第10讲 函数的零点及二分法（八大重难点）-2024-2025学年高一数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版2019必修第一册）

2024-2025学年高一数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版2019必修第一册） 第10讲 函数的零点及二分法 一、函数的零点 1．函数零点的概念 对于函数，我们把使成立的实数x叫做函数的零点． 2．函数的零点与方程的根之间的联系 函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与x轴的交点的横坐标即方程有实数根⇔函数的图象与x轴有交点⇔函数有零点． 3．零点存在性定理 如果函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根. 4．常用结论 （1）若连续不断的函数是定义域上的单调函数，则至多有一个零点； （2）函数有零点方程有实数根函数与的图象有交点； （3）函数有零点方程有实数根函数与的图象有交点，其中为常数. 二、二分法 1．二分法的定义：对于在区间上图象连续不断且的函数,通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 温馨提示：二分就是将所给区间平均分成两部分,通过不断逼近的办法,找到零点附近足够小的区间,根据所要求的精确度,用此区间的某个数值近似地表示真正的零点． 2．二分法求函数零点的一般步骤 给定精确度,用二分法求函数零点近似值的一般步骤如下： （1）确定的初始区间,验证； （2）求区间的中点； （3）计算,并进一步确定零点所在的区间 ①若 (此时),则就是函数的零点； ②若 (此时零点),则令； ③若 (此时零点),则令. （4）判断是否达到精确度：即若,则得到零点近似值(或)；否则重复步骤（2）～（4）． 重难点01求函数的零点（方程的根）及所在区间 【解题必备】判断函数零点所在区间的3个步骤： ①代入：将区间端点值代入函数求出函数的值；②判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断； ③结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点． 例1．已知函数，则函数的零点为 ． 例2．已知函数，则函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【跟踪练习】 练习1．根据表格中的数据，可以判断方程的一个根所在的区间是（    ） x -1 0 1 2 3 0.37 1 2.72 7.39 20.09 1 2 3 4 5 A． B． C． D． 练习2．已知函数，则函数的零点为 . 练习3．已知函数，则函数的所有零点构成的集合为 . 练习4．若函数的近似零点在区间内，，则 . 重难点02由函数零点所在区间求参数 例3．函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例4．设函数，为常数.若存在，使得，则实数的取值范围是 . 【跟踪练习】 练习1．函数在内存在一个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 练习2．若函数在存在零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．∪ 练习3．（多选）已知函数的零点，且m，n满足，则k的可能值为（    ） A． B． C． D．0 练习4．若函数在区间上存在零点，则常数a的取值范围为 ． 重难点03判断函数零点个数 【解题必备】判断函数零点个数的方法： ①图象法：结合函数图象进行判断，即转化为两函数图象的交点个数问题． ②单调性法：借助函数的单调性进行判断．若函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且在区间上单调,满足,则函数在区间上有且仅有一个零点, 例5．函数的零点的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 例6．已知函数则当时，函数在区间内的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【跟踪练习】 练习1．函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 练习2．函数零点的个数为（  ） A．0 B．1 C．2 D．4 练习3．若偶函数满足且时，，则方程的根有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 练习4．（多选）已知函数，则关于的方程根的个数可能是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 重难点04二分法的使用条件及求零点近似值 【解题必备】利用二分法求方程近似解（函数零点）的步骤： ①构造函数,利用图象确定方程的解所在的大致区间,通常限制在区间. ②利用二分法求出满足精确度的方程的解所在的区间. ③区间内的任一实数均是方程的近似解,通常取区间的一个端点． 例7．下列函数中，不能用二分法求零点的是（　　） A． B． C． D． 例8．用二分法可以求得方程的近似解(精确度为0.1)为（    ） A． B． C． D． 【跟踪练习】 练习1．以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点近似值的是（    ） A．   B．   C．   D．   练习2．已知函数的部分函数值如下表所示： 1 0.625 0.5625 0.632 0.2776 0.0897 那么的一个零点的近似值（精确到0.01）为（    ） A．0.55 B．0.57 C．0.65 D．0.70 练习3．若用二分法求方程在初始区间内的近似解，则第三次取区间的中点 . 练习4．用二分法求方程的一个正实数近似解（精确度0.05） 重难点05二分法的次数确定 例9．已知函数在区间内有一个零点，且的部分函数值数据如下：，，，，，，，要使零点的近似值精确度为，则对区间的最少等分次数和近似解分别为（    ） A．6次， B．6次， C．7次， D．7次， 例10．已知函数在内有零点，用二分法求零点的近似值（精确度为0.1）时，则对区间至少需要的等分次数为 ． 【跟踪练习】 练习1．已知函数为上的连续函数，且，使用二分法求函数零点，要求近似值的精确度达到0.1，则需对区间至少二分的次数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 练习2．用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为时，所需二分区间的次数最少为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 练习3．已知图象连续不断的函数 在区间 上有唯一零点，如果用二分法求这个零点（精确度为 ）的近似值，那么将区间等分的次数至少是 . 练习4．用二分法求方程的正实数根的近似解（精确度0.0001）时，如果我们选取初始区间是，则要达到精确度至少需要计算的次数是 . 重难点06已知函数零点个数求参数 【解题必备】已知函数零点个数求参数常用的方法： ①直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； ②分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； ③数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 例11．已知，函数在上没有零点，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 例12．已知函数，有两个零点，则实数的取值范围是 . 【跟踪练习】 练习1．已知函数的图象与直线恰有2个公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 练习2．已知函数，且方程的实数解个数为，则的取值范围为 . 练习3．对实数和，定义运算“◎”：，设函数，.若函数的图象与轴恰有个公共点，则实数的取值范围是 . 练习4．已知定义在R上的偶函数满足，且在区间上，若关于x的方程有三个不同的实根，则a的取值范围为 . 重难点07零点之和问题 例13．定义在上的奇函数满足，且在上单调递减．若方程在上有实数根，则方程在区间上的所有实数根之和是 . 例14．已知函数，若互不相等的实数，，，，，满足，则的取值范围是 . 【跟踪练习】 练习1．已知函数的零点分别为，，，则（   ） A．0 B．2 C．4 D．6 练习2．已知定义在上的奇函数满足，且在上单调递减，若方程在上有实数根，则方程在上的所有实根之和为（    ） A． B． C． D． 练习3．已知函数，若有四个解，则的取值范围是 ． 练习4．已知函数，其中． (1)直接写出的零点； (2)讨论关于x的方程的解的个数； (3)若方程有四个不同的根，，，，直接写出这四个根的和． 重难点08镶嵌函数的零点问题 【解题必备】处理复合函数的零点问题的方法： ①确定内层函数和外层函数；②确定外层函数的零点； ③确定直线与内层函数图象的交点个数分别为、、、、，则函数的零点个数为 例15．已知，则方程实数根的个数是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 例16．已知函数，若方程有且仅有一根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪练习】 练习1．已知函数则方程的实数个数为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 练习2．已知函数，若关于的方程有5个不同的实数根，则的取值范围为 ․ 练习3．已知函数，设方程（a为常数）的实数解的个数为n，则n的取值构成的集合为 ． 练习4．设，函数，当时，函数有 个零点；若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为 ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高一数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版2019必修第一册） 第10讲 函数的零点及二分法 一、函数的零点 1．函数零点的概念 对于函数，我们把使成立的实数x叫做函数的零点． 2．函数的零点与方程的根之间的联系 函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与x轴的交点的横坐标即方程有实数根⇔函数的图象与x轴有交点⇔函数有零点． 3．零点存在性定理 如果函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根. 4．常用结论 （1）若连续不断的函数是定义域上的单调函数，则至多有一个零点； （2）函数有零点方程有实数根函数与的图象有交点； （3）函数有零点方程有实数根函数与的图象有交点，其中为常数. 二、二分法 1．二分法的定义：对于在区间上图象连续不断且的函数,通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 温馨提示：二分就是将所给区间平均分成两部分,通过不断逼近的办法,找到零点附近足够小的区间,根据所要求的精确度,用此区间的某个数值近似地表示真正的零点． 2．二分法求函数零点的一般步骤 给定精确度,用二分法求函数零点近似值的一般步骤如下： （1）确定的初始区间,验证； （2）求区间的中点； （3）计算,并进一步确定零点所在的区间 ①若 (此时),则就是函数的零点； ②若 (此时零点),则令； ③若 (此时零点),则令. （4）判断是否达到精确度：即若,则得到零点近似值(或)；否则重复步骤（2）～（4）． 重难点01求函数的零点（方程的根）及所在区间 【解题必备】判断函数零点所在区间的3个步骤： ①代入：将区间端点值代入函数求出函数的值；②判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断； ③结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点． 例1．已知函数，则函数的零点为 ． 【答案】1 【详解】因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 又，所以函数的零点为1. 故答案为：1. 例2．已知函数，则函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图：作出与的图象，两图象只有一个交点，即有且只有一个零点， ， 所以，且在上是连续函数，故的零点在上， 故选：C. 【跟踪练习】 练习1．根据表格中的数据，可以判断方程的一个根所在的区间是（    ） x -1 0 1 2 3 0.37 1 2.72 7.39 20.09 1 2 3 4 5 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，由表格中的数据得， ，， ，，， 所以， 又的图象是连续不断的， 所以在内有零点． 故选：. 练习2．已知函数，则函数的零点为 . 【答案】/ 【详解】易知将化简可得： ； 令函数，显然的定义域为， 且满足，因此即可得函数为奇函数，且为单调递增， 若，解得； 令，可得，解得； 即可得函数的零点为. 故答案为： 练习3．已知函数，则函数的所有零点构成的集合为 . 【答案】 【详解】因为函数 所以等价于或, 求解可得，， 即或或或， 求解可得，， 故答案为：. 练习4．若函数的近似零点在区间内，，则 . 【答案】2 【详解】∵， ∴函数零点在区间内， ∴. 故答案为：2. 重难点02由函数零点所在区间求参数 例3．函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若函数在区间上存在零点， 由函数在的图象连续不断，且为增函数， 则根据零点存在定理可知，只需满足， 即， 解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 例4．设函数，为常数.若存在，使得，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为存在，使得， 所以函数在上有零点. 当时，不存在零点， 当时，为一次函数形式，具有单调性， 由函数零点存在性定理知，即， 解得或. 故答案为：. 【跟踪练习】 练习1．函数在内存在一个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【详解】解：因为函数在单调递增，且在内存在一个零点， 所以，解得， 所以实数的取值范围是， 故选：B 练习2．若函数在存在零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．∪ 【答案】D 【详解】当时，，不存在零点； 当时，是一次函数，必然单调， 故只需即可，即，解得或， 即的取值范围是∪， 故选：D 练习3．（多选）已知函数的零点，且m，n满足，则k的可能值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】BC 【详解】在R上单调递增，下面开始赋值： 当或，满足题意， 故选：BC． 练习4．若函数在区间上存在零点，则常数a的取值范围为 ． 【答案】 【详解】因为在上均为增函数， 则函数在区间上为增函数，且函数图象连续不间断， 故若在区间上存在零点，则，可得． 故答案为：. 重难点03判断函数零点个数 【解题必备】判断函数零点个数的方法： ①图象法：结合函数图象进行判断，即转化为两函数图象的交点个数问题． ②单调性法：借助函数的单调性进行判断．若函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且在区间上单调,满足,则函数在区间上有且仅有一个零点, 例5．函数的零点的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】由题意知，函数的定义域为．令， 在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，如图所示． 由图得两个函数图象有2个交点，故函数有2个零点. 故选：C． 例6．已知函数则当时，函数在区间内的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】函数在区间内的零点，可等价于方程的根， 进一步转化为分段函数在区间内与过定点的直线的函数图象的交点． 作出分段函数的在区间内图象，如下图所示：    又因为直线过定点且斜率， 则直线必然与线段OB相交于一点，故交点个数有2个， 函数在区间内的零点个数为2． 故选：C． 【跟踪练习】 练习1．函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】令，则， 在同一直角坐标系中作出的图象，    由图可知，的图象有1个交点， 则函数有1个零点． 故选：B． 练习2．函数零点的个数为（  ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【详解】单调递增，又，， 故在上有唯一的零点. 故选：B 练习3．若偶函数满足且时，，则方程的根有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 【答案】C 【详解】方程的解的个数， 等价于的图象与函数的图象的交点个数， 因为函数满足， 所以周期， 当时，，且为偶函数， 在同一个坐标系中画出函数的图象与函数的图象，如图所示： 显然函数的图象与函数的图象有个交点， 故有4个实数根. 故选：C. 练习4．（多选）已知函数，则关于的方程根的个数可能是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】ABD 【详解】作出函数的图象，如图所示： 将原问题转化为直线（过定点）与函数的图象交点的个数， 由图可知，当时，直线与函数的图象只有一个交点； 当时，直线与函数的图象没有交点； 当时，直线与函数的图象有三个交点； 所以直线与函数的图象不可能有两个交点． 故选：ABD． 重难点04二分法的使用条件及求零点近似值 【解题必备】利用二分法求方程近似解（函数零点）的步骤： ①构造函数,利用图象确定方程的解所在的大致区间,通常限制在区间. ②利用二分法求出满足精确度的方程的解所在的区间. ③区间内的任一实数均是方程的近似解,通常取区间的一个端点． 例7．下列函数中，不能用二分法求零点的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】不能用二分法求零点的函数，要么没有零点，要么零点两侧同号； 对于A，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点； 对于B，有唯一零点， 但恒成立，故不可用二分法求零点； 对于C，有两个不同零点，且在每个零点左右两侧函数值异号，故可用二分法求零点； 对于D，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点. 故选：B. 例8．用二分法可以求得方程的近似解(精确度为0.1)为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，记其零点为， 易知，所以， 又，所以， 因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 又， 所以区间内的实数均可作为方程的近似解. 故选：D 【跟踪练习】 练习1．以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点近似值的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【详解】由二分法的定义，可知只有当函数在区间上的图象连续不断，且， 即函数的零点是变号零点时，才能将区间一分为二，逐步得到零点的近似值． 对各选项分析可知，选项A，B，D都符合，而选项C不符合， 因为在零点两侧函数值不异号，因此不能用二分法求函数零点的近似值． 故选：C. 练习2．已知函数的部分函数值如下表所示： 1 0.625 0.5625 0.632 0.2776 0.0897 那么的一个零点的近似值（精确到0.01）为（    ） A．0.55 B．0.57 C．0.65 D．0.70 【答案】B 【详解】因为在上均单调递增， 则函数在R上单调递增， 由数表知：， 由零点存在性定义知，函数的零点在区间内， 所以函数的一个零点的近似值为. 故选：B 练习3．若用二分法求方程在初始区间内的近似解，则第三次取区间的中点 . 【答案】/0.625 【详解】设， 则，， ∴第一次取区间的中点， ，∴，∴的零点所在的区间为， ∴第二次取区间的中点， ，∴，∴的零点所在的区间为， ∴第三次取区间的中点. 故答案为：. 练习4．用二分法求方程的一个正实数近似解（精确度0.05） 【答案】 【详解】令， 经计算，, 所以函数在内存在零点， 即方程在内有解． 取的中点，经计算又， 所以方程在内有解． 如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如下表： 中点 由于， 所以方程的一个正实数近似解可取为. 重难点05二分法的次数确定 例9．已知函数在区间内有一个零点，且的部分函数值数据如下：，，，，，，，要使零点的近似值精确度为，则对区间的最少等分次数和近似解分别为（    ） A．6次， B．6次， C．7次， D．7次， 【答案】D 【详解】由题中数据知，零点区间变化如下： ， 此时区间长度小于，在区间内取近似值，最少等分了7次，近似解取. 故选：D. 例10．已知函数在内有零点，用二分法求零点的近似值（精确度为0.1）时，则对区间至少需要的等分次数为 ． 【答案】4 【详解】设函数的零点为，取区间的中点， 且，，， 所以． 取区间的中点，且， 所以． 取区间的中点，且， 所以． 取区间的中点，且， 所以． 又，故至少需要等分4次． 故答案为： 【跟踪练习】 练习1．已知函数为上的连续函数，且，使用二分法求函数零点，要求近似值的精确度达到0.1，则需对区间至少二分的次数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】区间的长度为1，没经过一次操作，区间长度变成原来的一半， 经过次后，区间长度变成，则，即，故对区间只需要分4次即可． 故选：C. 练习2．用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为时，所需二分区间的次数最少为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】因为开区间的长度等于1，每经这一次操作，区间长度变为原来的一半， 所以经过次操作后，区间长度变为， 令，解得，且， 故所需二分区间的次数最少为7. 故选：C. 练习3．已知图象连续不断的函数 在区间 上有唯一零点，如果用二分法求这个零点（精确度为 ）的近似值，那么将区间等分的次数至少是 . 【答案】 【详解】设需要计算次，则满足， 即，由于，， 所以将区间等分的次数至少是次. 故答案为：. 练习4．用二分法求方程的正实数根的近似解（精确度0.0001）时，如果我们选取初始区间是，则要达到精确度至少需要计算的次数是 . 【答案】 【详解】设要达到精确度需要计算次，且为整数， 由题意可得：，解得：. 故答案为：10 重难点06已知函数零点个数求参数 【解题必备】已知函数零点个数求参数常用的方法： ①直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； ②分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； ③数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 例11．已知，函数在上没有零点，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】时，， 若无解，则或； 时，， 若无解，则， 则. 故选：D． 例12．已知函数，有两个零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意可知：若，则均在上单调递增， 即在上单调递增，不会有两个零点，则不符合题意； 若，，仍在上单调递增，不会有两个零点，则不符合题意； 故，利用对勾函数的单调性知要符合题意需， 而， 即，时取得最小值， 所以. 故答案为： 【跟踪练习】 练习1．已知函数的图象与直线恰有2个公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，则，由题意有两个零点， 或， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，，或， 当时，，或， 当时，，或， 当时，，或， 综上所述，满足题意的的取值范围为 . 故选：A. 练习2．已知函数，且方程的实数解个数为，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】因为， 当时，，函数在上单调递减，上单调递增， ，， 当时，，函数在上单调递增．    所以，当直线与函数的图象只有一个交点时，， 则的取值范围是． 故答案为：． 练习3．对实数和，定义运算“◎”：，设函数，.若函数的图象与轴恰有个公共点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】根据运算“◎”的定义可得， 即可得， 画出函数图象如下图所示： 若函数的图象与轴恰有个公共点， 即函数与函数的图象有两个交点， 由图可知，当处在图中长虚线位置以及轴处时满足题意， 此时或或. 因此实数的取值范围是. 故答案为： 练习4．已知定义在R上的偶函数满足，且在区间上，若关于x的方程有三个不同的实根，则a的取值范围为 . 【答案】 【详解】由知，函数的周期为4，又函数为偶函数，所以，所以函数图象关 于对称，且， 要使方程有三个不同的根，则满足, 如图，解得. 故答案为：.    重难点07零点之和问题 例13．定义在上的奇函数满足，且在上单调递减．若方程在上有实数根，则方程在区间上的所有实数根之和是 . 【答案】 【详解】由知函数的图象关于直线对称， 所以， 由是上的奇函数知，， 所以， 所以，， 所以是以为周期的周期函数． 考虑的一个周期，例如， 由在上是减函数知在上是增函数， 在上是减函数，在上是增函数． 对于奇函数有，则， 故当时，，当时，， 当时，，当时，， 因为方程在上有实数根，则这个实数根是唯一的，因为在上是单调函数， 则由于，故方程在上有唯一实数． 在和上，故方程在和上无实数根， 由于为奇函数，方程在上有唯一实根，在上有唯一实根， 在上，则方程在上没有实数根， 从而方程在一个周期内有且仅有两个实数根， 当，方程的两实数根之和为， 当，方程的所有四个实数根之和为． 故答案为： 例14．已知函数，若互不相等的实数，，，，，满足，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】根据解析式可得草图如下：    要使互不相等的实数满足， 由图知：，，，且， 令，则或；令，则或；令，则； 令，则；令，则；令，则或； 所以， 所以，在上递增， 所以. 故答案为： 【跟踪练习】 练习1．已知函数的零点分别为，，，则（   ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】A 【详解】由题设，，，， 所以问题可转化为与、、的交点问题，函数图象如下： 因为与关于对称，而与互相垂直， 所以，，则. 故选：A 练习2．已知定义在上的奇函数满足，且在上单调递减，若方程在上有实数根，则方程在上的所有实根之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由可知，函数关于对称， 由函数是奇函数，可知，，即， 则，所以函数的周期为， 如图，根据函数的性质，画出函数的示意图，    由对称性可知，方程在上有一个实数根，根据函数关于对称， 可知在上也有一个实数根，再根据函数的周期性，如图，得到与在区间的6个交点， 利用对称性可知，，，， 所以方程在上的所有实根之和为. 故选：A 练习3．已知函数，若有四个解，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】当时，在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为， 当时，在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为， 显然函数在上的图象关于直线对称，如图， 方程的四个解是直线与曲线的四个交点横坐标为， 显然，不妨令，则有，，有， 因此，而对勾函数在上单调递增，则，即， 所以的取值范围是. 故答案为： 练习4．已知函数，其中． (1)直接写出的零点； (2)讨论关于x的方程的解的个数； (3)若方程有四个不同的根，，，，直接写出这四个根的和． 【答案】(1)－1和3； (2)答案见解析 (3)． 【详解】（1）解方程，即， 解得或， 所以，函数的零点为－1和3； （2）则函数的图象如下图所示： 方程的解的个数等于函数和图象的交点个数，如下图所示： 当时，方程无实根； 当或时，方程有2个实根； 当时，方程有4个实根； 当时，方程有3个实根． （3）由图象可知，函数的图象关于直线对称， 因此． 重难点08镶嵌函数的零点问题 【解题必备】处理复合函数的零点问题的方法： ①确定内层函数和外层函数；②确定外层函数的零点； ③确定直线与内层函数图象的交点个数分别为、、、、，则函数的零点个数为 例15．已知，则方程实数根的个数是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】解：①当时， ， 解得，， 或， 或， 故或； ②若，则， 或， 或， 若，则或， 则或或； 若，则或， 则（舍去）或或， 综上所述，方程实数根的个数是7， 故选：C． 例16．已知函数，若方程有且仅有一根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若，则， 而当时，当时，所以无解； 若，则或， 其中有一根为，则由题意知无解， 而当时，当时，所以的值域为， 从而，解得，所以. 综上，的取值范围是， 故选：A. 【跟踪练习】 练习1．已知函数则方程的实数个数为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【详解】函数的部分图象如图所示. 由方程，解得或. 当时，有5个实根，当时，有6个实根， 故方程的实根个数为11. 故选：C. 练习2．已知函数，若关于的方程有5个不同的实数根，则的取值范围为 ․ 【答案】 【详解】当时，在上单调递增，函数值集合为， 在上单调递减，函数值集合为， 当时，在上单调递增，函数值集合为， 函数的图象如下：    方程化为，解得或， 方程有5个不等的实数根， 等价于与的图象与直线和共有五个交点，而， 因此或，解得或， 所以的取值范围为. 故答案为： 【点睛】思路点睛：涉及给定函数零点个数求参数范围问题，可以通过分离参数，等价转化为直线与函数图象交点个数，数形结合推理作答. 练习3．已知函数，设方程（a为常数）的实数解的个数为n，则n的取值构成的集合为 ． 【答案】 【详解】作出的图象如下： 当时，若，则，此时满足的有一个实数根，所以， 当时，若，则或，此时满足有3个实数根，满足的有1个实数根，故共有4个实数根，所以， 当时，若，则或，或，满足有1个实数根，满足有2个实数根，满足有3个实数根，故此时满足条件的共有6个实数根，所以， 当时，若，则或，或，满足有1个实数根，满足有1个实数根，或有2个实数根，此时满足条件的共有4个实数根，所以， 当时，若，则或，此时满足有1个实数根，满足有1个实数根，故满足条件的共有2个实数根，所以， 当时，若，则，此时满足条件的有1个实数根，所以， 当时，若，则，此时满足条件的有1个实数根，所以， 综上可得的取值集合为， 故答案为： 练习4．设，函数，当时，函数有 个零点；若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为 ． 【答案】 2 【详解】当时，，令，解得， 令，则，故或，此时有2个零点， 设，当时，，此时， 由得，即，解得或， 所以在,上有2个零点， 时，若，，对称轴为， 函数的大致图象如下： 此时，即，则， 所以无解，则无零点，无零点， 综上，此时只有两个零点，不符合题意， 若，此时的大致图象如下： 令，解得， 显然令在上存在唯一负解， 要使恰有3个零点， 只需在上除或外不能再有其他解， 即不能再有除或外的其他解， 故，即，解得，所以． 故答案为：2， 2 学科网（北京）股份有限公司 $$