精品解析：广东省实验中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

广东实验中学2024-2025学年（上）高二级期中考试 数学 本试卷共5页，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回. 第一部分 选择题（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 一组数据23，11，31，14，16，17，19，27的百分之七十五分位数是（ ） A. 14 B. 15 C. 23 D. 25 3. 在四面体中，，，，为的重心，在上，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知随机事件和互斥,且,,则等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线过定点，且方向向量为，则点到的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 双曲线C与椭圆有相同的焦点，一条渐近线的方程为，则双曲线C的标准方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆E:＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为 A. ＋＝1 B. ＋＝1 C. ＋＝1 D. ＋＝1 8. 椭圆的左、右焦点分别是，，斜率为1的直线l过左焦点，交C于A，B两点，且的内切圆的面积是，若椭圆的离心率的取值范围为，则线段的长度的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在棱长为的正方体中，，分别是，中点，则（ ） A. 平面 B. 直线与平面所成的角为 C. 平面平面 D. 点到平面的距离为 10. 已知点是左、右焦点为，的椭圆上的动点，则（ ） A. 若，则的面积为 B. 使为直角三角形的点有6个 C. 的最大值为 D. 若，则的最大、最小值分别为和 11. 如图，曲线是一条“双纽线”，其上的点满足：到点与到点的距离之积为4，则下列结论正确的是（ ） A. 点在曲线上 B. 点在上，则 C. 点在椭圆上，若，则 D. 过作轴的垂线交于两点，则 第二部分 非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点在角的终边上，则________. 13. 若为偶函数，则实数______. 14. 如图，椭圆与双曲线有公共焦点，，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点P为两曲线的一个公共点，且，I为的内心，，I，G三点共线，且，x轴上点A，B满足，，则的最小值为________；的最小值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆M的圆心在直线上，且与直线相切于坐标原点． （1）求圆M的标准方程； （2）经过点的直线被圆M截得的弦长为，求直线的方程． 16. 已知三角形的内角所对的边分别为，若，且. （1）若，求； （2）点在边上且平分，若，求三角形的周长. 17. 椭圆过点且离心率为，为椭圆的右焦点，过的直线交椭圆于，两点，定点. （1）求椭圆的方程； （2）若面积为，求直线的方程. 18. 在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，侧面底面ABCD，，且E，F分别为PC，CD的中点， （1）证明：平面PAB； （2）若直线PF与平面PAB所成的角为， ①求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值. ②平面ADE将四棱锥分成上、下两部分，求平面ADE以下部分几何体的体积. 19. 已知双曲线的实轴长为4，渐近线方程为. （1）求双曲线的标准方程； （2）双曲线的左､右顶点分别为，过点作与轴不重合的直线与交于两点，直线与交于点S，直线与交于点. （i）设直线的斜率为，直线的斜率为，若，求的值； （ii）求的面积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东实验中学2024-2025学年（上）高二级期中考试 数学 本试卷共5页，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回. 第一部分 选择题（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算可得，根据共轭复数的概念可得，即可求得复数的虚部. 【详解】因为，所以， 所以， 所以复数的虚部为. 故选：. 2. 一组数据23，11，31，14，16，17，19，27的百分之七十五分位数是（ ） A. 14 B. 15 C. 23 D. 25 【答案】D 【解析】 【分析】利用百分位数的计算步骤求解即可. 【详解】将数据按从小到大的顺序排列可得11，14，16，17，19，23，27，31，共8个数据， 又， 所以该数据的百分之七十五分位数是第6个和第7个数据的平均数， 即. 故选：. 3. 在四面体中，，，，为的重心，在上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】延长交于点，根据向量的线性运算法则，结合重心的性质将表示为的线性形式即可. 【详解】延长交于点，则点为的中点， 因为，所以， 所以， 所以， 所以， 因为，，， 所以， 故选：C. 4. 已知随机事件和互斥,且,,则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】因为和互斥,由求出,再由即可得到答案. 【详解】因为和互斥, 所以, 又, 所以, 因为, 所以. 故选:B. 5. 已知直线过定点，且方向向量为，则点到的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依据给定条件求出两直线夹角的正弦值，再结合三角函数的性质求解即可. 【详解】因为，，所以，故， 因为方向向量为，所以， 设直线与直线夹角为，所以， 因为，所以，，， 因为，解得(负根舍去)， 且设点到的距离为，故，解得，故A正确. 故选：A 6. 双曲线C与椭圆有相同的焦点，一条渐近线的方程为，则双曲线C的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由椭圆方程求得半焦距，则渐近线方程及焦点位置设出双曲线方程，再由半焦距求得参数值得双曲线标准方程． 【详解】由题意知，设双曲线的方程为，∴，∴，∴. 故选:A. 7. 已知椭圆E:＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为 A. ＋＝1 B. ＋＝1 C. ＋＝1 D. ＋＝1 【答案】D 【解析】 【详解】设、，所以，运用点差法，所以直线的斜率为，设直线方程为，联立直线与椭圆的方程，所以；又因为，解得. 【考点定位】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查学生的化归与转化能力. 8. 椭圆的左、右焦点分别是，，斜率为1的直线l过左焦点，交C于A，B两点，且的内切圆的面积是，若椭圆的离心率的取值范围为，则线段的长度的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可求得，，即可得出，再根据离心率范围即可求出. 【详解】 设的内切圆的圆心为，半径为，则，解得， ， 又 ， ，， ，，则， 即线段的长度的取值范围是. 故选：B. 【点睛】解题的关键是通过两种不同方式求出的面积，得出，再利用离心率的取值范围可求解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在棱长为的正方体中，，分别是，中点，则（ ） A. 平面 B. 直线与平面所成的角为 C. 平面平面 D. 点到平面的距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量关系证明，；利用向量法求线面角即可判断；根据点到面的距离公式即可判断. 【详解】在棱长为的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，，， 对于，，，， 显然， 即平行于平面，而平面， 因此平面，正确； 对于，，，，， 所以，，即，， 又，平面，平面， 所以平面，所以是平面的一个法向量， 设直线与平面所成的角为， ， 所以，所以直线与平面所成的角为，错误； 对于，，， 而，显然， ，即，， 又，，平面， 于是平面，而平面， 因此平面平面，正确； 对于，，， 设平面的一个法向量， 则， 令，得， ， 又， 所以点到平面的距离，正确. 故选：. 10. 已知点是左、右焦点为，的椭圆上的动点，则（ ） A. 若，则的面积为 B. 使为直角三角形的点有6个 C. 的最大值为 D. 若，则的最大、最小值分别为和 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据焦点三角形面积的相关结论即可判断A；结合椭圆性质可判断B；结合椭圆定义可求线段和差的最值，判断CD. 【详解】A选项：由椭圆方程，所以，，所以， 所以的面积为，故A错误； B选项：当或时为直角三角形，这样的点有4个， 设椭圆的上下顶点分别为，，则，，，同理， 知，所以当位于椭圆的上、下顶点时也为直角三角形， 其他位置不满足，满足条件的点有6个，故B正确； C选项：由于， 所以当最小即时，取得最大值，故C正确； D选项：因为， 又， 的最大、最小值分别为和， 当点位于的延长线上时取最大值， 当位置的延长线上时取最小值，故D正确. 故选：BCD 11. 如图，曲线是一条“双纽线”，其上的点满足：到点与到点的距离之积为4，则下列结论正确的是（ ） A. 点在曲线上 B. 点在上，则 C. 点在椭圆上，若，则 D. 过作轴的垂线交于两点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由“双纽线”定义判断A；由“双纽线”定义得到，再计算判断B；由“双纽线”定义和椭圆定义判断C；设，由勾股定理得到，再解方程判断D. 【详解】对于A，，由定义知，A正确； 对于B，由点在上，得， 化简得，解得，，B错误； 对于C，椭圆的焦点坐标恰好为与， 则，由，得， 则，，C正确； 对于D，设，则，而，则， 又， 则，化简得，解得，， 因此1，，D正确. 故选：ACD 第二部分 非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点在角的终边上，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数的定义以及诱导公式和二倍角公式求解即可. 【详解】由点在角的终边上可得，， 则， 故答案为：. 13. 若为偶函数，则实数______. 【答案】0 【解析】 【分析】由求出的值，然后再检验即可. 【详解】因为定义域为，关于原点对称，而函数为偶函数， 所以由得，解得：. 当时，，符合题意. 故答案为： 14. 如图，椭圆与双曲线有公共焦点，，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点P为两曲线的一个公共点，且，I为的内心，，I，G三点共线，且，x轴上点A，B满足，，则的最小值为________；的最小值为________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据椭圆和双曲线的定义可得，进而根据余弦定理，结合离心率公式可得，即可利用基本不等式求解空1，根据内心的性质，结合椭圆定义和双曲线定义可得，，进而根据基本不等式乘“1”法即可求解. 【详解】①依题意，椭圆与双曲线的焦距均为， 椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，不妨设点在双曲线的右支上， 由双曲线的定义得：，由椭圆的定义得：， 联立解得，又， 由余弦定理得：， 即，整理得：， 即，于是，， 当且仅当时取等号，所以的最小值为； ②为的内心，则为的角平分线， 由，得， 同理：，则，即， 因此，而，即，则， 为的内心，三点共线，即为的角平分线， 延长射线，连接，由点向作垂线，垂足分别为， 由，得，即为的角平分线， 则，即为的角平分线，则有， 又，于是，即， 而，即，则， ， 当且仅当时取等号，所以的最小值为. 故答案为：；. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的范围或最值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范围或由判别式得到的范围求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆M的圆心在直线上，且与直线相切于坐标原点． （1）求圆M的标准方程； （2）经过点的直线被圆M截得的弦长为，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设，然后根据条件求出圆心，进而可得半径，则圆M的标准方程可求； （2）检验直线的斜率存在，设出直线方程，然后利用垂径定理列方程求解. 【小问1详解】 圆M的圆心在直线上， 设， 则， 解得，即， 圆的半径为， 圆M的标准方程为； 【小问2详解】 经过点的直线被圆M截得的弦长为， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时直线被圆M截得的弦长为，不符，舍去； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， ， 解得或， 直线的方程为或. 16. 已知三角形的内角所对的边分别为，若，且. （1）若，求； （2）点在边上且平分，若，求三角形的周长. 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）利用正、余弦定理进行边角转化，即可求B，进而可得结果； （2）利用面积关系可得，结合列式求解即可. 【小问1详解】 由正弦定理可知， 则. 可得，整理可得. 由余弦定理知， 且，可得， 由知. 可知为直角三角形，所以. 【小问2详解】 点在边上且平分，可知， 则， 即，可得.① 又因为，即，可得.② ①代入②得到，解得或（舍去）， 所以的周长为. 17. 椭圆过点且离心率为，为椭圆的右焦点，过的直线交椭圆于，两点，定点. （1）求椭圆的方程； （2）若面积为，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）待定系数法求解出的值，则椭圆的方程可知； （2）设出直线的方程，联立直线的方程与椭圆方程得到纵坐标的韦达定理形式，根据，代入韦达定理求解出参数值，则直线的方程可知. 【小问1详解】 由题意可知，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 当直线的斜率为时，显然不符合题意； 因为，设， 联立，可得， 则， ， 因为， 所以，解得， 所以直线的方程. 18. 在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，侧面底面ABCD，，且E，F分别为PC，CD的中点， （1）证明：平面PAB； （2）若直线PF与平面PAB所成的角为， ①求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值. ②平面ADE将四棱锥分成上、下两部分，求平面ADE以下部分几何体的体积. 【答案】（1）证明：取PB中点M，连接AM，EM， 为PC的中点，，， 又，， ，，四边形ADEM为平行四边形， ，平面PAB，平面PAB，平面PAB； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判断定理，转化为证明线线平行，利用几何关系，构造辅助线，即可证明线面平行； （2）根据垂直关系，以的中点为原点，建立空间直角坐标系，①求平面和平面的法向量，代入向量公式，求二面角的余弦值；②首先根据垂直关系，说明平面，再根据几何关系，结合三棱锥的体积公式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD， ，平面PAB， 取AB中点G，连接FG，则，平面PAB， ，，，， 又，，， ①如图以G为坐标原点，GB为x轴，GF为y轴，GP为z轴建立空间直角坐标系， ，，， ，，设平面PCD的一个法向量，， 则，取，则， 平面PAB的一个法向量可取， 设平面PAB与平面PCD所成锐二面角为， ， 所以平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值. ②如图，，从而AD垂直于AM，四边形AMED为矩形，正三角形PAB中，AM垂直于PB， 又AD垂直于PM，从而PM垂直于平面AMED.所以四棱锥体积， 又四棱锥的体积为，所以五面体ABCDEM为. 19. 已知双曲线的实轴长为4，渐近线方程为. （1）求双曲线的标准方程； （2）双曲线的左､右顶点分别为，过点作与轴不重合的直线与交于两点，直线与交于点S，直线与交于点. （i）设直线的斜率为，直线的斜率为，若，求的值； （ii）求的面积的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据双曲线性质计算即可； （2）设直线l方程及坐标，联立双曲线方程，根据韦达定理得出纵坐标和积关系，（i）利用两点斜率公式消元计算即可；（ii）联立直线方程求出坐标，并求出，利用三角形面积公式及范围计算即可. 【小问1详解】 由题意知：，解得，双曲线方程为. 【小问2详解】 因为直线斜率不为0，设直线方程为，易知， 设，联立，得， 则，且， （i） ； （ii）由题可得：. 联立可得：，即，同理. ， 故， 且， . 【点睛】关键点点睛：反设直线线并设点，联立双曲线方程后得出纵坐标的和积关系，为后面消元转化减轻计算量. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $