空间几何综合提升（一）专练-2025届高三数学一轮专题复习

空间几何综合提升一 1．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，且，. (1)若为的中点，证明：平面平面； (2)若，，线段上的点满足，且平面与平面夹角的余弦值为，求实数的值. 2．如图，在直三棱柱中，△为边长为2的正三角形，为中点，点在棱上，且. (1)当时，求证平面； (2)设为底面的中心，求直线与平面所成角的正弦值的最大值，并求取得最大值时的值. 3．如图，已知四边形是直角梯形，，平面是的中点，E是的中点，的面积为，四棱锥的体积为． (1)求证：平面; (2)若P是线段上一动点，当二面角的大小为时，求的值． 4．如图1，在平行四边形中，，将沿折起，使点D到达点P位置，且，连接得三棱锥，如图2． (1)证明：平面平面； (2)在线段上是否存在点M，使平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 5．如图，四边形为矩形，≌，且二面角为直二面角． (1)求证：平面平面； (2)设是的中点，，二面角的平面角的大小为，当时，求的取值范围． 6．如图，在直三棱柱中，，，垂直于平面．点，，分别为边，，上的动点（不包括顶点），且满足． (1)求三棱锥的体积的最大值； (2)记平面与平面所成的锐二面角为，当最小时，求的值，并说明点所处的位置． 7．如图，在四棱锥中，，且，，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 8．在梯形中，，，，P为的中点，线段与交于O点（如图1）.将沿折起到位置，使得平面平面（如图2）. (1)求二面角的余弦值； (2)线段上是否存在点Q，使得与平面所成角的正弦值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 9．如图，已知垂直于梯形所在的平面，矩形的对角线交于点为的中点，. (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由. 10．在四棱锥中，底面是边长为的正方形，是的中点，点在棱上，且，，． (1)若平面平面，证明：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值的最大值． 11．如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，且边长为，点在母线上，且，． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面 (3)若点为线段上的动点．当直线与平面所成角的正弦值最大时，求此时点到平面的距离． 空间几何综合提升一 1．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，且，.    (1)若为的中点，证明：平面平面； (2)若，，线段上的点满足，且平面与平面夹角的余弦值为，求实数的值. 【解】（1）取中点为，由条件可得为梯形的中位线，则， 又，则， 且，平面，平面， 根据线面垂直的判定定理，得平面， 平面，. 由，则，又，为梯形的两腰，则与相交， 平面， 又平面，所以平面平面. （2）取的中点为Q，由，， 则，， 因此△为等边三角形，. 由（1）知平面，，，两两垂直， 如图，以，，分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，    由，，则， ，，，， 由， 所以，，，， 设平面的一个法向量为， 由 取，得，，得. 设平面的一个法向量为，由 取，得，， 即平面的一个法向量为. 记平面与平面夹角的大小为， 所以，化简得，即，所以实数的值为. 2．如图，在直三棱柱中，△为边长为2的正三角形，为中点，点在棱上，且. (1)当时，求证平面； (2)设为底面的中心，求直线与平面所成角的正弦值的最大值，并求取得最大值时的值. 【解】（1）取的中点，连接， 因为三棱柱为直棱柱，且△为正三角形， 所以以所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系， 根据已知条件得 ， 当时，，， ， ， ，即， 又，而平面，平面. （2）由（1）知，， 为△的中心，， 设平面的法向量，则 ，令，则 设直线与平面所成角为，则 令，则， 此时， (当且仅当即时取等号)， ， 即直线与平面所成角正弦的最大值为，此时的值为 3．如图，已知四边形是直角梯形，，平面是的中点，E是的中点，的面积为，四棱锥的体积为． (1)求证：平面; (2)若P是线段上一动点，当二面角的大小为时，求的值． 【解】（1）因为平面，所以． 因为N是的中点，所以，故． 又因为，所以是等边三角形． 因为的面积为，所以． 如图1，过点D作交于点M，四边形是直角梯形， 且，，则， 故四边形为平行四边形． 因此． 又，因此． 因为四棱锥的体积为， 所以， 解得． 连接，在中，． 连接，在中，． 因为， 则． 因为平面，所以， 而平面平面， 所以平面． （2）以N为坐标原点，分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图2所示． 则． 因为P是线段上一动点， 所以设，其中． 故． 设平面的一个法向量， 则，令，得，， 所以． 设平面的一个法向量， 则有，令，得，， 可取． 因为二面角的大小为， 所以，即，解得，即． 因为，所以． 4．如图1，在平行四边形中，，将沿折起，使点D到达点P位置，且，连接得三棱锥，如图2． (1)证明：平面平面； (2)在线段上是否存在点M，使平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【解】（1）证明：翻折前，因为四边形为平行四边形，，则， 因为，则，， 由余弦定理可得， 所以，，则，同理可证， 翻折后，则有，， 因为，，、平面， 所以，平面， 因为平面，则， 因为，、平面，所以，平面， 所以平面平面. （2）因为平面，，以点为坐标原点， 、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 设，其中， 则，， 设平面的法向量为，则， 取，则，，所以，， 平面的一个法向量为，，， 则，令，可得， 则，整理可得， 因此，线段上存在点，使平面AMB与平面MBC的夹角的余弦值为，且. 5．如图，四边形为矩形，≌，且二面角为直二面角． (1)求证：平面平面； (2)设是的中点，，二面角的平面角的大小为，当时，求的取值范围． 【解】（1）因二面角为直二面角，即平面平面，又， 平面平面，平面，则平面， 又平面，即得， 四边形为矩形，≌，则,即， 平面，于是平面，平面， 所以平面平面； （2）过E作平面，由（1）知平面，平面，故， 以为原点，射线EB，EA，Ez分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图， ∵，，则，，，， ，，， 设平面的法向量为，则，即， 则， 设平面的法向量为，则，即， 则， 由图可知二面角为锐二面角， 从而有， 而，则，, 所以. 6．如图，在直三棱柱中，，，垂直于平面．点，，分别为边，，上的动点（不包括顶点），且满足． (1)求三棱锥的体积的最大值； (2)记平面与平面所成的锐二面角为，当最小时，求的值，并说明点所处的位置． 【解】（1）由垂直于平面，且为直三棱柱，故平面， 故为三棱锥的高，设，则， 由，故，则， 故， 故时，三棱锥的体积有最大值；    （2）由垂直于平面，、平面， 故、，又， 故、、两两垂直， 设， 以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则有、、、、、， 故、、、， 设平面与平面的法向量分别为、， 则有，，即，， 令，，可得、，、， 故，， 故， 令，， 则， 由， 故当时，，当时，， 故， 故， 由为锐角时，随的增大而减小，故当最小时，有最大， 即此时，此时，即点在中点. 7．如图，在四棱锥中，，且，，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【解】（1）    取中点，连， 由为的中点，则，又， 则，又， 所以四边形为平行四边形， 则，平面，平面， 则平面. （2）取中点，连， 由且，则四边形是平行四边形， 故，又，则， 所以，由，则， 在中，， 由余弦定理得， 则，而，所以， 则，即，又，所以平面， 在平面内作. 以为轴正向建立空间直角坐标系， 则， 所以， 假设存在点满足题意，设， 则可得， 设平面的法向量， 则，令， 则； 设平面的法向量， 则，令，则； 所以，解得， 所以假设成立，即存在，且时，使得平面与平面的夹角的余弦值为.    8．在梯形中，，，，P为的中点，线段与交于O点（如图1）.将沿折起到位置，使得平面平面（如图2）.    (1)求二面角的余弦值； (2)线段上是否存在点Q，使得与平面所成角的正弦值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【解】（1）因为在梯形中，，，，为的中点，所以，，， 所以是正三角形，四边形为菱形， 可得，， 而平面平面，平面平面， 平面，， 平面，所以，，两两互相垂直， 如图，以点为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，，，， 设平面的一个法向量为，则 ，即，令，则， ， 设平面的一个法向量为，则 ，即，令，则，， ， ， 所以二面角的余弦值为. （2）线段上存在点，使得与平面所成角的正弦值为. 设，因为，，所以， 设与平面所成角为，则， 即，，解得， 所以线段上存在点，且，使得与平面所成角的正弦值为. 9．如图，已知垂直于梯形所在的平面，矩形的对角线交于点为的中点，.    (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由. 【解】（1）以为原点建立如图所示的坐标系，    ，，，， ，，， 设面的法向量为， ，令，则，， 平面，，平面； （2）假设存在点，设， 则，设面法向量， ，， ，令，则， ， ，即，， 故存在满足题意的点，此时. 10．在四棱锥中，底面是边长为的正方形，是的中点，点在棱上，且，，．    (1)若平面平面，证明：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值的最大值． 【解】（1）证明：因为四边形正方形，所以． 因为平面，平面，所以平面． 又因为平面，平面平面，所以． 因为平面，平面，所以平面． （2）解：由题意可得， ． 因为四边形是正方形，所以． 又因为，，、平面，所以平面． 因为，所以平面， 因为平面，所以，． 则． 所以，． 以为坐标原点，、所在直线分别为、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．    点到平面的距离为， 点到平面的距离为． 则，，，， 设，则，， 设平面的法向量为， 则，取，可得． 设平面的法向量为，，， 则，取，可得． 设平面与平面的夹角为， 则， 令， 则 ． 当时，取得最小值，最小值为， 所以的最大值为，此时，． 故平面与平面的夹角的余弦值的最大值为． 11．如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，且边长为，点在母线上，且，．    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面 (3)若点为线段上的动点．当直线与平面所成角的正弦值最大时，求此时点到平面的距离． 【解】（1）如图，设交于点，连接，由圆锥的性质可知底面，    因为平面，所以， 又因为是底面圆的内接正三角形，由，可得， ，解得， 又，，所以，即，， 又因为，所以， 所以，即， 又平面，直线平面，平面， 所以直线平面． （2）因为平面，所以平面， 又平面，所以平面平面； （3）易知，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，，，    设平面的法向量为， 则，令，则， 设，可得， 设直线与平面所成的角为， 则， 即， 令， 则， 当且仅当时，等号成立，所以当时，有最大值， 即当时，的最大值为1，此时点， 所以， 所以点到平面的距离， 故当直线与平面所成角的正弦值最大时，点到平面的距离为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$