第2章 2.2.1 圆心角-【初中必刷题】2024-2025学年九年级下册数学同步课件(湘教版)

数 学 九年级下册 湘教版 1 2 3 第2章 圆 4 2.2 圆心角、圆周角 2.2.1 圆心角 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 圆心角的定义及计算 1.下图中， 是圆心角的是( ) B A. B. C. D. 【解析】A选项，不是圆心角；B选项，是圆心角；C选项， 不是 圆心角；D选项， 不是圆心角. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 2.【2024湖南郴州调研】如图，在中，是弦，是弧 上一 点.若 ， ，则 的度数为( ) A A. B. C. D. 【解析】， ， ， ， ， ，， .故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 知识点2 弧、弦、圆心角之间的关系 3.【2024辽宁沈阳质检】下列说法中，正确的是( ) B A.等弦所对的弧相等 B.等弧所对的弦相等 C.相等的圆心角所对的弦也相等 D.相等的弦所对的圆心角也相等 【解析】 在一个圆中一条弦所对的弧有两条， 等弦所对的弧不一定相等，故A 选项不符合题意；等弧所对的弦相等，故B选项符合题意；在同圆或等圆中，相等 的圆心角所对的弦也相等，故C选项不符合题意；在同圆或等圆中，相等的弦所对 的圆心角也相等，故D选项不符合题意.故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 （第4题图） 4.【2023山东济南期末】如图，，是 的弦，延长 ，相交于点.已知 ， ，则 的度 数是( ) C A. B. C. D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 【解析】如图，连接，， ， ， ， ， ， ， ，， ，的度数是 . 故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 （第5题图） 5.【2024湖南永州调研】如图，点、点、点在 上，分别连 接，，.若， ，则 ____. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 【解析】如图，连接，， ， ， ， ， ， .故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 13 （第6题图） 6.【2023湖南益阳期末】如图，点是直径 的三等分点 ，点是的三等分点，若直径 ， 则 的长为______. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 14 【解析】如图，过点作于，则 点 是直 径的三等分点，直径，， ， ， 点是 的三等分点 ， ， ， ， ， ， .故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15 7.【2024山东淄博期末】如图，，是的弦，， 分别 交于点，，且.求证： . 【证明】如图，过点作于点，延长与 交于 ，于点，， .又 于点，，， ， ，即 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 16 8.【2023湖南常德调研】如图，在中，， . （1）求证： ； 【证明】， ， 是等边三角形， ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 17 （2）若是的中点，求证：四边形 是菱形. 【解】连接，如图.，是 的中 点，， .又， ， 和都是等边三角形，， ， ， 四边形 是菱形. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 18 思路分析 （1） （2） 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 19 刷易错 易错点 忽略弦所对的弧有两条致错 9.【2023湖南衡阳调研】在半径为1的圆中，长度等于 的弦所对的弧的度数为 ___________. 或 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 20 【解析】如图，连接, 在中，， , ，为直角三角形，且 ，即长 度等于 的弦所对的弧长有两段：一段所对圆心角为 ，另一段所 易错警示 一条弦所对的弧有两条，分别位于弦的两侧.题目未明确时，注意分情况讨论. 对圆心角为 ， 长度等于 的弦所对的弧的度数为 或 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 21 提升 （第1题图） 1.［中］如图，已知的半径为3，弦， 所对的圆心角分别 是，，若与互补，弦，则弦 的长 为( ) C A. B. C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 22 【解析】如图，延长交于，连接 ． ， ， ， ,,,,， , ，故选C． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 23 （第2题图） 2.【2024湖南怀化调研，中】如图，在扇形 中， ， 将扇形沿过点的直线折叠，点 恰好落在 上的点处，折痕交于点，则 所对的圆心角的度数为 ( ) B A. B. C. D. 【解析】连接，如图. 扇形沿过点B的直线折叠，点 恰 好落在上的点D处，折痕交于点C， ， ，为等边三角形， ， ， 所对的圆心角的度数为 .故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 24 3.［中］如图，的半径为10，,,三点均在圆上， ，点, 分 别在,上，菱形 的面积为___________. （第3题图） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 25 【解析】如图，连接，交于点，过点作 于点 ，是等腰直角三角形.设 ，则 ， 四边形是菱形， ， ，， ， ， ，，,在 中， ，解得 （舍去）或 ， 菱形 的面积为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 26 关键点拨 根据等腰直角三角形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定 理求出的长，即可求出菱形 的面积. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 27 4.【2023辽宁铁岭质检，中】如图，的半径为1，动点从点 处沿圆周以每秒 圆心角的速度逆时针匀速运动，即第1秒点位于如图所示的位置，第2秒中 点位于点的位置， ，则第2 023秒点 所在位置的坐标为_ _________. （第4题图） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 28 【解析】作于， ，， 第1秒点 的坐标为，第2秒点的坐标为.根据题意可知，第3秒点 的坐标为 ，第4秒点的坐标为，第5秒点的坐标为，第6秒点 的坐标为，第7秒点的坐标为，第8秒点的坐标为， .由 此可知，点坐标每8秒循环一次，， 第2 023秒点 所 在位置的坐标为，故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 29 5.［中］已知锐角，如图，在射线上取一点，以点 为圆 心，长为半径作，交射线于点，连接，分别以点， 为圆心，长为半径作弧，交于点，，连接，， ． （1）求证： ； 【证明】连接.由题意得，， ， ，， , ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 30 （2）若，求 的度数． 【解】连接，， ， ，， ， ． 归纳总结 在同圆或等圆中，弧的度数与弧所对圆心角的度数相等，相等的圆心角所对的弧 相等、所对的弦相等. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 31 6.［较难］如图，点,,在上， . （1）若,分别是半径,的中点，如图（1），求证： . 【证明】如图（1），连接，， 分别是半径，的中点，，， . 又,， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 32 （2）如图（2），的半径为4， ，是线段 上的一个动点 （不与点,重合），将射线绕点逆时针旋转 ，与相交于点 ，连接 ，求 的最小值. 【解】当与不垂直时，如图（2），过点作 ， ，点, 为垂足. ，, , ,.又 ， ， ， ，， 当 取得最小值即 时，有最小值，易得此时， 的最 小值为4. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 33 思路分析 （1）欲证明，只要证明 即可；（2）添加辅助线， 过点作，，，为垂足.证明 是等腰直角三角形即可解 决问题. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 34 刷素养 走向重高 7.核心素养 几何直观【2024江苏苏州期中，较难】如图，在 中，为直径，与交于点，，过点作 ， 交于点 . （1）求证：平分 ； 【证明】如图，连接 , . , , , ,平分 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 35 （2）若的半径为6，，求 的长； 【解】如图，过作于 ， , , , , .又, 解得 ,,,, , , . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 36 （3）设，的面积为，的面积为，的面积为 .若 ，求 的值. 【解】如图，过作于平分, , ， , ,, ,即 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 37 , , ,.设, 则 , ,由可得, , , .又, , , , , . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 $$