辽宁省锦州市实验学校2024年九年级中考三模数学试题

数学试卷第 1页（共 6 页） 锦州市实验学校九年级数学学科检测试卷 时间：120分钟 总分：120分 一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3分，共 30分．在每个小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名 之”．如果把收入 5元记作+5元，那么支出 5元记作（ ▲ ） A．0元 B．﹣5元 C．+5元 D．+10元 2．第 33届夏季奥运会将于 2024年 7月 26日至 8月 11日在法国巴黎举行，如图所示巴黎奥 运会项目图标中，轴对称图形是（ ▲ ） A． B． C． D． 3．如图是我们生活中常用的“空心卷纸”，其主视图为（ ▲ ） A． B． C． D． 4．下列计算，其中正确的是（ ▲ ） A．x3•x2＝x6 B．（ab）6＝ab6 C．（﹣a3）2＝a6 D．3x3y2﹣xy2＝2x2 5．关于 x的一元二次方程 x2﹣3x+1＝0的根的情况是（ ▲ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 6．我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳 长、井深各几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把绳 四折来量，井外余绳一尺．绳长、井深各几尺？若设井深为 x尺，则下面所列方程正确的 是（ ▲ ） A．3(x+4)＝4(x+1) B．3x+4＝4x+1 C．3(x﹣1)＝4(x﹣4) D．3x﹣4＝4x﹣1 7．龙行龘龘，“故宫博物院”微信公众号《在故宫，看见中国龙》中展示了我国古代文物中 的“龙”，小春用这些图片制作了如下大小和背面完全相同的卡片，每张卡片被抽到的概 率相同，随机先抽取一张，记录结果并放回，再抽取一张，她两次都抽到“清雍正珐琅彩 黄地云龙纹碗”的概率是（ ▲ ） 明嘉靖 黄地矾红彩海水 云龙纹盖罐 清乾隆 海水龙纹砚式墨 明宣德 青花矾红彩海水 龙纹碗 清雍正 珐琅彩黄地云龙 纹碗 A． B． C． D． 第 3 题图 数学试卷第 2页（共 6 页） 8．下列命题中，真命题的是（ ▲ ） A．矩形的对角线互相垂直 B．一个正数的算术平方根一定比这个数小 C．点(﹣2，﹣3)关于 x轴的对称点坐标是(﹣2，3) D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 9．如图，在两个大小相同的玻璃瓶中分别装有质量相同且初始温度均为 16℃的豆浆和牛奶， 同时浸入 100℃的热水中加热相同的时间，已知牛奶比豆浆的温度升高得慢，则上述实验 的一段时间内，牛奶和豆浆的温度 T（℃）随加热时间 t（min）变化的图象是（ ▲ ） A． B． C． D． 10．如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，交 BF于 C，以点 B为圆心，以任意长为半径作弧， 分别交 BA，BC于 M，N两点，再分别以 M，N两点为圆心，都以一个大于 MN 2 1 的长度 为半径作弧，两弧相交于点 P，射线 BP与 AE相交于点 D．若 AC＝6，BD＝8，则 AB的 长为（ ▲ ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题（每题 3 分，共 15分） 11．分解因式：2am﹣6an＝ ． 12．将点 A(﹣2，﹣5)向右平移 3个单位长度得到点 B，则点 B的坐标是 ． 13．随着科技发展，骑行共享单车这种“低碳”生活方式已融入人们的日常生活．如图是共 享单车车架的示意图，线段 AB，CE，DE分别为前叉、下管和立管（点 C在 AB上），EF 为后下叉．已知 AB∥DE，AD∥EF，∠BCE＝67°，∠CEF＝137°，则∠ADE的度数 为 ． 14．如图，在平面直角坐标系中，△AOB的边 OB在 x轴正半轴上，C是 AB边上一点，过 A 作 AD∥OB交 OC的延长线于 D，OC＝2CD．若反比例函数 x ky  (k>0)的图象经过点 A， C，且△ACD的面积为 2.5，则 k的值是 ． 第 9题图 第10题图 第13题图 第14题图 数学试卷第 3页（共 6 页） 15．如图，正方形 ABCD中，点 O为 AC中点，线段 EF经过点 O， ∠FOC＝60°，点 G在线段 OC上，OF＝OG．连接 EG，FG．下 列结论：①OF＝OE；②∠AEF＝75°；③ 2 13   EO AO ； ④若 OF＝1，则△CFG的面积为 3．其中正确的是 ． （填写所有正确结论的序号） 三、解答题（本题共 8 小题，共 75分.解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程） 16．(本小题 10分) 计算：(1) 21845sin2)2( 2   ．(2)[（x+3y）（x﹣3y）﹣（x﹣3y）2]÷6y． 17．(本小题 8分) 为还原一部分长征经典路线，弘扬长征精神，某学校开展了 AI同行“长征路强国梦”为 主题的线上闯关打卡竞赛活动，其中 AI共设 37个标志性关卡．为了解七、八年级学生的通 关情况，学校相关组织部门从各年级随机抽取了 20名学生的闯关数据，并对这些数据进行了 整理、描述和分析（记学生闯关通过的关卡数为 x，并分成四组：A．x≤10，B.10＜x≤20， C.20＜x≤30，D.30＜x≤37），下面给出部分信息： a．七年级学生通关人数频数分布直方图及八年级学生通关人数扇形统计图： b．七年级学生通关关卡数在 B组的数据是：11，12，13，13，15，15，17，18，20； 八年级学生通关人数在 B、D两组的频数都为 p，在 C组的通关数据是：21，23，26，26， 26，26，26，26，30； c．七、八两年级通关数据的平均数、中位数、众数以及方差如下： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 16.9 m 21 70.9 八年级 22.4 26 n 82.1 根据以上信息，回答下列问题： (1)求出 p，m，n的值； (2)在此次活动中，哪个年级的学生对长征路线更加熟知？请说明理由(写出一条理由即可)； (3)为了让同学们更深入地理解长征精神，学校将邀请参赛的七、八年级率先通关的前 5名 学生，以及通过关卡数不超过 20的学生一起线下交流．若该校七年级有 300名学生，八年 级有 200名学生，请你估计参加此次线下交流活动的学生人数． 第 15题图 数学试卷第 4页（共 6 页） 18．(本小题 8分) 某商品经销店欲购进 A、B两种纪念品，用 320元购进的 A种纪念品与用 400元购进的 B 种纪念品的数量相同，每件 B种纪念品的进价比 A种纪念品的进价贵 10元． (1)求 A、B两种纪念品每件的进价分别为多少？ (2)若该商店 A种纪念品每件售价 45元，B种纪念品每件售价 60元，这两种纪念品共购进 200件，这两种纪念品全部售出后总获利不低于 1600元，求 A种纪念品最多购进多少件． 19．(本小题 8分) 周末，小江和家人去超市购物，爱思考的小江想知道购物车把手离地面的高度，图 1 是购物车的实物图，图 2是购物车的示意图，小江又询问工作人员获得了如下信息：BC ∥FG，CD＝60cm，CG＝30cm，∠CGF＝60°，∠BCD＝120°．请根据以上信息，帮 小江求出点 D到 FG所在直线的距离．（结果精确到 0.1cm；参考数据 20．(本小题 8分) 如图，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，点 F在边 AB上，以 AF为直径的⊙O切 BC于点 D， 交 AC于点 E，连接 AD． （1）求证：AD平分∠BAC； （2）已知⊙O的半径是 2，连接 OE，若 OE⊥AD，求弧 AE的长（结果保留π）． 数学试卷第 5页（共 6 页） 21．(本小题 8分) 【综合与实践】 【问题背景】 如图①，“漏刻”是我国古代一种利用水流计时的工具，古诗“金炉香尽漏声残，翦翦轻 风阵阵寒”，描绘了“漏刻”不断漏水的情景． 如图②，综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根装有节流阀（控制水的 流速）的软管，制作了类似“漏刻”的简易计时装置． 【实验操作】上午 9：00，综合实践小组在甲容器里加满水，此时水面高度为 30cm，开始 放水后，每隔 10min记录一次甲容器中的水面高度，相关数据如表： 记录时间 9：00 9：10 9：20 9：30 9：40 流水时间 t/min 0 10 20 30 40 水面高度 h/cm 30 29 28.1 27 25.8 【建立模型】小组讨论发现：“t＝0，h＝30”是初始状态下的准确数据，每隔 10min水面 高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度 h与流水时间 t的关系． 【问题解决】 （1）利用 t＝0时，h＝30；t＝10时，h＝29这两组数据求水面高度 h与流水时间 t的函数 解析式； （2）利用（1）中所求解析式，计算当甲容器中的水面高度为 10cm时是几点钟？ （3）经检验，发现有两组表中观察值不满足（1）中求出的函数解析式，存在偏差，小组 决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据（1）中解 析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应 h的观察值之差的平方和，记为 w；w 越小，偏差越小．请根据表中数据计算出（1）中得到的函数解析式的 w值． 数学试卷第 6页（共 6 页） 22．(本小题 12分) 如图 1，抛物线 y＝ax2+bx+3与 x轴交于 A（﹣1，0）、B（3，0），与 y轴交于点 C．直线 y＝﹣x+3与抛物线交于点 B与点 C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图 2，点 D是第一象限抛物线上一点，设 D点横坐标为 m．连接 OD，将线段 OD 绕 O点逆时针旋转 90°，得到线段 OE，过点 E作 EF∥x轴交直线 BC于 F．求线段 EF 的最大值； （3）如图 3，将抛物线 y＝ax2+bx+3在 x轴上方的图象沿 x轴翻折到 x轴下方，与原抛物 线在 x轴下方部分的图象组成新图象．若直线 y＝5x+n与新图象有且只有两个交点，请你 求出 n的取值范围． 23．(本小题 13分) 在矩形 ABCD中，AB＝3，BC＝2，以点 A为旋转中心，逆时针旋转矩形 ABCD，旋转角为 α（0°＜α＜180°），得到矩形 AEFG，点 B、点 C、点 D的对应点分别为点 E、点 F、点 G． （1）如图①，当点 E落在 DC边上时，求线段 EC的长度； （2）如图②，当点 E落在线段 CF上时，AE与 DC相交于点 H，连接 AC， ①求证：△ACD≌△CAE； ②求线段 DH的长度． （3）如图③设点 P为边 FG的中点，连接 PB，PE，在矩形 ABCD旋转过程中，△BEP 的面积是否存在最大值？若存在请直接写出这个最大值；若不存在请说明理由．