有公共点.故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 25 （第4题图） 4.【2023天津武清区调研，中】如图，在平面直角坐标系中有 ，两点，若抛物线与线段 没有 公共点，则 的取值范围是_________________. 或 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 26 思路分析 二次函数图像与线段的公共点问题 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 27 【解析】当点在抛物线上时，将代入，得.当 时，抛物 线开口变小，符合题意.当点在抛物线上时，将代入，得 ， 解得.当时，抛物线开口变大，符合题意.综上所述， 的取值范围为 或.故答案为或 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 28 （第5题图） 5.［中］如图，正方形的边长为，与 轴的正半轴的 夹角为 ，点在抛物线的图像上，则 的值为 __. 【解析】如图，连接 四边形是边长为 的正方形， ，.过点作轴于与 轴正半 轴的夹角为 ， ， ，，， 点 的坐标为 点在抛物线的图像上，，解得 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 29 关键点拨 ①正方形的四边相等，且对角线将直角分成两个 的角.②在直角三角形中, 角所对的直角边等于斜边的一半. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 30 6.［较难］如图，点，，， ，在二次函数 第一象限的图像上， 点，，， ，在轴上.若,, , 都为等腰 直角三角形（点与坐标原点重合），则 的腰长为_________. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 31 【解析】如图，作轴，轴，垂足分别为， ，作 轴，轴，垂足分别为,， 都是等腰直角三角形， ， .设，则，将其代入表达式 ， 得，解得（不合题意，舍去）或， . 由勾股定理得.设点，可得 , .又 点在抛物线上，，，解得 或 （不合题意，舍去），.同理可得 ， ， ，， 的腰长为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 32 刷素养 走向重高 7.思想方法 分类讨论【2024湖南益阳期中，较难】在平面直角坐标系 中，直 线与轴交于点，与抛物线交于， 两点 （在 的左边）. （1）求 点的坐标； 【解】令，得，故点的坐标为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 33 （2）如图（1），若点关于轴的对称点为点，当以点，， 为顶点的三角 形是直角三角形时，求实数 的值； 图（1） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 34 【解】联立直线与抛物线 得 ，或，， 点 关于轴的对称点为点， ， ， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 35 若 ，则，即 ， （负值已舍去）;若 ，则 ，即 ，（负值已舍去）;若 ，则 ，即 ，此方程无实数解. 或 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 （3）定义：将平面直角坐标系中横坐标与纵坐标均为整数的点叫做整点，如 ，均为整点.如图（2），直线与抛物线 所围成的封闭图形 （即阴影部分，不包含边界）内的整点数恰好是26个，求 的取值范围. 图（2） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 37 【解】如图，直线与抛物线 所围成的封闭图形（即阴影部 分，不包含边界）内的整点只能落在轴和直线 上. ，，， 整点数恰 好是26个， 落在轴和直线 上的整点数应各为13个.由 落在轴的整点有13个得，即 .①若 ，则， 线段上的整点应该为，， ， ，,, ；②若，则 ， ， 线段上的整点正好有13个.综上，或 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 38 思路分析 （2）表示出，， ,利用勾股定理列方程并求解，因为直角顶点不确 定，所以需分类讨论. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 39 $$