专题5-2 三角函数的概念与同角函数的关系【九大题型】- 【重难点突破】2024-2025学年高一数学上学期·人教A版必修第一册·重难点专题突破

【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考） 专题5-2 三角函数的概念 总览 题型解读 【题型1】利用三角函数的定义求值（3种类型） 【题型2】三角函数的符号与所在象限判断 【题型3】求任意角的三角函数值 【题型4】单位圆上的动点与旋转点 【题型5】对sinα，cosα，tanα的知一求二问题 【题型6】正、余弦齐次式的计算 【题型7】sinα±cosα、sinαcosα关系应用 【题型8】利用同角关系化简求值 【题型9】证明三角恒等式 题型汇编 知识梳理与常考题型 一、三角函数的定义 1、定义：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，则： 叫做的正弦函数，记作.即； 叫做的余弦函数，记作.即； 叫做的正切函数，记作.即。 2、三角函数定义域：正弦函数、余弦函数、和正切函数统称为三角函数，通常记为： 正弦函数： 余弦函数： 正切函数： 3、三角函数另一种定义：设点（不与原点重合）为角终边上任意一点，点P与原点的距离为：，则：，，. 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关 二、三角函数值的符号及公式一 1、三角函数值的符号 【注意】（1）由三角函数的定义可知，角的三角函数值的符号由角的终边上任意一点的坐标确定的，准确确定角的终边的位置是判断三角函数值符号的关键； （2）要熟记三角函数值在各象限的符号规律，可简记为：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”． 2、诱导公式一：由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到诱导公式一 其中 【注意】（1）利用诱导公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求0～2π(或0°～360°)范围内角的三角函数值． （2）上面三个公式也可以统一写成：f(k·2π＋α)＝f(α)(k∈Z)，或f(k·360°＋α)＝f(α)(k∈Z)． 三、特殊角的三角函数值 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 0 0 1 0 －1 1 0 - - - －1 0 0 1 －1 0 【题型1】利用三角函数的定义求值（3种类型） 三角函数的定义求值中常见的三种题型及解决方法 1、已知角的终边上一点的坐标，求角的三角函数值 方法：先求出点到原点的距离，再利用三角函数的定义求解； 2、已知角的一个三角函数值和终边上的点P的横坐标或纵坐标，求与角有关的三角函数值 方法：先求出点到原点的距离（带参数），根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题； 3、已知角的终边所在的直线方程（，），求角的三角函数值 方法：先设出终边上的一点，求出点到原点的距离，再利用三角函数的定义求解（注意的符号，对分类讨论），结论： 【例题1】若角的终边经过点，则（ ） A． B． C． D． 【例题2】已知是角的终边上一点，，则（    ） A． B． C． D． 【例题3】已知角的终边落在直线上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】如果角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】若角的终边经过点，则等于（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】已知角的顶点为原点，起始边为轴非负半轴，若点是角终边上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习4】（2023·江苏盐城·高一校联考期末）已知角终边经过点，且，则的值为（ ） A． B． C． D． 【巩固练习5】已知角的终边经过点，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习6】如果角的终边在直线上，则（ ） A． B． C． D． 【题型2】三角函数的符号与所在象限判断 简记： ；；. 【例题1】已知，，则角的终边位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【例题2】已知点是第三象限的点，则的终边位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【巩固练习1】已知，，则角的终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【巩固练习2】若，，则是（ ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【巩固练习3】若是第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习4】（多选）若，则可能在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【题型3】求任意角的三角函数值 求任意角三角函数值的步骤 (1)“负化正”：用公式一或三来转化. (2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角. (3)“小化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角. 【例题1】的值为（ ） A． B． C． D． 【巩固练习1】的值为（ ） A．－ B． C．－ D． 【巩固练习2】“”是“”成立的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【题型4】单位圆上的动点与旋转点 考虑做垂线构造特殊直角三角形，通过三边之比求坐标 【例题1】（2024·高一·安徽合肥·阶段练习）已知平面直角坐标系，点在半径为2的圆上，现点从圆与轴非负半轴的交点出发按顺时针方向运动了圆周，则此时点的纵坐标为 . 【巩固练习1】在直角坐标系中，若点从点出发，沿圆心在原点，半径为3的圆按逆时针方向运动到达点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（2024·高一·湖南长沙·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，动点、从点出发在单位圆上运动，点按逆时针方向每秒钟转弧度，点按顺时针方向每秒钟转弧度，则、两点在第次相遇时，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【巩固练习3】在直角坐标系中，一个质点在半径为2的圆O上，以圆O与x正半轴的交点为起点，沿逆时针方向匀速运动到P点，每转一圈，则后的长为（ ） A． B． C． D． 【题型5】对sinα，cosα，tanα的知一求二问题 (1)若已知或，可以先应用公式，根据角终边所在的象限，判断三角函数的符号，求得的值，再由公式求得的值． (2)若已知，可以应用公式，再代入，根据角终边所在的象限，判断三角函数的符号。 【例题1】计算： (1)已知，，求的值. (2)已知，求，的值 【巩固练习1】设为第二象限角，若，则 . 【巩固练习2】若，，则（ ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（1）若是的一个内角，且，求的值; （2）若，求的值; 【题型6】正、余弦齐次式的计算 解题思路 (1)对只含有的齐次式，可根据同角三角函数的商数关系，通过除以某一齐次项，转化为只含有正切的式子，即化弦为切，整体代入． (2)对于形如或的分式，分子、分母同时除以，，将正、余弦转化为正切，从而求值． (3)对于形如的式子，将其看成分母为1的分式，再将分母1变形为，转化为形如的式子求值． 【例题1】已知，则的值为（ ） A． B．1 C． D． 【例题2】（23-24高一上·湖北·期末）已知，则的值为 ． 【例题3】已知，则 . 【巩固练习1】已知，则（ ） A． B． C． D． 【巩固练习2】已知，则（    ） A． B． C．或1 D．或1 【巩固练习3】（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知是关于的方程的一个实根，且是第一象限角，求的值； 【巩固练习4】已知，求： （1）；（2）. 【巩固练习5】已知，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习6】已知，则（    ） A． B． C． D． 【题型7】sinα±cosα、sinαcosα关系应用 对于，，这三个式子，知一可求二：但是要特别注意角的象限决定正负号。 【例题1】（高一上·山东青岛·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【例题2】（22-23高一上·广东深圳·期末）已知，是关于x的方程的两根，则实数 ． 【例题3】（23-24高一上·安徽亳州·期末）已知，则 . 【例题4】（23-24高一上·广东佛山·期末）已知是方程的两个实数根． (1)求的值： (2)若为第二象限角，求的值． 【巩固练习1】（23-24高一上·四川成都·期末）（多选）已知，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（23-24高一上·广东汕头·期末）（多选）已知α为锐角，且 则下列选项中正确的有（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（23-24高一上·江苏常州·期末）已知为第二象限角，且满足，则 ． 【巩固练习4】（23-24高一上·浙江·期末）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习5】（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）已知是关于x的方程的两个根，则 ． 【巩固练习6】（23-24高一上·广东广州·期末）已知． (1)求的值；(2)求的值． 【巩固练习7】（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知，且，求的值． 【巩固练习8】（23-24高一上·湖北咸宁·阶段练习）已知关于的方程的两个根分别为和，且． (1)求的值； (2)求的值；(3)求方程的两根及的值． 【题型8】利用同角关系化简求值 1、知弦求弦：利用诱导公式及平方关系求解 2、知弦求切：常通过平方关系，与对称式，建立联系，注意的灵活应用 【例题1】已知 ，则的值为 ． 【例题2】化简：． 【例题3】已知，，且是第二象限角，则实数的值为 ． 【巩固练习1】（23-24高一上·江苏盐城·期末）若，，则 ． 【巩固练习2】已知，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（23-24高一上·江苏南通·期末）已知. (1)化简：； (2)若，求的值. 【巩固练习4】（23-24高一上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，已知角的终边经过点，其中. (1)求的值；(2)若为第二象限角，求的值. 【题型9】证明三角恒等式 解题思路：证明三角恒等式常用的方法 ①证明一边等于另一边，一般是由繁到简． ②证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一)． ③比较法：即证左边－右边＝0或＝1(右边≠0)． ④证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立． 【例题1】证明：. 【例题2】证明：． 【巩固练习1】求证：. 【巩固练习2】已知，．求证：． 【巩固练习3】证明： 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考） 专题5-2 三角函数的概念 总览 题型解读 【题型1】利用三角函数的定义求值（3种类型） 【题型2】三角函数的符号与所在象限判断 【题型3】求任意角的三角函数值 【题型4】单位圆上的动点与旋转点 【题型5】对sinα，cosα，tanα的知一求二问题 【题型6】正、余弦齐次式的计算 【题型7】sinα±cosα、sinαcosα关系应用 【题型8】利用同角关系化简求值 【题型9】证明三角恒等式 题型汇编 知识梳理与常考题型 一、三角函数的定义 1、定义：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，则： 叫做的正弦函数，记作.即； 叫做的余弦函数，记作.即； 叫做的正切函数，记作.即。 2、三角函数定义域：正弦函数、余弦函数、和正切函数统称为三角函数，通常记为： 正弦函数： 余弦函数： 正切函数： 3、三角函数另一种定义：设点（不与原点重合）为角终边上任意一点，点P与原点的距离为：，则：，，. 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关 二、三角函数值的符号及公式一 1、三角函数值的符号 【注意】（1）由三角函数的定义可知，角的三角函数值的符号由角的终边上任意一点的坐标确定的，准确确定角的终边的位置是判断三角函数值符号的关键； （2）要熟记三角函数值在各象限的符号规律，可简记为：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”． 2、诱导公式一：由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到诱导公式一 其中 【注意】（1）利用诱导公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求0～2π(或0°～360°)范围内角的三角函数值． （2）上面三个公式也可以统一写成：f(k·2π＋α)＝f(α)(k∈Z)，或f(k·360°＋α)＝f(α)(k∈Z)． 三、特殊角的三角函数值 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 0 0 1 0 －1 1 0 - - - －1 0 0 1 －1 0 【题型1】利用三角函数的定义求值（3种类型） 三角函数的定义求值中常见的三种题型及解决方法 1、已知角的终边上一点的坐标，求角的三角函数值 方法：先求出点到原点的距离，再利用三角函数的定义求解； 2、已知角的一个三角函数值和终边上的点P的横坐标或纵坐标，求与角有关的三角函数值 方法：先求出点到原点的距离（带参数），根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题； 3、已知角的终边所在的直线方程（，），求角的三角函数值 方法：先设出终边上的一点，求出点到原点的距离，再利用三角函数的定义求解（注意的符号，对分类讨论），结论： 【例题1】若角的终边经过点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为角的终边经过点，则.故选：D 【例题2】已知是角的终边上一点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的定义求出的值，再根据三角函数的定义进行求值即可. 【详解】由三角函数的定义知: ， 所以. 【例题3】已知角的终边落在直线上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数得定义求解即可得出结论. 【详解】设直线上任意一点P的坐标为（）， 则（O为坐标原点）， 根据正弦函数的定义得：， 时，； 时，， 所以选项D正确，选项A，B，C错误 【巩固练习1】如果角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先算点P坐标，然后由三角函数定义可得. 【详解】由题可得，因为，所以. 【巩固练习2】若角的终边经过点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数定义可得. 【详解】因为角的终边经过点，则， 所以， 所以. 【巩固练习3】已知角的顶点为原点，起始边为轴非负半轴，若点是角终边上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角函数的定义可得出关于的等式，即可解出的值. 【详解】因为点是角终边上一点，且， 由三角函数的定义可得，则，解得. 【巩固练习4】（2023·江苏盐城·高一校联考期末）已知角终边经过点，且，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为角终边经过点，所以， 所以，解得.故选：C 【巩固练习5】已知角的终边经过点，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据三角函数的概念求解，即可得的值. 【详解】已知角的终边经过点 所以， 则当时，，此时； 当时，，此时； 所以的值可能为或. 【巩固练习6】如果角的终边在直线上，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为角的终边在直线上，所以. 所以 【题型2】三角函数的符号与所在象限判断 简记： ；；. 【例题1】已知，，则角的终边位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据三角函数的符号与角的象限间的关系，即可求解. 【详解】由，，根据三角函数的符号与角的象限间的关系， 可得角的终边位于第四象限. 【例题2】已知点是第三象限的点，则的终边位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】∵点是第三象限的点，∴，， 由可得，的终边位于第二象限或第三象限或x轴的非正半轴； 由可得，的终边位于第一象限或第三象限， 综上所述，的终边位于第三象限．故选:C 【巩固练习1】已知，，则角的终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据所给条件得到、，，即可判断. 【详解】因为，即， 又，所以，即，所以， 所以角的终边在第三象限. 【巩固练习2】若，，则是（ ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】A 【解析】由，，得，， 所以是第一象限角.故选：A. 【巩固练习3】若是第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】若α是第二象限角，则，故A错误； 为第一、三象限角，则，故B正确； ，故C错误； ，故D错误. 【巩固练习4】（多选）若，则可能在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】BCD 【分析】对角的终边的位置进行分类讨论，求出的值，即可得出结论. 【详解】当是第一象限角时，，故一定不是第一象限角； 当是第二象限角时，，即可以是第二象限角； 当是第三象限角时，，即可以是第三象限角； 当是第四象限角时，，即可以是第四象限角． 【题型3】求任意角的三角函数值 求任意角三角函数值的步骤 (1)“负化正”：用公式一或三来转化. (2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角. (3)“小化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角. 【例题1】的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】.故选：D. 【巩固练习1】的值为（ ） A．－ B． C．－ D． 【答案】D 【解析】故选：D. 【巩固练习2】“”是“”成立的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若，则； 若，不一定有， 例如，则； 综上所述：“”是“”成立的充分不必要条件.故选：A. 【题型4】单位圆上的动点与旋转点 考虑做垂线构造特殊直角三角形，通过三边之比求坐标 【例题1】（2024·高一·安徽合肥·阶段练习）已知平面直角坐标系，点在半径为2的圆上，现点从圆与轴非负半轴的交点出发按顺时针方向运动了圆周，则此时点的纵坐标为 . 【答案】1 【解析】由题意，点顺时针转过了角， 故， . 【巩固练习1】在直角坐标系中，若点从点出发，沿圆心在原点，半径为3的圆按逆时针方向运动到达点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意可知，作出图示如下： 根据题意可得，，作轴且垂足为； 利用三角函数定义可得，； 又点在第四象限，所以点的坐标为. 【巩固练习2】（2024·高一·湖南长沙·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，动点、从点出发在单位圆上运动，点按逆时针方向每秒钟转弧度，点按顺时针方向每秒钟转弧度，则、两点在第次相遇时，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】相遇时间为秒， 故转过的角度为， 故对应坐标为，即. 【巩固练习3】在直角坐标系中，一个质点在半径为2的圆O上，以圆O与x正半轴的交点为起点，沿逆时针方向匀速运动到P点，每转一圈，则后的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知，一个质点在圆O上每逆时针方向转一圈， 那么后，到达P点，所以， 而在中，且为圆的半径， 取的中点T，如图，则， 所以，则， 所以，故选：C 【题型5】对sinα，cosα，tanα的知一求二问题 (1)若已知或，可以先应用公式，根据角终边所在的象限，判断三角函数的符号，求得的值，再由公式求得的值． (2)若已知，可以应用公式，再代入，根据角终边所在的象限，判断三角函数的符号。 【例题1】计算： (1)已知，，求的值. (2)已知，求，的值 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）由商数关系及平方关系，结合角的范围求即可； （2）讨论为第二或第三象限角，结合同角三角函数关系求正弦、正切值. 【详解】（1）由，得：， 又，所以. （2）因为，所以为第二或第三象限角，又. 若为第二象限角，则； 若为第三象限角，则. 【巩固练习1】设为第二象限角，若，则 . 【答案】/ 【分析】由同角三角函数的基本关系，列方程组解出，求和即可. 【详解】为第二象限角，则，， 若，则有，解得， 所以. 【巩固练习2】若，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，， 所以，所以， 因为，所以， 又因为， 所以，所以， 所以， 所以.故选：C 【巩固练习3】（1）若是的一个内角，且，求的值; （2）若，求的值; 【答案】（1）（2）答案见解析 【分析】根据同角三角函数的商数关系和平方关系求解即可； 【详解】解:（1）若是的一个内角，且， 所以， 所以 所以 （2）因为，所以是第一、第二象限角. 当是第一象限角时，此时； 当是第二象限角时，此时， 综上，当是第一象限角时，;当是第二象限角时，. 【题型6】正、余弦齐次式的计算 解题思路 (1)对只含有的齐次式，可根据同角三角函数的商数关系，通过除以某一齐次项，转化为只含有正切的式子，即化弦为切，整体代入． (2)对于形如或的分式，分子、分母同时除以，，将正、余弦转化为正切，从而求值． (3)对于形如的式子，将其看成分母为1的分式，再将分母1变形为，转化为形如的式子求值． 【例题1】已知，则的值为（ ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以.故选：C. 【例题2】（23-24高一上·湖北·期末）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】由齐次式法结合平方关系即可求解. 【详解】. 【例题3】已知，则 . 【答案】2或 【解析】由两边平方得， 解得， 所以，即，解得或. 【巩固练习1】已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知， 则，故选：D 【巩固练习2】已知，则（    ） A． B． C．或1 D．或1 【答案】B 【分析】利用弦化切可得出关于的等式，即可求得的值. 【详解】因为 ，解得. 【巩固练习3】（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知是关于的方程的一个实根，且是第一象限角，求的值； 【答案】． 【分析】解方程，求出，利用同角三角函数关系式能求出结果． 【详解】解方程，得，， 是关于的方程的一个实根，且是第一象限角，则， 【巩固练习4】已知，求： （1）；（2）. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1） ； （2）=. 【巩固练习5】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得，根据齐次式法可得，即可得结果. 【详解】因为，可得， 可得， 所以. 【巩固练习6】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知求出，再利用“1”的变换，将所求的式子化为关于的齐次分式，化弦为切，即可求解. 【详解】若，则，不合题意，所以， 由，可得，解得， 所以. 【题型7】sinα±cosα、sinαcosα关系应用 对于，，这三个式子，知一可求二：但是要特别注意角的象限决定正负号。 【例题1】（高一上·山东青岛·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将题设条件等式两边平方，可得，再将目标式平方并结合角的范围即可求. 【详解】，则， 而，又， ∴，则. 【例题2】（22-23高一上·广东深圳·期末）已知，是关于x的方程的两根，则实数 ． 【答案】 【分析】利用韦达定理列出关于m的方程，再利用同角之间的基本关系，即可求解． 【详解】由，是关于的方程的两根，所以， 由，可得，则， 经检验符合题意，所以实数的值为. 【例题3】（23-24高一上·安徽亳州·期末）已知，则 . 【答案】 【分析】平方相加可得，即可根据角的范围求解. 【详解】将两式平方, 相加得，即， 因为，所以，所以. 【例题4】（23-24高一上·广东佛山·期末）已知是方程的两个实数根． (1)求的值： (2)若为第二象限角，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可确定m的范围，再结合根与系数的关系以及同角的三角函数关系，即可求得答案； （2）根据角所在象限，确定的正负，平方后结合同角的三角函数关系，化简求值，即可求得答案. 【详解】（1）由题意知是方程的两个实数根， 故； 且， 因为，故， 解得，满足， 故； （2）因为为第二象限角，所以，则， 由（1）知， 所以， 则. 【巩固练习1】（23-24高一上·四川成都·期末）（多选）已知，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用三角函数基本关系和完全平方公式、三角函数值的正负求解. 【详解】将平方得， 因为，所以， 因为，所以，，， 所以， 因为，所以， 根据解得， 所以. 故选：ACD. 【巩固练习2】（23-24高一上·广东汕头·期末）（多选）已知α为锐角，且 则下列选项中正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】由同角的三角函数基本关系逐项分析即可得解. 【详解】因为，所以，而α为锐角， 所以，故A错误； 由，两边平方可得，故C正确； 因为α为锐角， 所以，故D正确； 由，故B错误. 【巩固练习3】（23-24高一上·江苏常州·期末）已知为第二象限角，且满足，则 ． 【答案】 【分析】平方得到，变换得到，解得，，解得答案. 【详解】，则，即， 故， 为第二象限角，故，，， 解得，，故. 【巩固练习4】（23-24高一上·浙江·期末）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用同角的三角函数关系求出，判断的范围，确定，结合齐次式法求值求出，即可求得答案. 【详解】因为，故， 即，得， 则，且， 所以， 所以，则， 故 【巩固练习5】（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）已知是关于x的方程的两个根，则 ． 【答案】 【分析】根据根与系数关系可以求得，然后利用，求出的值，然后即可求解. 【详解】由题意得：，是的两个根，即：，解得：或， 由根与系数的关系得：，所以：， 即：，解得：，（舍去）， . 【巩固练习6】（23-24高一上·广东广州·期末）已知． (1)求的值；(2)求的值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据题意，结合同角三角函数的关系，借助平方差，平方和公式计算即可; （2）由（1）问，将的分母展开代入即可. 【详解】（1），解得：， ，解得：， ，，，． （2）由（1）知，，, . 【巩固练习7】（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知，且，求的值． 【答案】 ． 【分析】由且，得，从而，再由，能求出结果． 【详解】，且， ，则，而， 则，故， 【巩固练习8】（23-24高一上·湖北咸宁·阶段练习）已知关于的方程的两个根分别为和，且． (1)求的值； (2)求的值；(3)求方程的两根及的值． 【答案】(1) (2) (3)两根为，；或. 【分析】（1）由和是方程的两个根得，利用商数关系，求出代数式的值； （2）利用平方关系，和，求得m的值. （3）解方程，得和的值，由，得的值. 【详解】（1）因为和是方程的两个根，所以， 原式. （2）因为，所以， 所以，解得. （3）由（2）可知，，所以方程的两根为，， 所以或，又因为，所以或. 【题型8】利用同角关系化简求值 1、知弦求弦：利用诱导公式及平方关系求解 2、知弦求切：常通过平方关系，与对称式，建立联系，注意的灵活应用 【例题1】已知 ，则的值为 ． 【答案】3 【解析】 【例题2】化简：． 【答案】 【解析】 ． 【例题3】已知，，且是第二象限角，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】根据角所在象限，结合同角的三角函数关系，列出不等式和相应等式，即可求得答案. 【详解】由题意，，且是第二象限角， 可得， 解，可得或， 当时，不满足，适合题意， 故实数的值为 【巩固练习1】（23-24高一上·江苏盐城·期末）若，，则 ． 【答案】0或 【分析】根据，代入整理求解得出的值，进而得出的值，即可得出答案. 【详解】由已知可得，， 所以，， 整理可得，，解得或. 当时，，，； 当时，，，. 综上所述，或. 【巩固练习2】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 所以， 即，即， 显然，所以，则， 又，所以，所以. 【巩固练习3】（23-24高一上·江苏南通·期末）已知. (1)化简：； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用所给范围，结合同角关系式进行化简； （2）利用关系式和范围，求出、的值，化简式子代入即可. 【详解】（1）原式 因为，所以，所以原式 （2）因为，所以，即， 所以. 所以. 因为，所以.所以. 所以. 所以. 【巩固练习4】（23-24高一上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，已知角的终边经过点，其中. (1)求的值；(2)若为第二象限角，求的值. 【答案】(1)时,；时, (2) 【分析】（1）利用三角函数的定义求解； （2）由为第二象限角得，利用同角三角函数关系式得，代入计算即可. 【详解】（1）因为,,所以， 当时，； 当时，， 综上，时，；时，. （2）因为为第二象限角，所以， 则， 所以 【题型9】证明三角恒等式 解题思路：证明三角恒等式常用的方法 ①证明一边等于另一边，一般是由繁到简． ②证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一)． ③比较法：即证左边－右边＝0或＝1(右边≠0)． ④证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立． 【例题1】证明：. 【答案】证明见解析. 【分析】根据平方关系将所证等式的左侧化简，再根据商的关系将其转化为正切即可. 【详解】左边右边. 所以. 【例题2】证明：． 【答案】证明见解析 【解析】证明： ， 即. 【巩固练习1】求证：. 【详解】证明：. 【巩固练习2】已知，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】由切化弦，可将等式左边化为，再通分即可证与右边相等. 【详解】∵，， ∴且， ，得证. 【巩固练习3】证明： 【分析】利用同角三角函数的基本关系分别化简左右两边可证. 【详解】， ， . 30 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$