第1章 1.2 课时4 二次函数y=ax^2＋bx＋c的图象与性质-【初中必刷题】2024-2025学年九年级下册数学同步课件(湘教版)

数 学 九年级下册 湘教版 1 2 3 第1章 二次函数 4 1.2 二次函数的图象与性质 课时4 二次函数 的图象与性质 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 用配方法化二次函数一般式为顶点式 1.【2024湖南株洲校级期中】用配方法将二次函数 化为 的形式为( ) D A. B. C. D. 【解析】 .故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7 2.【2024江苏宿迁质检】若抛物线的顶点在轴上，则 ( ) D A. B. C. D. 【解析】， 抛物线的顶点坐标为 . 抛物线的顶点在轴上，， .故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 知识点2 二次函数 的图象与性质 3.【2024湖南邵阳期末】关于二次函数 ，下列说法正确的是 ( ) C A.图象的顶点坐标为 B.图象的对称轴为直线 C.当时，随 的增大而减小 D.函数最大值为1 【解析】 二次函数， 其图象的开口向下， 顶点坐标为，对称轴为直线， 当时，随 的增大而减小，当 时，有最大值，为 ，故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 4.【2024湖南株洲质检】无论为任何实数，二次函数 的 图象一定过的点是( ) A A. B. C. D. 【解析】原式可化为.由题意得，解得 ，此 时， 函数的图象一定过的点是 .故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 5.【2023湖南长沙质检】若,, 为抛物线 上三点，且总有，则 的取值范围为 __________. 【解析】， 抛物线开口向下，对称轴为直线 ，，解得， ， 解得.综上所述,的取值范围为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6.将抛物线在轴上方的部分记为，在 轴上及其下方的部分记 为，将沿轴向下翻折得到，和两部分组成的图象记为 ．若直线 与恰有2个交点，则 的取值范围为________________. 或 【解析】， 抛物线的顶 点坐标为.将抛物线在轴上方的部分记为，在 轴上及其下方的部分记为，将沿 轴向下翻折得到 ，和两部分组成的图象记为，如图所示即为 . 若直线与恰有2个交点，由图象可知， 的取值范 围为或 ． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 7.【2023湖南益阳期中】二次函数 的图象如图所 示，有如下结论：；； ； （ 为实数），其中正确的是__________ （填序号）. ①②③④ 【解析】 抛物线开口向上， 抛物线对称轴为直线， ， ,，故②正确. 抛物线与轴交点在 轴下方， ，,故①正确.，，由图象可得 时， ，,故③正确.由 时，函数取最小 值，得（为实数）， ,故④正确. 故答案为①②③④. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 13 知识点3 二次函数 的图象的平移 8.【2024浙江嘉兴期末】将二次函数 的图象先向右平移1个单位长 度，再向上平移2个单位长度，得到的二次函数图象的表达式是( ) D A. B. C. D. 【解析】.将 的图象先向右平移1个 单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的二次函数图象的表达式为 ，即 .故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 14 9.把二次函数 的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位， 得到二次函数 的图象． （1）试确定,, 的值. 【解】二次函数的图象的顶点坐标为 ， 把点先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到的点的坐标为 ， 所以原二次函数的表达式为,所以 ， ， . （2）指出二次函数 图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【解】二次函数，即 图象的开口 向上，对称轴为直线，顶点坐标为 ． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 方法总结 二次函数的图象平移求表达式的方法有两种：方法一：先把平移后的抛物线所对 的函数表达式化为顶点式，再根据“左加右减自变量、上加下减常数项”的原则 逆推得到平移前的抛物线表达式；方法二：先求出平移后抛物线的顶点坐标，再 由“ ”不变，结合平移前的顶点坐标来确定平移前抛物线的表达式. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 16 刷易错 易错点 求二次函数最值时忽略自变量的取值范围 10.【2023辽宁大连中考】已知抛物线，则当 时，函数的 最大值为( ) D A. B. C.0 D.2 【解析】， 该抛物线的对称轴为直线 ， 抛物线的开口向上， 当时，随 的增大而减小，当 时，随的增大而增大. 当时，，当 时， ， 当 时，函数的最大值为2，故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 17 易错警示 在讨论函数的最值时，一定要注意函数自变量的取值范围以及函数在这个取值范 围内的增减性. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 18 提升 1.【2023陕西中考，中】在平面直角坐标系中，二次函数 （为常数）的图象经过点,其对称轴在 轴左侧，则该二次函数有( ) D A.最大值5 B.最大值 C.最小值5 D.最小值 【解析】由题意可得，解得， 二次函数 的图象的对称轴在轴左侧，， ， ， 该二次函数有最小值，最小值为 .故选D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 19 （第2题图） 2.【2023河南中考，中】二次函数 的图象如图所示， 则一次函数 的图象一定不经过( ) D A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】 抛物线开口向下， ， ， 一次函数 的图象经过第一、二、三象限， 不经过第四象限.故选D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 20 （第3题图） 3.［中］如图，抛物线过点, ，顶点 在第四象限，记，则 的取值范围是( ) B A. B. C. D.不能确定 【解析】 抛物线过点， ， ，， ，将抛物线 配成顶点式为， 抛物 线的顶点坐标为. 抛物线的顶点坐标在第四象限， ，，， ， ，， ，故 选B． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 21 4.［较难］已知二次函数的图象与一次函数 的图象的交点 关于原点对称，当时，二次函数的最小值是2，则 的 值是( ) D A.1 B.1或3 C. D.3或 【解析】设二次函数与一次函数 的图象的交点坐标为 ，，则解得 或 ， 二次函数 当 时，二次函数的最小值是2， 当 时， ，得或（舍去）.当时， ， 得（舍去）或.综上可得，的值是3或 ，故选D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 22 5.【2023湖南邵阳期末，中】如图，在平面直角坐标系中，点， 的坐标分别为，.点在抛物线 上， 设点的横坐标为.当时，的面积 的取值范围是 ___________. 【解析】 点，的坐标分别为， ， ， 当时，随 的增 大而增大，当时，随的增大而减小， 当，即时， 的纵 坐标最小，是，此时;当 ， 即时，的纵坐标最大，是10，此时， 当 时，的面积的取值范围是.故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 23 6.【2023湖南岳阳期中，较难】将二次函数 配成顶点 式后，发现其图象的顶点的纵坐标比横坐标大1.如图，在矩形 中，点 ，点，则二次函数的图象与矩形 有交点时， 的取值范围是_ _____________. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 24 图（1） 【解析】将 配成顶点式得 ，此二次函数图象的顶点坐标 是， 图象开口向上，开口大小一 定， 此二次函数图象的顶点在直线 上运动. 如图（1），当二次函数图象经过点，此时 取最小值.将代入 , 得，解得 ， （舍去），则的最小值是 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 25 图（2） 如图（2），当二次函数图象的顶点在矩形与 轴的交 点处时，取最大值.将 代入 得 ，解得 ，（舍去）， ，故答 案为 . 关键点拨 将二次函数表达式配成顶点式，得出顶点在直线 上，然后找出抛物线的 临界状态即可求解. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 26 刷素养 走向重高 7.核心素养 运算能力【2023湖南长沙质检，较难】已知抛物线 （， 为常数）. （1）若抛物线的顶点坐标为，求， 的值. 【解】 抛物线（， 为常数）的顶点坐标为 ， 抛物线表达式是 ， 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 27 （2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求 的取值范围. 【解】设抛物线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别是， ， 代入表达式可得 两式相加可得 ，， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 28 （3）在（1）的条件下，存在正实数，，当 时，恰好有 ，求， 的值. 【解】由（1）可知抛物线表达式为 ， ，当时，恰有 ， ,,，即 , 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 29 抛物线的对称轴是直线，且开口向下， 当时， 随的增大而减小, 当时，;当 时， .又， 将①整理得 ，变形得 , ，,解得 （舍去），.同理，由②得 ， 或,解得，（舍去）， （舍去）.综上所述，， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 30 思路分析 （3）由（1）知，抛物线表达式为 ，则 ．利用不等式的性质推知,易得 .再根据二次函数图象与 性质得到最值，列方程组求解即可． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 31 $$