精品解析：2025届四川省泸州市高三第一次质量诊断性考试（一模）数学试题

泸州市高2022级第一次教学质量诊断性考试 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．共150分．考试时间120分钟． 注意事项： 1，答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑． 3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设为等差数列的前项和，若，则的公差为（ ） A. B. 1 C. D. 2 3. 已知函数，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数在处取得极大值，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知平面向量，则的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若复数满足，则（ ） A. B. 的虚部为 C. 为纯虚数 D. 10. 已知函数，则（ ） A. 是的一个周期 B. 的图象关于直线对称 C. 在上单调递减 D. 的最小值为 11. 已知函数的定义域为，若，则（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 注意事项： （1）非进择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效， （2）本部分共8个小题，共92分 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分 12. 已知向量，则在上的投影向量的坐标为______. 13. 已知函数，对任意实数，方程都有解，则实数的取值范围是_____________. 14. 设函数，当时，，则的值为______. 四、解答题：本大题共5小题，共T7分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数， （1）求不等式的解集； （2）将图象上所有点的横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，得到的图象，求曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积． 16. 设为数列的前项和，且． （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，，求的值． 17. 设的内角的对边分别为，且． （1）求； （2）若的最大值为，求的值． 18. 已知函数． （1）证明：为奇函数； （2）求的导函数的最小值； （3）若恰有三个零点，求的取值范围． 19. 对于，若数列满足，则称这个数列为“优美数列”． （1）已知数列是“优美数列”，求实数的取值范围； （2）若首项为1的等差数列为“优美数列”，且其前项和满足恒成立，求的公差的取值范围； （3）已知各项均为正整数的等比数列是“优美数列”，数列不是“优美数列”，若，试判断数列是否为“优美数列”，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泸州市高2022级第一次教学质量诊断性考试 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．共150分．考试时间120分钟． 注意事项： 1，答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑． 3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式不等式化简集合A，即可得结果. 【详解】因为， 且，所以. 故选：D. 2. 设为等差数列的前项和，若，则的公差为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列前n项和及等差数列的性质求公差. 【详解】由题设，又，故， 所以的公差. 故选：C 3. 已知函数，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导分析函数单调性，利用函数单调性解不等式可得结果. 【详解】∵， ∴， ∴在上为增函数， 由得，，解得，故的取值范围是. 故选：B. 4. 已知函数在处取得极大值，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据极值点求参数，再由所得参数验证在处是否取得极大值，即可得答案. 【详解】由题设，则，可得或， 当时， 当或时，则在和上递增， 当时，则在上递减， 此时在处取得极小值，不符； 当时， 当或时，则在和上递增， 当时，则在上递减， 此时在处取得极大值，符合； 综上，. 故选：C 5. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分不必要条件判断即可. 【详解】由可知， 所以， 所以充分性成立， 当时，满足， 但是不成立， 所以必要性不成立， 故选：A． 6. 若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，由的范围求出的范围，再由正弦函数的单调性列不等式求解即可. 【详解】由题意设，由，所以， 则在上单调递增， 所以，解得，又， 所以，即的取值范围是. 故选：B. 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用差角正切公式列方程求得，再由倍角正弦公式及齐次式化弦为切求值. 【详解】由， 而，可得， 所以. 故选：A 8. 已知平面向量，则的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】由题设分别在以为原点，半径为的圆上运动，且，数形结合及向量加法的几何意义确定的范围，即可得答案. 【详解】由题设，分别在以为原点，半径为的圆上运动，且， 所以，若是的中点，则，而，如下图示， 由图知，，而，即. 所以的最小值是. 故选：D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若复数满足，则（ ） A. B. 的虚部为 C. 为纯虚数 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】设，由条件可得.由复数模长公式可得选项A错误；由复数的概念可得选项B正确；通过复数的除法运算可得选项C正确；通过复数乘方运算可得选项D正确. 【详解】设，则，∴， ∴，解得，故. A. ，选项A错误. B. 的虚部为，选项B正确. C. ，为纯虚数，选项C正确. D. 由得，故，选项D正确. 故选：BCD. 10. 已知函数，则（ ） A. 是的一个周期 B. 的图象关于直线对称 C. 在上单调递减 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】通过可得选项A正确；由可得选项B错误；求导函数可得当时，，选项C正确；通过分析函数单调性可得选项D正确. 【详解】A. ，是的一个周期，选项A正确. B. ，，的图象不关于直线对称，选项B错误. C. ， 当时，，，故， 所以在上单调递减，选项C正确. D.由选项C得，，， 由得，，， 由得，，， 所以在上为增函数，在上为减函数， 所以，选项D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数的定义域为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】应用赋值法可求得，和，变换可得，与联立即可求得，应用可得，进而可得. 【详解】因为所以所以， 取，由可知，，故A错误； 取，由知，， 所以，故B正确； 令，由知，，即， 又因为，所以，故C错误； 由得，， 所以， 所以，所以， 又，所以， 所以，故D正确. 故选：BD 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 注意事项： （1）非进择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效， （2）本部分共8个小题，共92分 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分 12. 已知向量，则在上的投影向量的坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量的坐标运算计算，利用投影向量的公式即可计算结果. 【详解】由题意得，，，， 所以在上的投影向量为. 故答案为：. 13. 已知函数，对任意实数，方程都有解，则实数的取值范围是_____________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得值域为，再结合分段函数性质，分别计算在时及时的值域即可得. 【详解】由题意可得值域为，当时，， 则当时，对，有，解得， 故实数的取值范围为. 故答案为：. 14. 设函数，当时，，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦型函数的性质得时有或，时有，且在上递减，在上递增，结合题设判断的开口方向和零点，即可得结果. 【详解】由题设， 当， 所以或，即或， 当， 所以，即， 根据余弦型函数的性质易知：在上递减，在上递增， 而时，则开口向下且是函数的两个零点， 所以，，则. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共T7分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数， （1）求不等式的解集； （2）将图象上所有点的横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，得到的图象，求曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积． 【答案】（1）且； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的单调性解不等式求解集即可； （2）由题意得，利用导数求切线方程并确定与坐标轴交点，即可求三角形面积. 【小问1详解】 由题设，则， 所以且，可得且， 所以解集为且. 【小问2详解】 由题意，则， 所以，， 所以曲线在点处的切线为， 显然切线过，故其与坐标轴围成的三角形面积为. 16. 设为数列的前项和，且． （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据关系求得，结合等比数列的定义写出通项公式； （2）由题设得，累乘法求通项公式，再应用裂项相消求和即可. 【小问1详解】 若，则， 若，则，故， 所以， 所以是首项为9，公比为3的等比数列，则. 【小问2详解】 由题设，故， 时，， 显然也满足， 所以， 综上，. 17. 设的内角的对边分别为，且． （1）求； （2）若的最大值为，求的值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦边角关系及差角正弦公式得，结合三角形内角性质求角A的大小； （2）根据正弦边角关系及倍角余弦公式可得，结合（1）及三角恒等变换有，最后根据正弦型函数性质及已知求边长. 【小问1详解】 由题设及正弦边角关系，有， 所以， 整理得，即， 显然不合题设，则， 所以，而，可得. 【小问2详解】 由，可得，， 所以， 由（1）知：，则 ， 由，则，又的最大值为， 所以，可得（负值舍）， 综上，. 18. 已知函数． （1）证明：为奇函数； （2）求的导函数的最小值； （3）若恰有三个零点，求的取值范围． 【答案】（1） 由题设，令， 所以， 又定义域为R，所以为奇函数，得证. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用奇偶性定义判断奇偶性即可； （2）由题设可得，应用基本不等式求其最小值； （3）问题化为与在和上各有一个交点，利用导数研究的性质，数形结合确定参数范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题设， 当且仅当，即时取等号， 所以的导函数的最小值为. 【小问3详解】 令，用代换，则， 对于，有， 易知为奇函数，又恰有三个零点，即恰有三个零点，显然， 只需保证在和上各有一个零点即可， 令，则，即与在和上各有一个交点， 由，且，即为奇函数， 令，则，显然上，上， 综上，在R上递增，但递增速率先变快后变慢，大致图象如下图示， 又与都过原点，且原点处的切线斜率为， 结合图象知：当时，与在和上各有一个交点， 所以. 【点睛】难点点睛：导数类综合应用问题，综合性较强，计算量大，解答的难点在于第三问的零点问题，解答时将零点问题转化为函数图象的焦点问题，数形结合进行解决. 19. 对于，若数列满足，则称这个数列为“优美数列”． （1）已知数列是“优美数列”，求实数的取值范围； （2）若首项为1的等差数列为“优美数列”，且其前项和满足恒成立，求的公差的取值范围； （3）已知各项均为正整数的等比数列是“优美数列”，数列不是“优美数列”，若，试判断数列是否为“优美数列”，并说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3） 存在，数列是“优美数列”，理由如下： 令的公比为，则，故，显然， 所以最小项为， 同理对于最小项为， 综上，，故或， 所以或或或， 当，则，此时，显然，不是“优美数列”； 当，则，此时，显然，不是“优美数列”； 当，则，此时，显然，不是“优美数列”； 当，则，此时，令， 所以， 故单调递增，且，此时满足“优美数列”； 综上，时是“优美数列”. 【解析】 【分析】（1）根据数列新定义列不等式组，求参数范围； （2）根据定义有，结合不等式恒成立求公差的上界，即可得范围； （3）根据题意有最小项为，最小项为，进而有，根据讨论，并由数列新定义判断是否存在数列为“优美数列”即可. 【小问1详解】 由题意，则，可得； 【小问2详解】 由题意，令的公差为，且， 则，可得，显然时不等式恒成立， 当时，恒成立，而，故， 综上，. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：第三问，根据题设得到，结合讨论为关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $