第2章 2.3 垂径定理-【初中必刷题】2024-2025学年九年级下册数学同步课件(湘教版)

数 学 九年级下册 湘教版 1 2 3 第2章 圆 4 2.3 垂径定理 5 刷基础 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 垂径定理 （第1题图） 1.如图，弦垂直于的直径，垂足为，且 ， ，则 的长是( ) C A.3 B.4 C.5 D.6 【解析】如图，连接，则是 的直径， ，.在 中， ，故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 7 归纳总结 在圆中，过圆心作弦的垂线与连半径构造直角三角形是常用的作辅助线的方法.对 于由半径、弦心距、弦的一半构成的直角三角形，可以利用三角函数、勾股定理、 垂径定理求解；对于已知“边长”求“边长”，有两种类型：一是“知二求一” 利用勾股定理直接求解，二是利用勾股定理列方程求解. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 8 （第2题图） 2.【2023湖南益阳期末】如图，是的弦，于点 ， 连接，点是半径上任意一点，连接.若， ， 则 的长不可能是( ) D A.6 B.7 C.8 D.9 【解析】如图，连接于点C，， ， ， ， ， 的长度不可能是9.故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 9 3.【2023江苏扬州期末，较难】如图，是半径为4的的弦，且 ，将 沿着弦折叠，点是折叠后的上一动点，连接并延长交于点 ，点 是的中点，连接，则 的最小值为_______. （第3题图） 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 10 【解析】如图，连接，，，，过点作于点，连接 ，则 ，在中， .由折叠的性质得 ，，，是等腰三角形. 点是 的 中点，， . 点是的中点， 在 中， ，的最小值为.故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 11 4.如图，在平行四边形中，，， 边上 的高，点是边上的动点，以为半径的 与边 交于点，（点在点 的左侧）． （1）当经过点时，求 的长； 图（1） 【解】连接，如图（1）所示. ， ， ， ， .当 经过点时， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 12 （2）连接，,当时，求的半径及弦 的长． 图（2） 【解】 四边形是平行四边形， .当 时，四边形是平行四边形. ， 四边形是菱形，.设 ， 则.在 中，由勾股定理得 ，即 ，解得 ，即的半径为.过点作于 ，如图（2）所示，则 ，. 在 中，由勾股定理得 ， ． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 13 知识点2 垂径定理的实际应用 5. 传统文化【2023湖南长沙期中】《九章算术》是我国古 代数学成就的杰出代表，其中方田章给出计算弧田面积所用公式 为弧田面积（弦×矢矢 ），弧田（如图）是由圆弧和其所 B A. B. C. D. 对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心 到 弦的距离之差.在如图所示的弧田中，“弦”为8， “矢”为3，则 ( ) 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 14 【解析】如图，作于，交圆弧于C.由题意得， ， ，为半径，.在 中， 由勾股定理得， ， ，，， ，故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 15 6.如图，市政府新建市民广场，欲在广场内建造一个圆形大花坛，并 在大花坛内点 处建一个亭子，再经过亭子修一条小路． （1）如何设计小路才能使亭子 位于小路的中点处？在图中画出表示小路的线段. 【解】如图所示，连接，过点作，交圆于， 两点， 则线段 即为要修的小路. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 16 （2）在（1）的条件下，若大花坛的直径为，花坛中心到亭子 的距离为 ，则小路有多长？（结果保留根号） 【解】如图，连接.在直角三角形中，, ,则 , . 答：小路长 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 17 归纳总结 圆中已知半（直）径求弦长，常连接半径，通过垂径定理构造直角三角形，再利 用勾股定理解决. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 18 刷易错 易错点 弦的位置考虑不全面导致漏解 7.已知的直径为，，是的两条弦，， ， ，则与之间的距离为______ . 1或7 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 19 【解析】作于点，直线交于点，连接， ， ，，， .在 中，.在 中， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 20 图（1） 图（2） 当点在与 之间时，如图（1）， ；当点不在与 之间时，如图（2）， .综上所述，与之间的距离为或 .故 答案为1或7. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 易错警示 在几何题中，题中没有给出图形时要考虑是否需要分类讨论，不要漏解. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 22 $$