第四章 指数函数与对数函数（提升卷）-2024-2025学年高一数学重难热点提升精讲与过关测试（人教A版2019必修第一册）

第四章 指数函数与对数函数(提升卷) 题号 一 二 三 四 总分 得分 练习建议用时：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1． 的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 故选：． 2．已知函数为奇函数，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【详解】函数为奇函数， ，即， ， . 故选：D. 3．设函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，则，解得； 当时，则，解得． 综上，的取值范围是． 故选：A． 4．设，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，即， 又，， 所以. 故选：D 5．已知函数，，则零点个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】由，得，解得或， 即或，解得或或， 因此或或， 所以零点个数为3. 故选：B 6．已知定义在上的函数满足，且当时，，则（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【详解】因为定义在上的函数满足， 所以是奇函数，且，故，解得， 故当时，，由奇函数性质得， 而，故，故A正确. 故选：A 7．已知的部分图象如图，则可能的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由图可知的定义域为且， 选项A，，则的定义域是，错； 选项B，，因此的定义域是，B错； 选项C，，因此的定义域是，C错； 选项D，若，则的定义域为且，只有D满足题意． 故选：D． 8．函数的数据如下表，则该函数的解析式可能形如（    ） -2 -1 0 1 2 3 5 2.3 1.1 0.7 1.1 2.3 5.9 49.1 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由函数的数据可知，函数， 偶函数满足此性质，可排除B，D； 当时，由函数的数据可知，函数增长越来越快，可排除C. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分 9．函数的图象经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】ABC 【详解】由于，所以， 函数在上单调递增， 的图象向下平移个单位，得到的图象， 所以函数的图象不经过第四象限， 经过第一、二、三象限. 故选：ABC 10．设是定义在上的偶函数，且对于恒有，已知当时，，则下列判断正确的是（ ） A．的周期是2 B．在上递减，在上递增 C．的最大值是2，最小值是1 D．当时， 【答案】ACD 【详解】对于A，对于恒有，则的周期为2，故A正确； 对于B，时，，，则函数在上是减函数， 因为且为偶函数，故，故的图象关于对称， 函数在上是增函数，结合的周期为2可得在上是减函数，故B不正确； 对于C，由B的分析可得在,的最大值是， 最小值为，结合函数的周期性可得的最大值为2，最小值为1，故C正确； 对于D，设，则，故，故D正确． 故选：ACD． 11．下列函数是奇函数，且满足对任意，都有的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】对任意，都有，则在上单调递增； 所以是在上单调递增的奇函数. 对于A，函数定义域为， ，不是奇函数，A错误； 对于B，与在上都为增函数，故在上为增函数， ，所以是在上单调递增的奇函数，B正确； 对于C，，易知在上单调递减，C错误； 对于D，函数定义域为R， 函数在上是增函数，函数在定义域内是增函数，所以在上单调递增， ，是奇函数，D正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．函数的定义域是 . 【答案】 【详解】由题意知：，解得：，的定义域为. 故答案为：. 13．已知函数为，在R上单调递增，则取值的范围 ． 【答案】 【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得， 则取值的范围为. 故答案为：. 14．定义新运算：当时，；当时，.设函数，则在上值域为 . 【答案】 【详解】根据题意，，即时，，即时，，即时，，即时，； ∴ ①时，是增函数；； ②时，， ，，， 综上得，在上的值域为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．求下列各式的值： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【详解】（1） ； （2） . 16．已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并用定义加以证明； (3)若对任意的，不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)在定义域内单调递增，证明见解析； (3). 【详解】（1）定义在R上的函数为奇函数，得，解得， 此时，则， 即函数是奇函数，所以. （2）由（1）知， 函数在定义域内单调递增，证明如下： 设，则， 由，得，则，所以函数在R上单调递增. （3）依题意，对任意的，成立， 则，即在上恒成立，而， 当且仅当时取等号，因此， 所以实数的取值范围是. 17．已知函数为奇函数. (1)求实数a的值； (2)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可得，函数的定义域为R，因为是奇函数，所以，可得， 经检验，对于，成立，所以． （2）由（1）可得， 因为，所以，，， ，， 所以当时的值域， 又，， 设，，则， 当时，取最小值为，当时，取最大值为， 即在上的值域， 又对任意的，总存在，使得成立， 即，所以，解得，即实数m的取值范围是． 18．为全面实施乡村振兴战略，践行习近平总书记提出“绿水青山就是金山银山”的理念，围绕产业发展生态化，生态建设产业化”思路，某乡镇为全力打造成“生态特色小镇”，调研发现：某种农作物的单株产量（单位：）与肥料费用（单位：元）满足如下关系：，其他总成本为（单位：元），已知这种农作物的市场售价为每5元/，且供不应求，记该单株农作物获得的利润为（单位：元） (1)求的函数关系式； (2)当投入的肥料费用为多少元时，该农作物单株获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)当投入的肥料费用为6元时，该农作物单株获得的利润最大，为42元 【详解】（1）由题意可得，，， 所以. （2）当时，的图象为开口向上的抛物线， 对称轴为，所以当时，； 当时，， 当且仅当，即时等号成立，此时； 综上，当投入的肥料费用为6元时，该农作物单株获得的利润最大，为42元. 19．已知函数且的图象经过点，且函数为奇函数 (1)求函数的解析式； (2)判断并证明在定义域上的单调性； (3)若关于的不等式在区间上恒成立，求正实数的取值范围． 【答案】(1)，， (2)在上单调递增；证明见解析 (3)． 【详解】（1）由题意，过点，即，解得， 所以，． 为上的奇函数，，解得，即， 其定义域为，关于原点对称， 且 ，故此时为奇函数； （2）在单调递增. 设，则， 因为，，， 所以，于是在上单调递增； （3）由在区间上恒成立， 得，即， 令，，则， 令，，设，， 根据对勾函数单调性知在上单调递减， 而为单调递增函数，则根据复合函数单调性知： 在上单调递减，， 若关于的不等式在区间上恒成立，则， 又为正实数，． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 指数函数与对数函数(提升卷) 题号 一 二 三 四 总分 得分 练习建议用时：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1． 的值为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数为奇函数，则（    ） A．2 B．1 C． D． 3．设函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．设，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，，则零点个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．已知定义在上的函数满足，且当时，，则（    ） A．2 B．4 C． D． 7．已知的部分图象如图，则可能的解析式为（    ） A． B． C． D． 8．函数的数据如下表，则该函数的解析式可能形如（    ） -2 -1 0 1 2 3 5 2.3 1.1 0.7 1.1 2.3 5.9 49.1 A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分 9．函数的图象经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．设是定义在上的偶函数，且对于恒有，已知当时，，则下列判断正确的是（ ） A．的周期是2 B．在上递减，在上递增 C．的最大值是2，最小值是1 D．当时， 11．下列函数是奇函数，且满足对任意，都有的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．函数的定义域是 . 13．已知函数为，在R上单调递增，则取值的范围 ． 14．定义新运算：当时，；当时，.设函数，则在上值域为 . 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．求下列各式的值： (1)； (2). 16．已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并用定义加以证明； (3)若对任意的，不等式成立，求实数的取值范围. 17．已知函数为奇函数. (1)求实数a的值； (2)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 18．为全面实施乡村振兴战略，践行习近平总书记提出“绿水青山就是金山银山”的理念，围绕产业发展生态化，生态建设产业化”思路，某乡镇为全力打造成“生态特色小镇”，调研发现：某种农作物的单株产量（单位：）与肥料费用（单位：元）满足如下关系：，其他总成本为（单位：元），已知这种农作物的市场售价为每5元/，且供不应求，记该单株农作物获得的利润为（单位：元） (1)求的函数关系式； (2)当投入的肥料费用为多少元时，该农作物单株获得的利润最大？最大利润是多少元？ 19．已知函数且的图象经过点，且函数为奇函数 (1)求函数的解析式； (2)判断并证明在定义域上的单调性； (3)若关于的不等式在区间上恒成立，求正实数的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$