精品解析：山东省潍坊市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

试卷类型：A 高一期中调研监测考试数学试题 2024.11 注意事项： 1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，考生必须将试题卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 直接根据交集运算即可. 【详解】因为，， 所以， 故选：D 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】由含有一个量词的命题的否定求解. 【详解】命题“，”的否定是“，”. 故选：B. 3. 已知集合，，若，，则下列对应关系为上的一个函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意，A中的任意一个数，通过对应关系在B中都有唯一的数与之对应，据此逐项检验即可． 【详解】由函数的定义可知，要使应关系能构成从A到B的函数， 须满足：对集合A中的任意一个数，通过对应关系在集合B中都有唯一的数与之对应， 对于A选项，当时，，故不能构成函数； 对于B选项，当时，，故不能构成函数； 对于C选项，当时，，故不能构成函数； 对于D选项，集合A中的任意一个数，通过对应关系在集合B中都有唯一的数与之对应，故能构成函数. 故选：D． 4. 已知函数在区间上的图象是连续不断的，设：，：在区间中至少有一个零点，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件利用充分条件、必要条件的定义分析判断即可作答. 【详解】由“函数在区间上的图象是连续不断的，且”， 根据零点存在定理，可得在区间上至少存在一个零点，所以能推出， 反之，当在区间中至少有一个零点时，比如， 在上有一个零点，但是，所以不能推出， 故是的充分不必要条件。 故选：A. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用函数的奇偶性与特值判断即可. 【详解】解：因为的定义域为， 所以， 所以函数为奇函数，故AB错误； 又因为时，所以D错误； 故选：C. 6. 某放射性物质在衰变过程中，其质量（单位：克）与年数满足关系式（为初始质量，为常数，）.已知经过3年，这种放射性物质的质量变为原来的一半，再经过6年，该放射性物质的质量变为初始质量的（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意，时，求时的值. 【详解】经过3年，这种放射性物质的质量变为原来的一半， 即时，， 则再经过6年，，. 故选：D 7. 已知正实数，满足，则的最小值是（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】算式中的2改写为，得，利用基本不等式求最小值即可. 【详解】正实数，满足， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是. 故选：A. 8. 已知函数，记，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别代入求值表示，对于，结合根式以及二次函数求出取值范围，最后借助指数函数单调性比较大小. 【详解】因为，所以，， 因为， 所以， 因为，所以， 因为当时，在上单调递减，， 所以， 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知实数，，，则（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】利用不等式的性质，逐个验证各选项的条件下结论是否成立. 【详解】对于A，时，满足，此时，A选项错误； 对于B，时，有，又，所以，B选项正确； 对于C，且，则，即，C选项正确； 对于D，，则，所以，D选项错误. 故选：BC. 10. 已知函数的定义域为，若存在常数，使得对，成立，则称为上的“类近稳函数”，则（ ） A. 可为上的2类近稳函数 B. 可为上的3类近稳函数 C. 若为上的类近稳函数，则 D. 若为上的2类近稳函数，则，，有 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由题意可得，即可判断；对于B，由题意可得，不能保证恒成立，即可判断；对于C，由题意可得，由，可得，即可判断；对于D，由题意可得，再结合，即可判断. 【详解】解：对于A，因为的定义域为， ， 所以可为上的2类近稳函数，故正确； 对于B，因为的定义域为， ， 又因为只有才成立， 不满足3类近稳函数的定义，故错误； 对于C，因为， 又因为，， 所以， 所以， 所以， 所以，故正确； 对于D，因为为上的2类近稳函数， 则，，有， 又因为， 所以，故正确. 故选：ACD. 11. 已知函数若方程有四个实数根，，，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】作出分段函数图象，利用数形结合思想，可判定根的分布，结合韦达定理的应用，通过转化为函数来求导研究单调性，最后可以对各选项作出判断. 【详解】由方程可得：或， 作出函数的图象， 可知：解得：， 由于当，，此时最高点的坐标为， 根据题意，则有另外三个实数根，，，且，如图， 此时，故B正确； 而当，时，，所以由图可得：，故A正确； 根据二次函数对称性可知， 所以，故C错误； 当时，由可得， 当时，由可得，， 所以有， 令，求导得： 因为当时，， 所以在上单调递增，即， 根据以上结论可知：，故D正确； 故选：ABD． 【点睛】关键点点睛：1.把四个根的和的问题，通过一个已知根，利用韦达定理转化两个根的和，最后只剩下对一个根的变量分析即可. 2.对于四个根的积的问题，也是通过一个已知根，利用韦达定理转化两个根的积与系数的关系，最后一个根也要回到系数上来，这样就把四个根的积的问题转为到关于的函数上来，利用求导思想结合的取值范围，来求值域即可. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则______. 【答案】7 【解析】 【分析】直接利用完全平方公式求解即可. 【详解】因为， 则， 故答案为：7. 13. 写出同时满足下面两个条件的一个函数解析式______. ①；②在上单调递减. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】取，验证该函数满足条件①②即可. 【详解】不妨取，则，条件①满足； 函数在上单调递减，条件②满足. 故答案为：（答案不唯一）. 14. 已知，且，，为三个连续的正整数，则的最小值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】设，解出，将所求代数式化成含的二次函数，求出最小值即可. 【详解】令， 所以， 所以， 所以， 当且仅当时，. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：将所求代数式转化成含的二次函数，求出最小值是本题的解题关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，或. （1）求，； （2）若集合，且是的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）或， （2） 【解析】 【分析】（1）解集合A中的不等式，得到集合A，再利用并集交集补集的定义求和； （2）依题意有，利用集合的包含关系列不等式求实数的取值范围. 【小问1详解】 由，解得，所以 所以或， 因为，所以. 【小问2详解】 若是的充分条件，则， 所以，即所以， 所以的取值范围为 16. 已知是定义域为的奇函数，当时，，且． （1）当时，求的解析式； （2）判断在区间上的单调性，并证明． 【答案】（1） （2） 在区间上单调递增， 证明如下：任取，且， 则 ， 因为，且， 所以，，， 故，所以在区间上单调递增. 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的性质可得，再利用奇偶性的定义求出解析式即可； （2）利用单调性的定义证明即可. 【小问1详解】 由是定义在上的奇函数，且，可得， 当时，，所以，解得， 所以当时，， 当时，，， 因为是定义在上的奇函数，所以， 所以当时，. 【小问2详解】 略 17. 某地结合实际情况，因地制宜发展生态产业，计划未来五年内在当地建造一批生态农场.经过调研得知，初期需投入固定成本300万元，除此之外，建造个生态农场需另投入成本万元，且初步估计未来五年内每个生态农场能带来30万元的收益. （1）求该期间生态农场带来的利润（万元）关于农场数目的函数关系式； （2）建造多少个生态农场能给当地带来最大利润？并求最大利润. 【答案】（1） （2）70个，640万元 【解析】 【分析】（1）利润=销售额-另投入成本-固定成本，分段计算整理即可； （2）分别计算分段函数的最值，比较得出函数最值. 【小问1详解】 根据题意得 当时，， 当时，， 所以 【小问2详解】 当时，， 在内单调递增，所以当时，的最大值为450， 当时，， 因为，当且仅当， 即时，等号成立， 所以， 因为，所以当时，的最大值为640， 所以建造70个生态农场获得的利润最大，最大利润为640万元. 18. 已知函数. （1）若不等式的解集为，求实数，的值； （2）若，解关于的不等式； （3）若，对于，成立，求的最大值. 【答案】（1）， （2）当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； （3） 【解析】 【分析】（1）根据不等式的解集可得1和2是方程的两个根，再利用韦达定理即可得解； （2）分，和三种情况讨论即可； （3）由题意，对成立，则对成立，即对成立，进而可得出答案. 【小问1详解】 因为不等式的解集为， 所以1和2是方程的两个根， 所以，所以，； 【小问2详解】 若，不等式可化为， 即， 当时，解得， 当时，解得或， 当时，解得或， 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 【小问3详解】 因为，，成立， 即，对成立， 所以对成立， 即对成立， 所以即 所以，即， 所以的最大值为. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，，，. （1）若，，有成立，则； （2）若，，有成立，则； （3）若，，有成立，则； （4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集. 19. 已知函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，经研究可将其推广为：函数图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. （1）已知函数的定义域为，且图象关于点中心对称，求的值； （2）已知函数的图象关于点中心对称. （ⅰ）求实数、的值； （ⅱ）设函数，其中，若正数、满足，且不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）（ⅰ），；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据函数的对称性可求出的值； （2）（i）根据函数对称性的定义得出，根据等式恒成立可得出关于、的方程组，结合可得结果； （ii）推导出，利用倒序相加法可得出，利用参变量分离法结合基本不等式可求出的取值范围. 【小问1详解】 因为函数的图象关于点中心对称， 所以为奇函数，所以， 令，则有，故；令，则有， 所以. 【小问2详解】 （ⅰ）由题意可得为奇函数， 所以，则， 所以，有， 所以恒成立， 所以，解得或， 因为，所以，； （ⅱ）因为， 所以， 所以， 因为， ， 两式相加得，即， 又由， 故， 又， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的取值范围为. 【点睛】结论点睛：本题考查利用函数的对称性求参数，可利用以下结论来转化： ①函数的图象关于点对称，则； ②函数的图象关于直线对称，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 试卷类型：A 高一期中调研监测考试数学试题 2024.11 注意事项： 1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，考生必须将试题卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知集合，，若，，则下列对应关系为上的一个函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数在区间上的图象是连续不断的，设：，：在区间中至少有一个零点，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 某放射性物质在衰变过程中，其质量（单位：克）与年数满足关系式（为初始质量，为常数，）.已知经过3年，这种放射性物质的质量变为原来的一半，再经过6年，该放射性物质的质量变为初始质量的（ ） A. B. C. D. 7. 已知正实数，满足，则的最小值是（ ） A. B. C. 5 D. 8. 已知函数，记，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知实数，，，则（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知函数的定义域为，若存在常数，使得对，成立，则称为上的“类近稳函数”，则（ ） A. 可为上的2类近稳函数 B. 可为上的3类近稳函数 C. 若为上的类近稳函数，则 D. 若为上的2类近稳函数，则，，有 11. 已知函数若方程有四个实数根，，，，且，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则______. 13. 写出同时满足下面两个条件的一个函数解析式______. ①；②在上单调递减. 14. 已知，且，，为三个连续的正整数，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，或. （1）求，； （2）若集合，且是的充分条件，求实数的取值范围. 16. 已知是定义域为的奇函数，当时，，且． （1）当时，求的解析式； （2）判断在区间上的单调性，并证明． 17. 某地结合实际情况，因地制宜发展生态产业，计划未来五年内在当地建造一批生态农场.经过调研得知，初期需投入固定成本300万元，除此之外，建造个生态农场需另投入成本万元，且初步估计未来五年内每个生态农场能带来30万元的收益. （1）求该期间生态农场带来的利润（万元）关于农场数目的函数关系式； （2）建造多少个生态农场能给当地带来最大利润？并求最大利润. 18. 已知函数. （1）若不等式的解集为，求实数，的值； （2）若，解关于的不等式； （3）若，对于，成立，求的最大值. 19. 已知函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，经研究可将其推广为：函数图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. （1）已知函数的定义域为，且图象关于点中心对称，求的值； （2）已知函数的图象关于点中心对称. （ⅰ）求实数、的值； （ⅱ）设函数，其中，若正数、满足，且不等式恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $