精品解析：广西南宁第三中学2024-2025学年高三上学期11月考试数学试题

南宁三中2025届高三年级上学期11月考试 数学试卷 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先应用复数的乘法化简得出，最后应用共轭复数定义即可求解. 【详解】因为复数， 则. 故选：C. 2. 某地铁1号线的开通运营极大地方便了市民的出行.某时刻从A站驶往B站的过程中，10个车站上车的人数统计如下：70，50，60，55，60，45，35，30，30，10.这组数据的第90%分位数为（ ） A. 50 B. 55 C. 60 D. 65 【答案】D 【解析】 【分析】根据百分位数的求法求第90%分位数. 【详解】数据从小到大排序为， 而，故第90%分位数为. 故选：D 3. （ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】用诱导公式化角，然后由两角和的正弦公式求值． 【详解】 . 故选：A． 4. 已知，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据函数的奇偶性得出不等式，再结合单调性列不等式，最后解绝对值不等式即可. 【详解】由题意知函数定义域为，关于原点对称， 因为，所以为偶函数， 因为，所以， 当，单调递增， 所以，所以或，解得或. 所以不等式的解集是. 故选：A. 5. 已知的三个内角分别为A、B、C，若A、B、C成等差数列，且，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由三角形内角和及等差数列性质得，再应用余弦定理和基本不等式求得，最后由面积公式求三角形面积最大值. 【详解】由，又A、B、C成等差数列，即，可得， 由， 所以，当且仅当时取等号， 所以面积的最大值为. 故选：B 6. 若点P是直线上的一动点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A、B，当最小时，的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用圆切线的性质，将问题化为求最小，再由点线距离公式、三角函数定义、倍角公式求的余弦值. 【详解】由题设，可画如下示意图，其中，且， 要使最小，即最小，而， 若，则，此时，故. 故选：C 7. “函数的图象关于对称”是“，”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用正切函数的性质结合集合间的基本关系判定充分、必要条件即可. 【详解】当函数的图象关于对称时， 有，，得，， 易知，， 所以“函数的图象关于对称”是“，”的必要不充分条件． 故选：B． 8. 已知函数的定义域为，，为偶函数，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过条件可得是周期为4的函数，由为偶函数得，通过给赋值可计算出，利用函数的周期性可得结果 【详解】因为①，所以， 所以，所以的周期为4，， 令，由①得，所以， 因为为偶函数，所以②， 令，得， 结合①，得③， 令，由②得，所以， 由③得，所以， 令，由③得，所以， 由函数的周期性得， . 故选：C. 【点睛】结论点睛：函数的对称性与周期性： （1）若，则函数关于中心对称； （2）若，则函数关于对称； （3）若，则函数的周期为2a； （4）若，则函数的周期为2a. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知正方体的棱长为2，点M在线段上运动，则（ ） A. 直线与直线是异面直线 B. 三棱锥的体积为定值 C. 直线与平面所成角的正弦值为 D. 点到平面的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正方体结构特征，及异面直线定义判断A；面，结合棱锥体积公式判断B；先证面，再根据线面角定义确定平面角，即可求大小判断C；应用等体积法求点面距判断D. 【详解】A：根据正方体的结构，易知直线与直线是异面直线，对； B：根据正方体的结构，易证面，即面， 又点M在线段上运动，所以M到面的距离为定值， 所以三棱锥的体积为定值，对； C：根据正方体结构，易知面，面，则， 由，都在面内，故面， 若，所以直线与平面所成角为， 所以，错； D：由，若点到平面的距离为， 又，故，对. 故选：ABD 10. 已知点是椭圆的左、右顶点，点，分别为C的左、右焦点，点O为原点，点是椭圆上关于原点对称的两点，且不与重合，则（ ） A. 的取值范围是 B. C. 以线段为直径的圆被直线截得的弦长为 D. 直线与直线的斜率之积 【答案】AD 【解析】 【分析】利用焦半径公式计算可判定A，利用椭圆的对称性及定义可判定B，利用点到直线的距离公式及弦长公式计算可判定C，利用两点斜率公式计算可判定D. 【详解】 易知， 对于A，设，易知， 则 ，故A正确； 对于B，易知四边形为平行四边形， 即，故B错误； 对于C，易知以线段为直径的圆其圆心为原点，半径为， 则圆心到直线的距离为， 则相应弦长为，故C错误； 对于D，易知，故D正确. 故选：AD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 已知抛物线的焦点为F，点M在抛物线C上且到x轴的距离为3，则______. 【答案】5 【解析】 【分析】根据题设可得、，再由抛物线定义求结果. 【详解】由题设，则，而， 根据抛物线的定义知，. 故答案为：5 12. 函数 ( ，且 )，若对 成立，则实数的取值范围是___________________. 【答案】 . 【解析】 【分析】对分和两种情况，利用对数函数的单调性，分参，利用函数的单调性求解最值即可求解. 【详解】解: 当时， ， 设 ，则在上是减函数，所以 . 故 . 当 时， ， 设 ，则 在 上均为减函数， 所以 ， 所以 ，此不等式组无解. 综上，实数 的取值范围是 ， 故答案为：. 13. 已知向量，，令，当时，则实数t的取值范围是______；对任意和，满足恒成立，则实数a的取值范围是______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】化简得到，结合三角函数的性质，求得的取值范围；再由向量得到，利用完全平方公式结合向量模的坐标表示将不等式转化为或对任意恒成立，从而利用函数的单调性即可得解. 【详解】第一空，由， 因为，可得， 当，即时，； 当时，即时，， 所以实数的取值范围为； 第二空，当时，可得， 当，即时，； 当或时，即或时，， 所以实数的取值范围为， 又由，可得， 由向量，， 可得， 因为，所以，对任意恒成立， 注意到，有，即恒成立， 所以， 则，即或， 即或对任意恒成立， 因为在上单调递增，所以， 因为在上单调递减函数，所以， 所以或，即实数的取值范围为. 故答案为：；. 【点睛】方法点睛：对于平面向量与三角、不等式的综合问题的求解策略： 1、若题目的条件中给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量的坐标运算公式，得到三角函数的关系式，进而求解； 2、若题目条件中给出三角函数表示向量的坐标，要求的是向量的数量积或向量的模，或者其他向量的表达形式，解题思路是结合向量的运算，利用三角函数的图象与性质，以及有界性，进而求解； 3、对于向量的最值与范围的求法方法：①几何法：充分利用几何图形的特征，结合向量的线性运算和向量的数量积的运算解决；②代数法：将平面向量的最值或范围转化为坐标运算，结合目标函数，利用代数方法求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 设有甲、乙两个不透明的箱子，每个箱子中装有除颜色外其他都相同的小球，其中甲箱有4个红球和3个白球，乙箱有3个红球和2个白球.从甲箱中随机摸出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机摸出1个球. （1）求从乙箱中摸出白球的概率； （2）若从乙箱中摸出白球，求从甲箱中摸出2个红球的概率. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用独立乘法公式、全概率公式求从乙箱中摸出白球的概率 （2）应用条件概率的求法求从甲箱中摸出2个红球的概率. 【小问1详解】 由题意，从甲摸出2红球概率为，此时从乙摸出白球概率为， 从甲摸出2白球概率为，此时从乙摸出白球概率为， 从甲摸出红白球各一个的概率为，此时从乙摸出白球概率为， 所以从乙箱中摸出白球的概率为. 【小问2详解】 由（1）知，从乙箱中摸出白球情况下，甲箱中摸出2个红球的概率为. 15. 如图，在正四棱台中，，，E是的中点. （1）求证：直线平面； （2）已知直线与平面所成的角为，求二面角的正弦值. 【答案】（1）连接棱台上下底面的对角线，交点分别为， 由于棱台为正四棱台，易知与上下底面均垂直，且， 故可以以O为中心建立如图所示的空间直角坐标系，设棱台高为h， 则，， 所以， 设平面的一个法向量为，则， 令，即， 易知，又平面， 所以直线平面； （2） 【解析】 【分析】（1）根据正四棱台的特征，建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量证明线面关系即可； （2）利用空间向量计算线面夹角得出棱台的高，再结合空间向量研究二面角即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 易知，而底面的一个法向量为， 因为直线与平面所成的角为， 所以，则， 又，设平面的一个法向量为， 则，令， 即，由上知， 所以， 由图形可知二面角的平面角为锐角，所以其余弦值为， 故其正弦值为. 16. 已知动点到定点的距离与它到定直线的距离之比是. （1）求动点P的轨迹方程； （2）记动点P的轨迹为C，若过点的直线与C交于M，N两点，的面积为，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据距离公式列出等式，化简后可得到轨迹方程. （2）先设出直线的方程,分斜率存在与不存在讨论，斜率不存在时不符合三角形面积条件舍去，直线斜率存在时，与双曲线方程联立，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理求出和，再根据弦长公式求出，根据点到直线距离公式求出原点到直线的距离，由三角形面积公式求出直线斜率，从而得到直线方程. 【小问1详解】 由已知. 两边平方得. 展开化简得. 则这就是动点的轨迹方程. 【小问2详解】 当斜率不存在时，直线与曲线没有交点，不满足题意. 当斜率存在时，设直线的方程为， 联立，将代入得. 展开整理得， ， 设，，由韦达定理（），. 根据弦长公式 先求 . 所以. 原点到直线的距离. 已知. 即. 化简得. 两边平方整理得，即. 得，因为，所以，. 也满足. 所以直线的方程为. 17. 已知函数. （1）当时，求在点处的切线方程； （2）当时，讨论的单调性； （3）证明：当时，只有一个零点. 【答案】（1） （2）时，在R上单调递增；时，在上单调递增，在上单调递减；时，在上单调递增，在上单调递减； （3） 证明：①由（2）可知时，在R上单调递增， 则在R上单调递增， 而，即只有一个零点为0； ②若，由（2）可知此时，在上单调递增， 在上单调递减， 则极大值为，极小值为， 不妨令，则， 此时单调递减，又， ， 即只有一个零点，在区间上； ③若，由（2）可知此时，在上单调递增， 在上单调递减，故极大值为， 极小值为， 不妨令，则， 显然时有，此时单调递增， 而时有，此时单调递减， 易知， 所以， 又， 即只有一个零点，在区间上； 综上，当时，只有一个零点. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义计算即可； （2）利用分类讨论的思想，根据导数研究函数的单调性计算即可； （3）利用（2）的结论，含参分类讨论函数的极值与0的大小关系，对于含参极值通过构造函数求导结合零点存在性定理计算即可. 【小问1详解】 当时，则，所以， 所以在点处的切线方程为：， 即； 【小问2详解】 易知， 因为，若，则在R上单调递增； 若，令，， 即此时在上单调递增，在上单调递减； 若，令，， 即此时在上单调递增，在上单调递减； 综上所述：时，在R上单调递增； 时，在上单调递增，在上单调递减； 时，在上单调递增，在上单调递减； 【小问3详解】 略 18. 已知数列，对于任意的，都有，则称数列为“凹数列”. （1）已知数列，的前项和分别为，，且，，试判断数列，数列是否为“凹数列”，并说明理由； （2）已知等差数列，首项为4，公差为，且为“凹数列”，求的取值范围； （3）证明：数列为“凹数列”的充要条件是“对于任意的，，，当时，有”. 【答案】（1）数列是为“凹数列”， 数列不是为“凹数列”，理由如下： 由于为等差数列，所以，为等比数列，，任意的，都有，故，所以数列是为“凹数列”， 任意的，都有， 故，所以数列不是为“凹数列”， （2） （3）证明：先证明必要性：因为为“凹数列”所以对任意的，都有，即，所以对任意的，，，当时，有，所以， 又， 所以，所以，必要性成立； 再证明充分性：对于任意的，，，当时，有， 取，，则有， 即，所以为“凹数列”. 【解析】 【分析】（1）根据通项公式判断数列为等差数列，为等比数列，进而求得前项和，，再根据“凹数列”的定义判断即可； （2）根据数列为等差数列可得通项公式，再根据“凹数列”的定义得对任意，恒成立，进而解出的范围即可； （3）先证明必要性，放缩得到，故，再证明充分性，取，，则有，进而得证. 【小问1详解】 数列是为“凹数列”，数列不是为“凹数列”，理由略； 【小问2详解】 因为等差数列的公差为，，所以， 因为数列是凹数列，所以对任意，恒成立， 即， 所以，即， 因为，解得.所以的取值范围为. 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：本题是数列新定义问题，主要考查了等差数列，等比数列，递推公式和求和公式等的综合运用，对常见的求通项公式和求和公式要掌握牢固，同时要将“新”性质有机地应用到“旧”性质上，创造性的解决问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南宁三中2025届高三年级上学期11月考试 数学试卷 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 某地铁1号线的开通运营极大地方便了市民的出行.某时刻从A站驶往B站的过程中，10个车站上车的人数统计如下：70，50，60，55，60，45，35，30，30，10.这组数据的第90%分位数为（ ） A. 50 B. 55 C. 60 D. 65 3. （ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 4. 已知，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 5. 已知的三个内角分别为A、B、C，若A、B、C成等差数列，且，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 若点P是直线上的一动点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A、B，当最小时，的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. “函数的图象关于对称”是“，”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知函数的定义域为，，为偶函数，，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知正方体的棱长为2，点M在线段上运动，则（ ） A. 直线与直线是异面直线 B. 三棱锥的体积为定值 C. 直线与平面所成角的正弦值为 D. 点到平面的距离为 10. 已知点是椭圆的左、右顶点，点，分别为C的左、右焦点，点O为原点，点是椭圆上关于原点对称的两点，且不与重合，则（ ） A. 的取值范围是 B. C. 以线段为直径的圆被直线截得的弦长为 D. 直线与直线的斜率之积 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 已知抛物线的焦点为F，点M在抛物线C上且到x轴的距离为3，则______. 12. 函数 ( ，且 )，若对 成立，则实数的取值范围是___________________. 13. 已知向量，，令，当时，则实数t的取值范围是______；对任意和，满足恒成立，则实数a的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 设有甲、乙两个不透明的箱子，每个箱子中装有除颜色外其他都相同的小球，其中甲箱有4个红球和3个白球，乙箱有3个红球和2个白球.从甲箱中随机摸出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机摸出1个球. （1）求从乙箱中摸出白球的概率； （2）若从乙箱中摸出白球，求从甲箱中摸出2个红球的概率. 15. 如图，在正四棱台中，，，E是的中点. （1）求证：直线平面； （2）已知直线与平面所成的角为，求二面角的正弦值. 16. 已知动点到定点的距离与它到定直线的距离之比是. （1）求动点P的轨迹方程； （2）记动点P的轨迹为C，若过点的直线与C交于M，N两点，的面积为，求直线的方程. 17. 已知函数. （1）当时，求在点处的切线方程； （2）当时，讨论的单调性； （3）证明：当时，只有一个零点. 18. 已知数列，对于任意的，都有，则称数列为“凹数列”. （1）已知数列，的前项和分别为，，且，，试判断数列，数列是否为“凹数列”，并说明理由； （2）已知等差数列，首项为4，公差为，且为“凹数列”，求的取值范围； （3）证明：数列为“凹数列”的充要条件是“对于任意的，，，当时，有”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $