第四章 指数函数与对数函数（基础卷）-2024-2025学年高一数学重难热点提升精讲与过关测试（人教A版2019必修第一册）

第四章 指数函数与对数函数(基础卷) 题号 一 二 三 四 总分 得分 练习建议用时：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得，解得且， 所以定义域为， 故选：B. 2．下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，因为底数，所以随着指数的增大而减小，又，所以，故选项A错误； 对于B，，因为底数，所以随着真数位置的增大而增大，又，所以，故选项B错误； 对于C，因为，，所以，故选项C正确； 对于D，因为，，函数有两个交点，分别是当， 增长速度比增长速度快，在上，在上， 在上，所以，即，故选项D错误. 故选：C. 3．若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，在上单调递增， ， 故，所以， ，在上单调递增， ，故，即，所以． 故选：D 4．若函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，且，所以，因此， 故函数的定义域为. 故选：D. 5．已知函数，则“”是“函数有零点”的（   ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分且必要 D．不充分也不必要 【答案】A 【详解】函数，定义域为， 当时，，当时，， 根据零点存在定理，知此时函数必有零点，所以充分性成立； 当，时，，易知，所以函数有零点， 此时，所以必要性不成立. 故“”是“函数有零点”的充分不必要条件. 故选：. 6．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.若甲地发生里氏4.5级地震，乙地发生里氏8.0级地震，则乙地地震释放出的能量是甲地地震释放出的能量的（    ） A．5.25倍 B．5.2倍 C．倍 D．倍 【答案】C 【详解】由题设，甲地里氏4.5级地震的能量为，则，即， 乙地里氏8.0级地震的能量为，则，即， 所以， 即乙地地震释放出的能量是甲地地震释放出的能量的倍. 故选：C 7．若关于的函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，，且对任意， ，① 且，② 对于①，，结合，得. 若，由②知对任意，矛盾； 若，由②知对任意，即， 则，得， 综上，当时，对任意，①②同时成立. 故选：C 8．已知函数（且）在上为单调函数，则函数值的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为的对称轴为，开口向上的抛物线， 所以当时，单调递增， 当时，， 又因为在上为单调函数， 所以，解得， 所以，可得. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分 9．已知，且，函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】由，且，则，所以， 若时，则，所以曲线函数图象上升，即为增函数， 且单调递减，又函数与关于y轴对称， 所以曲线为增函数，选项B符合条件； 若，则，曲线函数图象下降，即为减函数， 且单调递增，又函数与关于y轴对称， 所以函数的图象下降，即为减函数，选项C符合条件， 故选：BC 10．已知函数，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】结合函数的图象可知，，故A错误；    由，可得，故B正确； 因为，所以，所以，则， 又，所以， 由二次函数性质得在上单调递增， 故，故C正确； 因为，所以，故D正确． 故选：BCD 11．已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．在定义域内单调递减 C．的最大值为 D．的图象关于直线对称 【答案】AD 【详解】，∴定义域为，A选项正确； ，令， 则，因为二次函数的图象的对称轴为直线， 又因为的定义域为，所以的图象关于直线对称，D选项正确； 且在上单调递增，在上单调递减，B选项错误； 当时，有最大值，所以，C选项错误； 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知实数a，b满足，则的最小值为 . 【答案】 【详解】，， 故，， 故， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为： 13．设，函数若关于的方程恰有一解，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由画出函数图像， 结合图像可知，方程恰有一解， 的取值范围为. 故答案为： 14．设，是方程的两根，则 . 【答案】 【详解】由韦达定理可知 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．计算． (1)； (2)． 【答案】(1)112 (2)2 【详解】（1）原式； （2）原式 . 16．已知函数. (1)证明：若，则. (2)求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)5 【详解】（1）证明： . 若，则. 故. （2）由（1）可知. 又因为， 所以. 17．某大学科研小组自2023年元旦且开始监测某实验水域中绿球藻的生长面积的变化情况，并测得最初绿球藻的生长面积为（单位：），此后每隔一个月（每月月底）测量一次，一月底测得绿球藻的生长面积比最初多了，二月底测得绿球藻的生长面积为，科研小组成员发现该水域中绿球藻生长面积的增长越来越慢，绿球藻生长面积（单位：）与时间（单位：月）的关系有两个函数模型可供选择，一个是；另一个是，记2023年元旦最初测量时间的值为0. (1)请你判断哪个函数模型更适合，说明理由，并求出该函数模型的解析式； (2)该水域中绿球藻生长面积在几月底达到其最初的生长面积的7倍？ 【答案】(1)第二个模型满足需求，理由见解析，其解析式为 (2)该水域中绿球生长的面积在9月底达到其最初的生长面积的7倍 【详解】（1）函数模型在上都是增函数， 的函数值增加得越来越快，而的函数值增加得越来越慢， 因为该水域中绿球藻生长面积的增长速度越来越慢， 所以第二个函数模型满足要求， 由题意知，解得， 所以； （2）由题意，解得， 所以该水域中绿球藻生长的面积在9月底达到其最初的生长面积的7倍. 18．已知函数是定义在R上的奇函数． (1)求的解析式； (2)求当时，函数的值域． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）由函数是上的奇函数，则有，解得，即， ，， 即，，解得，经验证得，时，是奇函数， 所以. （2）由（1）知，， 当时，，因此当时，，当时，， 所以所求值域为. 19．已知函数满足 (1)求的解析式； (2)若，求的单调性. 【答案】(1) (2)函数在上单调递增，在上单调递减 【详解】（1）设，则. 已知，将代入可得： 所以. （2）当时，. 先求函数的定义域，令，即，解得或. 对于二次函数，其对称轴为. 当时，二次函数单调递减，因为对数函数在上单调递减，根据复合函数“同增异减”的原则，此时单调递增. 当时，二次函数单调递增，对数函数在上单调递减，根据复合函数“同增异减”的原则，此时单调递减. 故函数在上单调递增，在上单调递减. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 指数函数与对数函数(基础卷) 题号 一 二 三 四 总分 得分 练习建议用时：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 3．若，，，则（    ） A． B． C． D． 4．若函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 5．已知函数，则“”是“函数有零点”的（   ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分且必要 D．不充分也不必要 6．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.若甲地发生里氏4.5级地震，乙地发生里氏8.0级地震，则乙地地震释放出的能量是甲地地震释放出的能量的（    ） A．5.25倍 B．5.2倍 C．倍 D．倍 7．若关于的函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数（且）在上为单调函数，则函数值的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分 9．已知，且，函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 10．已知函数，且，则（   ） A． B． C． D． 11．已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．在定义域内单调递减 C．的最大值为 D．的图象关于直线对称 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知实数a，b满足，则的最小值为 . 13．设，函数若关于的方程恰有一解，则的取值范围为 ． 14．设，是方程的两根，则 . 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．计算． (1)； (2)． 16．已知函数. (1)证明：若，则. (2)求的值. 17．某大学科研小组自2023年元旦且开始监测某实验水域中绿球藻的生长面积的变化情况，并测得最初绿球藻的生长面积为（单位：），此后每隔一个月（每月月底）测量一次，一月底测得绿球藻的生长面积比最初多了，二月底测得绿球藻的生长面积为，科研小组成员发现该水域中绿球藻生长面积的增长越来越慢，绿球藻生长面积（单位：）与时间（单位：月）的关系有两个函数模型可供选择，一个是；另一个是，记2023年元旦最初测量时间的值为0. (1)请你判断哪个函数模型更适合，说明理由，并求出该函数模型的解析式； (2)该水域中绿球藻生长面积在几月底达到其最初的生长面积的7倍？ 18．已知函数是定义在R上的奇函数． (1)求的解析式； (2)求当时，函数的值域． 19．已知函数满足 (1)求的解析式； (2)若，求的单调性. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$