第2章 2.4 过不共线三点作圆-【初中必刷题】2024-2025学年九年级下册数学同步课件(湘教版)

数 学 九年级下册 湘教版 1 2 3 第2章 圆 4 2.4 过不共线三点作圆 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 确定圆的条件及个数 1.如图，点，，在同一条直线上，点在直线 外，过这四点中的任意三个 点，能画圆的组合有( ) C A.1组 B.2组 C.3组 D.4组 【解析】根据题意得出过点D，A，B；点D，A，C；点D，B，C分别可以确定一个圆， 故过这四点中的任意三个点，能画圆的组合有3组.故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7 （第2题图） 2.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了,其中四块碎片如图所示,为 配到与原来大小一样的圆形玻璃,小明带到商店去的一块玻璃碎片 应该是( ) B A.第①块 B.第②块 C.第③块 D.第④块 【解析】因为在第②块玻璃碎片的圆弧上可以找到不共线的三点， 依次连接这三点得到一个三角形，分别作三角形三条边的垂直平 分线，垂直平分线的交点就是圆心，再连接圆心与三角形的一个 顶点得到半径，已知圆心和半径，就可以作圆，即可配到与原来 大小一样的圆形玻璃.故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 （第3题图） 3.如图,在的正方形网格中,一条圆弧经过,, 三点,那么这 条圆弧所在圆的圆心是( ) B A.点 B.点 C.点 D.点 【解析】连接，，分别作， 的垂直平分线，垂直平分线 的交点就是圆的圆心，作图后可知点 是该圆的圆心.故选B. 方法归纳 确定圆心的方法：作两条弦的垂直平分线，其交点即为圆心. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 4.如图，圆形残片上，弦的垂直平分线交弧于点 ，交弦 于点.已知， . （1）作此残片所在圆的圆心（不写作法，保留作图痕迹）. 【解】如图，点 即为所求． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 （2）求该圆的半径. 【解】如图，连接.设.,,垂直平分 ， ,.在 中,根据勾股定理,得 ，解得．故圆的半径为 ． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 知识点2 三角形的外接圆 （第5题图） 5.【2024四川泸州质检】如图，等边三角形的边长为 ，则 它的外接圆 的半径为( ) B A. B. C. D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 【解析】如图，连接，，过点作 于点D，则 .为等边三角形， ， ， ， ，故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 13 （第6题图） 6.【2024湖南永州校级期末】如图，在平面直角坐标系 中，点 ，点，点，则经画图操作可知 的外接圆 的圆心坐标是( ) A A. B. C. D. 【解析】如图，分别作，的垂直平分线， 的 外心即是三角形三边垂直平分线的交点，与的交点 即为 的外接圆的圆心，由图可知， 的外接圆的圆心坐标是 .故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 14 7.【2024湖南邵阳调研】在中， ，若两直角边长分别为 ， ，则它的外接圆的面积为_________. 【解析】根据题意，令，， ， 的外接圆的半径为，.故答案为 . 刷有所得 锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点； 钝角三角形的外心在三角形的外部. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 （第8题图） 8.如图，已知锐角三角形内接于半径为2的， 于点 ， ，则 ___. 1 【解析】如图，连接和内接于半径为2的 ， ， ， ， ， ， ， .故答案为1. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 16 9.【2024江苏苏州调研】已知内接于，，半径 ，圆 心到的距离为，则的长为___________ . 或 【解析】①当的顶点在优弧上时，如图（1），连接并延长交 于 点， 点在的垂直平分线上. 圆心也在 的垂直平分线上， 垂直平分,点到的距离为, ， ,.根据勾股定理得 ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 17 ②当的顶点在劣弧上时，如图（2），连接交 于点 ， 点在的垂直平分线上. 圆心也在 的垂直平分线上， 垂直平分,圆心到的距离为， ， ，.根据勾股定理得 ， .综上所述，的长为或 . 图（1） 图（2） 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 18 思路分析 根据点所在的位置分类讨论：①当的顶点在优弧上时，连接 并延 长交于点，利用，都在的垂直平分线上可得垂直平分 ，再利用勾 股定理求出，从而求出；②当的顶点在劣弧上时，连接交 于点，同上可求得 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 19 （第10题图） 10.【2024甘肃天水麦积区一模】如图， 的三个顶点都在半 径为4的上， ，则弦 的长等于_____. 【解析】如图，延长交于，连接，则 ， ，的半径为4， ， ， ，故弦 的长为.故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 提升 1.［中］如图，，则 的大小是( ) B （第1题图） A. B. C. D. 【解析】由题意知A，B，C三点在以为圆心、 为半径的圆上. ， ， .故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 21 （第2题图） 2.【2023湖南郴州调研，中】如图，某零件是由1个长为8，宽为1 的矩形工件和1个边长为6的正方形工件组成的一个轴对称图形，则 能将其完全覆盖的圆形纸片的最小半径为( ) A A.5 B. C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 22 【解析】如图，作的垂直平分线交于，交于，连接 ， 作的垂直平分线交于，连接，，则， .设 ，则.在中， ，即 .在中， ，即 ,，解得 ，则 ， 能将其完全覆盖的圆形纸片的最小半径为5，故选A. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 23 （第3题图） 3.［较难］如图是一个含有3个正方形的相框，其中 ，，， ，将它镶嵌在一 个圆形的金属框上，使，， 三点刚好在金属框上，则该金属框 的半径是( ) A A. B. C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 24 【解析】如图，连接，作线段的垂直平分线和线段 的垂 直平分线交于点，线段的垂直平分线交于点，交 于 点，连接，则点A，，三点刚好在以点为圆心， 为半 径的圆上. ，， ， ，，，， . ， 点为线段的中点. ， ， ，是等腰直角三角形, ， . ， .故选A． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 25 4. 【2023山东威海质检，中】已知直线，点，点 ， 设点为直线上一动点，当点的坐标为________时，过,, 不能作出一个圆. （第5题图） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 26 【解析】设直线的表达式为 点，点， 解得.解方程组解得 当 的坐标 为时，过，， 三点不能作出一个圆. 技巧点拨 如果过三点不能作出一个圆，那么只能让三点在同一条直线上. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 27 5.【2023湖南衡阳调研，中】如图，在中， ，将 绕 点按逆时针方向旋转 得到，点在直线上.若，则点 和 的外心之间的距离是_______. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 28 思路分析 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 29 【解析】由题意可知， .在中， ， ，，，.设 的外心为点 ， 外心是斜边的中点， ， .故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 30 6.【2024湖南永州祁阳期末，中】小明家房前的空地上有三棵树，， ，量得 ，， ，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在 花坛的边上. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 31 （1）请你帮小明把花坛的位置画出来（不写作法，保留作图痕迹）； 【解】如图， 即为所求. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 32 （2）求花坛的面积. 【解】如图，连接.由题意得， ， ， ， ，.， 是等边三 角形， ， ， ， 花坛的面积是 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 33 7.【2024安徽合肥校级一模】如图，是 的外接圆， ，于点，的延长线交于点 . （1）求证： ； 【证明】如图，延长交于点，连接.由题意得是 的直径， ， ， ， ， ， ， ，即 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 34 （2）若，，求 的长. 【解】 ， ， ， ， ，.设，在中， ， ，，，解得 ， ，，， 的长 为1. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 35 刷素养 走向重高 8.核心素养 推理能力［较难］如图，点在的边 上，且 ，过点的直线与的外接圆交于点， ，且点 是 的中点. （1）求证： . 【证明】 点是的中点，, ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 36 （2）求 的值. 【解】， ， ，.，， ， ，，， . 又,，， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 37 $$