第二十八章 28.2.2 课时2 方位角、坡度问题-【初中必刷题】2024-2025学年九年级下册数学同步课件(人教版)

数 学 九年级下册 RJ 1 2 3 第二十八章 锐角三角函数 28.2 解直角三角形及其应用 4 28.2.2 应用举例 课时2 方位角、坡度问题 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 方位角问题 1.【2024安徽蚌埠一模】如图，一艘游船在海上由西往东匀 速航行，上午8:00在处测得灯塔位于北偏东 的方向上， 上午10:00到达处，此时测得灯塔位于北偏东 的方向 上，那么游船继续航行到达离灯塔 距离最近的位置的时间 为( ) B A.上午10:30 B.上午11:00 C.上午11:30 D.上午11:45 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 7 【解析】作的延长线于点 ，如图. 根据题意可得 ， ， .设该船的速 度为单位长度/，则 在中， ， ， 游船由B处继续航行到达离灯塔 距离最近的位置所需时间是 ， 游船继续航行到达离灯塔距离最近的位置的时间为上午 ，故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 8 2.【2024江苏宿迁二模】如图，我国巡海舰甲在 处发现，正北方向30海 里远的处有某国一舰船寻衅滋事后沿北偏东 方向以每小时15海里 的速度逃逸，我国巡海舰甲沿北偏东 方向追击，巡海舰甲要以平均 每小时多少海里的速度行驶才能在处追上寻衅舰船？（ ， ，结果保留整数） 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 9 【解】过作于 ，如图. 由题意得，海里， ，则 海里， （海里） ， ， 答：巡海舰甲要以平均每小时29海里的速度行驶才能在 处追上寻衅舰船. ，海里， 海里，则 海里.设巡海舰甲要以平均每小时 海里的速度行驶才能在处追上寻衅舰船，则 ，解得 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 10 思路分析 过作于，先由题意得，海里， ，求出， 的值， 再根据题意推出，进而求出和 的值，最后列方程求解即可. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 11 知识点2 坡度问题 3.【2023河北唐山期中】有一处斜坡如图所示，分为的两段， 段的坡度为，段的坡度为，则_____ ．若将两段斜坡建造成 台阶，且每一级台阶的高度相同，不超过 ，则这一处斜坡最少可以建造的台 阶数为____．（参考数据：， ） 165 65 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 12 【解析】如图，过点作于，作于 .易得四边形 为矩形，故段的坡度为 ， 段的坡度为， ， .在 中， ，， .在 中， ，， ， .， 这一处斜坡可 建造的台阶数最少为65． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 13 4.【2023上海宝山区一模】如图，某小区车库顶部 是居民健身平台，在平台上 垂直安装了太阳能灯．已知平台斜坡的坡度，坡长为6米．在坡底 处测得灯的顶端的仰角为 ，在坡顶处测得灯的顶端的仰角为 ，则灯 的顶端到地面 的距离为____________．（结果保留根号） 米 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 14 【解析】如图，过点作于点，过点作 于点.由题意得米， ， ， ， 斜坡的坡度，， .在 中，由勾股定理得 ，解得（负值已舍去），米， 米. 设米，则米.在 中， ，米.易知,， 三点在同一直线上， 米.在中， ， ，即 ，解得，米,即灯的顶端到地面 的 距离为 米． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 15 思路分析 作辅助线构造直角三角形,求出，.设米，表示出 ，由题 可知,由此列方程求出，从而求出 的长． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 16 5.【2024山东临沂模拟】下面是工程师孙师傅的工作日志，请你仔细阅读，完成 相应任务. 工作日志 今天，我们要在一座山上修建一座 信号塔，修建完成后需要再次校准信号 塔的高度.为完成此任务，我们进行了如下操作： __________________________________________ 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 17 我们把它抽象为一个数学问题：如图，垂直于水平面的信号塔 建在垂 直于水平面的悬崖边点处，我们从山脚点出发沿水平方向前行78米到 点 （点，，在同一直线上），再沿斜坡前行78米到点（点，，， ， 在同一平面内），在点处测得信号塔顶端的仰角为 ，悬崖 的高为 144.5米，斜坡的坡度 ，然后通过计算求出了信号塔的高度. 通过今天的经历，我认识到了数学在实际生活中的强大能力，数学来源于生 活又高于生活，我们遇到问题要想办法，用所学的数学知识解决问题. 解决问题：请你根据孙师傅的方法，求出信号塔 的高度.（参考数据： ，， ） 续表 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 18 【解】作交的延长线于，作于.在中，设 米.,米，米, ， ，米， 米， （米）.在 中， （米）, （米）. 答：信号塔 的高度约为25米. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 19 提升 （第1题图） 1.【2024浙江温州质检，较难】如图，投影灯的下边 缘光线落在坡脚点处，上边缘光线 落在斜坡点 处，此时投影灯与地面的距离为 ，与坡脚 点的水平距离为 .将投影灯往上平移，上下边 B A. B. C. D. 缘的光线，落在斜坡，处，此时投影灯向上平移了 ，即 ,现测得，则斜坡 的坡比为( ) 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 20 【解析】由题意，得,, ， ,, ， ， ， ,，， ， .如图，延长交 的延长线于 点，作交的延长线于点，则 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 21 ，， ， ，， ， ，， ， ，，， ，即 斜坡的坡比为 .故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 22 2.［中］如图，某天然气公司的主输气管道从市的北偏东 方向直线延伸，测 绘员在处测得要安装天然气的小区在市北偏东 方向，测绘员沿主输气管 道步行2 000米到达处，测得小区位于的北偏西 方向.当在主输气管道 上寻找支管道连接点，使到小区铺设的管道最短时， 的长为_______米. 1 500 （第2题图） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 23 【解析】如图，过作东西方向线的平行线，交过 的南北方向线 于，过作于 ，则此时铺设的管道最短. ， ， ， . 又 ， ， ， ， ， ， ， 米， 米， （米），即到小区 铺设的管道最短时， 的长为1 500米.故答案为1 500. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 24 思路分析 过作东西方向线的平行线，交过的南北方向线于，过作于 ， 此时铺设的管道最短，根据题意可得 ，再求得 的长，进而求得 的长. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 25 3.【2024重庆铜梁区期末，较难】长寿湖是西南地区最 大的人工湖，五一小长假期间，游客络绎不绝.八年级 学生小巴乘游艇在长寿湖中游览，如图，当游艇在 处 时，小巴发现岸边处的农家乐和岸上 处的游客中心 都在东北方向，当游艇向正东方向行驶到达处时，小巴发现游客中心 在 北偏西 方向，当游艇继续向正东方向行驶到达 处时，小巴发现农家乐 在北偏西 方向.（参考数据：, , ） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 26 （1）求处到农家乐 处的距离（结果保留根号）； 【解】如图，作于，设 . 在中， ， . 在中， ， ，， ， .即处到农家乐处的距离为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 27 （2）小巴到达处时，好友小川在游客中心处，他们相约在农家乐 处汇合， 二人同时出发，小巴从处沿方向乘游艇前往，速度是 ，小川从游 客中心沿方向步行前往，速度是 ，请通过计算说明两人谁先到达. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 28 【解】由（1）可得 ， 小巴从处沿方向乘游艇前往的时间为 .如图， 作于 ， , .在 中， ，， ， .在 中，, ， , 小川从游客中心沿方向步行前往 的时间为 .， 小川先到达. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 29 刷素养 走向重高 4.核心素养 数据观念［难］如图，斜坡的坡角 ，计划在该坡面上 安装两排平行的光伏板.前排光伏板的一端位于点，过其另一端安装支架 ， 所在的直线垂直于水平线，垂足为点，为与 的交点.已知 ，前排光伏板的坡角 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 30 （1）求 的长（结果取整数）； 【解】在中， ， . 在中， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 31 （2）冬至日正午，经过点的太阳光线与所成的角 ，后排光伏板 的前端在上.此时，若使后排光伏板的采光不受前排光伏板的影响，则 最 小为多少（结果取整数）？ （参考数据：，， ） 锐角 三角函数 0.22 0.47 0.53 0.97 0.88 0.85 0.23 0.53 0.62 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 32 【解】设交于，过点作 于 ，如图所示. 在中， . 在中，，， ， . 在中， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 33 ， 为等腰直角三角形， ， . 当，重合时， 最小， 最小约为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 思路分析（1）在中，由锐角三角函数定义求出的长，再在 中， 由锐角三角函数定义求出 的长即可； （2）设交于，过点作于，由锐角三角函数定义求出， 的长，得出的长，再由锐角三角函数定义求出的长，然后证出 为等 腰直角三角形，得的长，由 ，即可得出答案． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 35 $$