精品解析：广东省深圳市宝安中学（集团）初中部2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

2024－2025学年第一学期期中学情调查 九年级 数学 考试时间：90分钟 第一部分选择题 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的，请把答案按要求填涂到答题卡相应位置上） 1. 已知，则下列比例式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查比例的性质，根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解，掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：A、由，得，故选项不符合题意； B、由，得，故选项符合题意； C、由，得，故选项不符合题意； D、由，得，故选项不符合题意； 故选：B． 2. 如图为一个乐高积木示意图，这个几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查简单组合体的三视图，熟练掌握左视图即从左边看到的图形，正视图即从正面看到的图形，俯视图即从上面看到的图形是解题的关键． 根据左视图是从左边看到的图形求解即可． 【详解】解：从左边看这个几何体，看到的图形为： ． 故选：C． 3. 黄金分割广泛存在于艺术、自然、建筑等领域，树叶的叶脉也蕴含着黄金分割（黄金比为），如图，为的黄金分割点，的长为，则的长约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 【详解】解：∵为的黄金分割点，的长为， ∴， ∴的长约为， 故选： C． 4. 在如图所示的电路中，随机闭合开关，，中的两个，能让灯泡发光的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】题考查了列表法、树状图法求概率，首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能让灯泡发光的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，能让灯泡发光的同时闭合和，有2种情况， ∴能让灯泡发光的概率为 故选：B． 5. 如图是装了液体的高脚杯示意图（左图）（数据如图），用去一部分液体后如右侧图所示，此时液面的宽度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，解本题的关键熟练掌握相似三角形的判定与性质．高脚杯前后的两个三角形相似．根据相似三角形的判定和性质即可得出结果． 【详解】解：如图：过O作，垂足为M，过O作，垂足为N， ∵， ∴，即相似比为， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 6. 如下图，四边形中，和是对角线，依据图中所标的数据，下列四边形不一定为菱形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的定义和判定定理，勾股定理的逆定理，结合已知，先判定是否是平行四边形，再判定是否为菱形即可． 【详解】解：A：如图1，和交于点O ∴四边形是平行四边形， ∵， ， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴四边形是菱形， 故A不符合题意； B：∵， ∴四边形是菱形， 故B不符合题意； C：∵， ， ， ∴四边形是平行四边形， ∵， ， ∴四边形是菱形， 故C不符合题意； D：根据已知，四边形不一定是菱形， 故D符合题意， 故选∶D． 7. 小亮与小明在解一道一元二次方程时都发生了小错误，小亮在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是4和1；小敏在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是1和2．则原来的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．根据题意得出原方程中，，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵小亮在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是4和1； ∴， 又∵小敏写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是1和2．． ∴ A. 中，，，故该选项不符合题意； B. 中，，，故该选项不符合题意； C. 中，，，故该选项符合题意； D. 中，，，故该选项不符合题意； 故选：C． 8. 在平行四边形中，点E为边上的中点，过点D作于点G，若点F为的中点，，，则的长为（ ） A. 6 B. C. 8 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．取的中点，连接，则，而，所以，因为为的中点，所以，则，求得，即可得解； 【详解】解：取的中点，连接，则， ∵点为的中点，， ， ， ∵为的中点，为的中点， ， ， ， ， ， 故选：B． 第二部分非选择题 二、填空题（每小题3分，共15分，请把答案填到答题卡相应位置上） 9. 请写出一个根为2的一元二次方程：__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意写出一个符合题意的一元二次方程，即可求解． 本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解，熟练掌握以上知识点是关键． 【详解】解：依题意，有一个根为的一元二次方程可以是： 故答案为：． 10. 在一个不透明的袋子中放有个球，其中有4个白球，这些球除颜色外完全相同．若每次把球充分搅匀后，任意摸出一球记下颜色后再放回袋子，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.2左右，则的值约为__________． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查的是用频率估计概率；根据用频率估计概率可知：摸到白球的概率为0.2，根据概率公式列出方程，求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 经检验：是分式方程的解， 故答案为：20． 11. 如图，两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重叠部分构成的四边形的周长为_____． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，菱形的周长，含30度角直角三角形的性质，过点作于，于，由题意得四边形是平行四边形，进而由平行四边形的面积可得，即可得到四边形是菱形，再解可得，即可求解，得出四边形是菱形是解题的关键． 【详解】解：过点作于，于，则， ∵两张纸条的对边平行， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 又∵两张纸条的宽度相等， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， 在中，，， ∴， ∴四边形的周长为， 故答案为：16． 12. 如图，与关于点A位似，点C的坐标为，若与的面积比为，则点A的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查位似变换、相似三角形的判定和性质，坐标与图形性质，过点A作轴于点E，过点C作轴于点F，可得，则．根据位似的性质可得，进而可得．由题意可得，，即可得，，从而可得答案． 【详解】解：过点A作轴于点E，过点C作轴于点F， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点C的坐标为， ∴，． ∵与关于点A位似，与的面积比为， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴点A的坐标为． 故答案为：． 13. 已知：如图，在四边形中，，，，连接、，若，，则的长为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】作于点，作交的延长线于点，证明，得到，进而求出的长，勾股定理求出的长，证明为等腰直角三角形，求出的长，勾股定理求出的长，进而求出的长，即可． 【详解】解：作于点，作交的延长线于点，则：，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴ ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，含30度角的直角三角形，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造特殊三角形和相似三角形，是解题的关键． 三、解答题（本题共7小题，其中第14题8分，第15题7分，第16题8分，第17题8分，第18题8分，第19题10分，第20题12分，共61分） 14. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握利用因式分解的方法解一元二次方程是解本题的关键． （1）把原方程化为，可得或，再解两个一次方程即可； （2）把原方程化为，可得或，再解两个一次方程即可； 【小问1详解】 解：∵； ∴， ∴或， 解得：，； 【小问2详解】 解： 或 ，． 15. 为普及节气知识、弘扬中国传统文化，也为倡导人们珍惜宝贵时光，中国人民银行发行了二十四节气（光阴的故事）金银币一套．其中包含金币4枚，分别选取了代表春、夏、秋、冬四季特点的动物、景物等，将它们糅合在一起，呈现出四季的独特韵味．如图，小亮爸爸购买了一套金币，若金币的形状、大小、质地均相同，且背面也完全相同，他将四枚金币正面朝下放在桌面上． （1）小亮从中随机抽取一枚，抽出的金币恰好是“秋”的概率是__________； （2）若将刻有“春”、“夏”、“秋”、“冬”四种不同图案的金币分别用A，B，C，D表示，小亮从中随机抽取一枚后放回，再从中随机抽取一枚，请用画树状图或列表的方法求出小亮抽出的两枚金币恰好是同一季节的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查概率的应用，掌握画树状图或列表求概率的方法是解题的关键． （1）根据概率公式直接求解； （2）通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解． 【小问1详解】 解：小亮从中随机抽取一枚，抽出的金币恰好是“秋”的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下： A B C D A B C D 共有16种等可能结果，其中抽出的两枚金币恰好是同一季节的情况有4种， （抽出的两枚金币恰好是同一季节）． 16. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定的网格中画图，保留作图痕迹． （1）在图1中，利用格点作图，在线段上作点，使得． （2）在图2中，利用格点作图，在线段上作点，使得． （3）在图3中，利用格点作图，在上找一点，连接，使得． 【答案】（1） 如图所示： （2） 如图所示： （3） 如图所示： 【解析】 【分析】本题考查复杂作图，涉及相似三角形的性质、对称性等知识，熟练掌握相关几何性质是解决问题的关键． （1）如图所示，取格点，连接，交于点，由相似三角形的性质可知，从而得到； （2）如图所示，取格点，连接，交于点，由相似三角形的性质可知，从而得到； （3）如图所示，取格点，连接，交于点，连接，由对称性及相似三角形的判定可知． 【小问1详解】 解：点即为所求； 【小问2详解】 解：点即为所求； 【小问3详解】 解：点即为所求． 17. 深圳某特产专卖店销售某种特产，其进价为每千克12元，按每千克20元出售，平均每天可售出200千克，后经市场调查发现，单价每降低2元，平均每天的销售量可增加100千克． （1）若每天的销售量为450千克，则每千克特产的售价为__________元； （2）专卖店销售这种特产若想要平均每天获利1750元，且销售量尽可能大，则每千克特产应售价为多少元? 【答案】（1）15 （2）17元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，弄清题意，找准各量间的关系是解题的关键． （1）设出售的价格为x元，销售量为y千克，根据题意列出一次函数的解析式，再将代入求出x的值即可； （2）设每千克特产单价下降元，根据利润得计算方法建立方程，解方程得到销售的价格，再分别计算出销售量，即可得到答案． 【小问1详解】 解：设出售的价格为x元，销售量为y千克， 则：， 当时，， 解方程得：元， 故答案为：15； 【小问2详解】 解：设每千克特产单价下降元， 由题意得： 解得：， 当时，销售量 当时，销售量 销售量要尽可能大 ，售价为元 答：每千克特产售价为17元 18. 如图，在中，，垂足为点．为的一个外角，交射线于点．给出以下三个信息：①；②平分；③四边形为矩形． （1）请从上述三个信息中选择两个信息作为条件，余下的一个信息作为结论组成一个真命题，并证明．你选择的条件是_____，结论是_____．（填写序号） （2）在（1）的条件和结论下，连接，交边于点，，．求的长． 【答案】（1） 当选择的条件是①②，结论是③时，命题是真命题，理由如下∶ 证明：， ， 平分， ， ， ， ， 又 四边形为平行四边形， 又， ， 四边形为矩形． 当选择的条件是①③，结论是②时，命题是真命题， 理由如下∶ ， ， ， 四边形为矩形． ， ， ， 平分， 当选择条件是②③，结论是①时，命题是真命题，理由如下∶ 四边形为矩形． ， ，， 平分， ， ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）当选择的条件是①②，结论是③时，根据得，则，再根据平分得，则，由此可得出四边形为矩形；当选择的条件是①③，结论是②时，根据得，则，再根据四边形为矩形得，则，由此可得出平分；当选择条件是②③，结论是①时，根据矩形的性质得，则，，再根据平分得，由此可得出； （2）依题意得，，，，先由勾股定理求出，再证明，得，则，由此可得出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在矩形中，，， ，， ， ， ， ，， ， 即， ． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，命题与定理，理解矩形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键 19. 某数学兴趣小组的同学在学完一元二次方程后，发现一元二次方程根的判别式除了可以判断一元二次方程根的情况，还可以解决其他问题．下面是该学习小组收集的素材，请根据素材帮助他们完成相应任务： 关于根的判别式的探究 素材 对于一个关于的二次三项式，利用根的判别式可以求该多项式的最值．比如：求最小值，令，则，则，可解得，从而确定的最小值为2．这种利用判别式求二次三项式最值的方法称为判别式法． 问题解决 任务1 感受新知：用判别式法求的最小值． 任务2 探索新知：若关于x的二次三项式（a为常数）的最小值为，求a的值； 任务3 应用新知：利用已有知识经验，求证：周长为的矩形中，正方形的面积最大． 【答案】任务1：； 任务2：； 任务3：设矩形的面积为，其中一边长为，另一边长为 当时，有最大值，为 周长为的矩形中，正方形的面积最大． 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的判别式、解一元一次不等式及解一元二次方程，解题的关键是理解题目给定的求解方式，并利用解不等式和解方程的思想进行作答． 任务1：根据材料设，利用判别式解答即可； 任务2：根据材料令，利用判别式解答即可； 任务3：设矩形的面积为，其中一边长为，另一边长为，列出关系式，根据材料变形为，利用判别式解答即可． 【详解】任务1：解：设 任务2：解：令 又的最小值为－1 ； 任务3：略 20. 已知：如图1，在矩形中，，，为对角线的中点，点为上一动点，连接并延长，交于点，连接，将沿折叠，点的对应点为点． （1）求证：； （2）当点在直线与直线BC之间时，如图2，延长，交的延长线于点，连接． ①求证：； ②设的长为，的长度为，请用含的代数式表示． （3）如图3，若交于点，若与相似，请直接写出的长． 【答案】（1） 证明：在矩形中，， 为的中点 即 （2）①证明：在矩形中， 折叠 由（1）得： ② （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的判定和性质，相似三角形，全等三角形，等腰三角形，勾股定理等知识； （1）根据题意证出，结合全等三角形的性质得到，得到，即可求出； （2）①根据已知得到，通过折叠得出得到，求出，得到等腰三角形，再根据得，即可求出；②过点作于点，证出，得到，由（1）得：，，在中，，再证出，得到，即可求出； （3）分情况讨论，当时，得到，当时，证出，得到，，即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①略 ②过点作于点 ， ， 由（1）得：， 在中， 又， 【小问3详解】 当时， ， 当时， ， 又 ， 综上或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年第一学期期中学情调查 九年级 数学 考试时间：90分钟 第一部分选择题 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的，请把答案按要求填涂到答题卡相应位置上） 1. 已知，则下列比例式成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图为一个乐高积木示意图，这个几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 3. 黄金分割广泛存在于艺术、自然、建筑等领域，树叶的叶脉也蕴含着黄金分割（黄金比为），如图，为的黄金分割点，的长为，则的长约为（ ） A. B. C. D. 4. 在如图所示的电路中，随机闭合开关，，中的两个，能让灯泡发光的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是装了液体的高脚杯示意图（左图）（数据如图），用去一部分液体后如右侧图所示，此时液面的宽度为（ ） A. B. C. D. 6. 如下图，四边形中，和是对角线，依据图中所标的数据，下列四边形不一定为菱形的是（ ） A. B. C. D. 7. 小亮与小明在解一道一元二次方程时都发生了小错误，小亮在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是4和1；小敏在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是1和2．则原来的方程是（ ） A. B. C. D. 8. 在平行四边形中，点E为边上的中点，过点D作于点G，若点F为的中点，，，则的长为（ ） A. 6 B. C. 8 D. 第二部分非选择题 二、填空题（每小题3分，共15分，请把答案填到答题卡相应位置上） 9. 请写出一个根为2的一元二次方程：__________ 10. 在一个不透明的袋子中放有个球，其中有4个白球，这些球除颜色外完全相同．若每次把球充分搅匀后，任意摸出一球记下颜色后再放回袋子，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.2左右，则的值约为__________． 11. 如图，两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重叠部分构成的四边形的周长为_____． 12. 如图，与关于点A位似，点C的坐标为，若与的面积比为，则点A的坐标为______． 13. 已知：如图，在四边形中，，，，连接、，若，，则的长为__________． 三、解答题（本题共7小题，其中第14题8分，第15题7分，第16题8分，第17题8分，第18题8分，第19题10分，第20题12分，共61分） 14. 解方程： （1） （2） 15. 为普及节气知识、弘扬中国传统文化，也为倡导人们珍惜宝贵时光，中国人民银行发行了二十四节气（光阴的故事）金银币一套．其中包含金币4枚，分别选取了代表春、夏、秋、冬四季特点的动物、景物等，将它们糅合在一起，呈现出四季的独特韵味．如图，小亮爸爸购买了一套金币，若金币的形状、大小、质地均相同，且背面也完全相同，他将四枚金币正面朝下放在桌面上． （1）小亮从中随机抽取一枚，抽出的金币恰好是“秋”的概率是__________； （2）若将刻有“春”、“夏”、“秋”、“冬”四种不同图案的金币分别用A，B，C，D表示，小亮从中随机抽取一枚后放回，再从中随机抽取一枚，请用画树状图或列表的方法求出小亮抽出的两枚金币恰好是同一季节的概率． 16. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定的网格中画图，保留作图痕迹． （1）在图1中，利用格点作图，在线段上作点，使得． （2）在图2中，利用格点作图，在线段上作点，使得． （3）在图3中，利用格点作图，在上找一点，连接，使得． 17. 深圳某特产专卖店销售某种特产，其进价为每千克12元，按每千克20元出售，平均每天可售出200千克，后经市场调查发现，单价每降低2元，平均每天的销售量可增加100千克． （1）若每天的销售量为450千克，则每千克特产的售价为__________元； （2）专卖店销售这种特产若想要平均每天获利1750元，且销售量尽可能大，则每千克特产应售价为多少元? 18. 如图，在中，，垂足为点．为的一个外角，交射线于点．给出以下三个信息：①；②平分；③四边形为矩形． （1）请从上述三个信息中选择两个信息作为条件，余下的一个信息作为结论组成一个真命题，并证明．你选择的条件是_____，结论是_____．（填写序号） （2）在（1）的条件和结论下，连接，交边于点，，．求的长． 19. 某数学兴趣小组的同学在学完一元二次方程后，发现一元二次方程根的判别式除了可以判断一元二次方程根的情况，还可以解决其他问题．下面是该学习小组收集的素材，请根据素材帮助他们完成相应任务： 关于根的判别式的探究 素材 对于一个关于的二次三项式，利用根的判别式可以求该多项式的最值．比如：求最小值，令，则，则，可解得，从而确定的最小值为2．这种利用判别式求二次三项式最值的方法称为判别式法． 问题解决 任务1 感受新知：用判别式法求的最小值． 任务2 探索新知：若关于x的二次三项式（a为常数）的最小值为，求a的值； 任务3 应用新知：利用已有知识经验，求证：周长为的矩形中，正方形的面积最大． 20. 已知：如图1，在矩形中，，，为对角线的中点，点为上一动点，连接并延长，交于点，连接，将沿折叠，点的对应点为点． （1）求证：； （2）当点在直线与直线BC之间时，如图2，延长，交的延长线于点，连接． ①求证：； ②设的长为，的长度为，请用含的代数式表示． （3）如图3，若交于点，若与相似，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $