第1章 专题4 二次函数的综合-【初中必刷题】2024-2025学年九年级下册数学同步课件(湘教版)

数 学 九年级下册 湘教版 1 2 3 第1章 二次函数 4 专题4 二次函数的综合 5 刷难关 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 难关 类型1 存在性问题 1.【2024山西朔州怀仁期中，较难】如图，抛物线与 轴交于 ，两点（点在点的左侧），与轴交于点，点 是第一象限内抛物线上的一 个动点. 备用图 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 7 （1）请直接写出点，， 的坐标. 【解】,,，当时，，当 时，，解得，，，， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 8 （2）是否存在这样的点，使得？若存在，求出点 的坐标；若 不存在，请说明理由. 【解】存在这样的点，使得，点的坐标为 .设 ，， ， ,.， ， ，，解得（负值已舍去）, 点坐标为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 9 （3）若点是直线上一点，是否存在点，使得以点，， 为顶点的三角形 是等腰三角形？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由. 【解】存在点，使得以点，，为顶点的三角形是等腰三角形.设直线 的表 达式为，则解得 .设 ，， ， ，.当 时,，解得,或，；当 时,，解得（舍去）或，；当 时, ，解得，.综上可得，点坐标为 或，或或 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 10 图（1） 2.【2024山西吕梁交城期中，较难】如图（1），二次函数 的图象交轴于点，，交轴于点，过点 的 直线与抛物线交于点 . （1）请确定直线 的表达式. 【解】将代入中，得 ，解 得，，，.设直线 的表达式为 . 把，分别代入中，得 解得 直线的表达式为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 11 （2）点是抛物线上的一个动点，过点作轴的平行线交直线于点 . ①连接，如果点在第四象限内的抛物线上运动，交于点，当 时，求点 的坐标. 【解】将代入中，得，.设 所在直线的 表达式为.把，分别代入 中，得 解得所在直线的表达式为 .设 轴，， 点 在第四象限内的抛 物线上运动， ， ， ，解得，， 点的坐标为 或 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 12 图（2） ②设直线与轴的交点为，如图（2），在点 运动的过程中, 是否存在以点，，， 为顶点的四边形为平行四边形?若存在， 直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 13 【解】存在，点的坐标为或或.将 代入 中得， . ，.设， 轴， 或 以点，，， 为顶点的四边 形为平行四边形，轴，， 或 ，解得（舍去）或3或或， ， ，， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 14 类型2 新定义问题 图（1） 3.【2024河北沧州任丘调研，较难】如图（1），已知抛物线 与轴交于点，设点关于 的对称轴对称 的点为 . （1）求的顶点坐标和点 的坐标. 【解】， 抛物线 的顶点 坐标为，对称轴为直线.令，则 ， ， 点关于该抛物线对称轴对称的点的坐标为 ， 的顶点坐标为， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 15 图（2） （2）如图（2），若抛物线的顶点在抛物线 上，抛物线 的顶点在抛物线上（点， 不重合），我们把这样的两 条抛物线互称为“伴随抛物线”. ①求以点为顶点的的“伴随抛物线” 的函数表达式，并 指出与中同时随 增大而增大的自变量的取值范围； 【解】设抛物线的表达式为 抛物线 过点，顶点为，， ， 的表达式为，即 .如图， 由图象可知当时，与中同时随 增大而增大. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 16 ②将①中求出的自变量取值范围内的和组成的图形记为.若直线将 上的整点（横、纵坐标都是整数的点）平分，直接写出 的取值范围. 【解】.由①可知，图形上的整点分别为，， ， 直线过原点，且将上的整点平分， 点和 在直线 的两侧，把坐标分别代入得，则；，则， 的 取值范围为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 17 4.【2024广东深圳调研，较难】在平面直角坐标系中，由两 条与 轴有着相同交点，并且开口方向相同的抛物线所围成 的封闭曲线称为“月牙线”.如图所示，抛物线 与抛物线 的一部分组成一个“月 牙线”，与轴相同的交点分别为，（点在点 的左 侧），与轴的交点分别为，，且点的坐标为 . （1）求，两点的坐标及抛物线 的表达式. 【解】令，则，解得或， ， ， 设抛物线的表达式为.将点 代入，得 ，解得， 抛物线 的表达式为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 18 （2）若抛物线的顶点为，当时，试判断三角形 的形状，并说明理由. 【解】 是等腰三角形.理由： ，， ， ，，， 是等腰三角形. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 19 （3）在（2）的条件下，点是抛物线上一点，抛物线 在第三象限内的 部分上是否存在一点，使得?若存在，请直接写出点 的坐标； 若不存在，说明理由. 【解】抛物线在第三象限内的部分上存在一点，使得， 点 坐标为,或. 点是抛物线 上一点， ，解得或，，或 .设直 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 20 线的表达式为，解得 .过 点作轴交于点.当点坐标为时，， ， .， ， ，，.当点坐标为时，， ， ，. ， ，，.综上所述, 点坐标为 ，或， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 思路分析 （1）令，解方程，可求得， 点坐标，从而设抛物 线的表达式为交点式，将点坐标代入求解即可；（2）求出 点坐标，利用两 点间距离公式，得到，即可判断三角形形状；（3）求出 点坐标和直线 的表达式，过点作轴交于点，根据所求的 点坐标，分两种情况 求出相应的 点坐标． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 22 类型3 整点问题 5.【2024河北张家口张北期中，难】如图，抛物线 与轴交于，两点（点在点 的左侧）， 与轴交于点，且，为抛物线 上的对称轴右侧的 点（不含顶点）. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 23 （1）求 的值和抛物线的顶点坐标. 【解】 抛物线与轴交于，两点（点在点 的左侧）， 与轴交于点，， . ，， ， ， 抛物线 的表达式为 ， 抛物线的顶点坐标为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 24 （2）设抛物线在点和点之间部分（含点和点 ）的最高点与最低点的纵坐标 之差为，求与的函数关系式，并写出自变量 的取值范围. 【解】由（1）可知，抛物线的表达式为， 抛物线 的对称轴为 直线,当时，，，.当时，点 是最高点，抛物线的顶点是最低点，;当时，点 是最 高点，抛物线的顶点是最低点，,故与 的关系式为 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 25 （3）当点的坐标满足时，连接.将直线与抛物线 围成的 封闭图形记为 . ①求点 的坐标； 【解】联立得方程组解得或（舍去）， 点 坐标为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 26 ②直接写出封闭图形 的边界上的整点（横、纵坐标都是整数的点）的个数. 【解】整点的个数为14.设直线的表达式为， ，解得 ， 直线的表达式为， 封闭图形的边界上的整点为 ， ，，，，，，，，， ， ，， ，共有14个. 关键点拨 （3）②列整点时可按照一定的逻辑顺序进行，避免遗漏. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 27 $$