第二十八章 28.2.1 解直角三角形-【初中必刷题】2024-2025学年九年级下册数学同步课件(人教版)

数 学 九年级下册 RJ 1 2 3 第二十八章 锐角三角函数 4 28.2 解直角三角形及其应用 28.2.1 解直角三角形 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 解直角三角形 1.如图，在中， ，，，则 的长为( ) A （第1题图） A.2 B.3 C. D. 【解析】在中， ，，，则 ，即 ，解得 .故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 7 （第2题图） 2.【2023安徽合肥一模】如图，在中， ， 是的中点，，，则 等于( ) B A. B. C. D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 8 【解析】过点D作于，如图.是 的中点， .在中，， ， ，，.在 中， ， 设，，则 ， ，， ．故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3.【2024江苏无锡质检】在中， ，，若 为 的内心，则 __. 【解析】如图，点为的内心，作， ， ，则， 四边形是正方形.在中， ， ， 设，， .设， 则 ，，， ，，，故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 10 知识点2 解简单的斜三角形 4.【2024湖南长沙质检】如图，以的顶点 为坐标原点， 所在直线为轴，建立平面直角坐标系，若 ， ，，，则点 的坐标是( ) B A. B. C. D. 【解析】如图，过点A作轴，垂足为B， ， ， ， ， 点A的坐标 是 ，故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 11 5.【2023河北邯郸调研】如图，的底边上的高为，的底边 上 的高为 ，则( ) A A. B. C. D.以上都有可能 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 12 【解析】 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 13 6.【2023黑龙江哈尔滨期末】在中，，， ，则 的长为______． 6或2 【解析】分两种情况讨论:①如图（1）,过点作， 垂足为 ．在中，， ，, , 解得或 （不合题意，舍 去）, ．在中， , ． 图（1） 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 14 图（2） ②如图（2），过点作，交的延长线于点．在 中， ，， , ,解得或 （不合题意，舍去）, ．在中， , ．综上， 的长为6或2.故答案为6或2． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 15 思路分析 过点作 直线，根据的正切值确定与 的数量关系，再利用勾股 定理求出和 ，最后利用线段的和差关系可得结论． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 16 7.【2024上海浦东新区期中】如图，是的中线，, , . 求： 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 17 （1） 的长； 【解】如图，作于 . 在中，，， ， .在中，， ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 18 （2） 的正弦值. 【解】，，， .在 中，，的正弦值为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 19 刷易错 易错点 忽略在直角三角形中的条件，直接证明而致错 8.在中，，，的对边分别为，，，且 ，求证: . 【证明】根据题意可设， ， , 是直角三角形， 且 ,则,, . 易错警示 题目中没有说明 ，故直接应用正弦的定义是错误的，应先证明 为 直角三角形，且 后才能用正弦的定义. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 20 提升 （第1题图） 1.【2023河南洛阳一模，中】如图，在中， ， ，，平分，且于点，点为 的中点，连接，则 的长为( ) B A.2 B. C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 21 【解析】 ，，，， ， .延长交于点，如图.平分 ， ，， .又 ， ，，， 点为的中点. 点 D为的中点， .故选B. （第1题图） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 22 2.［中］如图，在平面直角坐标系中，点,分别在轴正半轴、 轴正半轴 上，，延长至，连接.若满足， ，则点 的坐标为( ) C （第2题图） A. B. C.， D.， 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 23 （第2题图） 【解析】过点C作轴，垂足为D，如图. ， .， ， ， ， ， ，.在中， ， ，（负值已舍去），.在 中,， ， ， ，，，， ， ， .故选C. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 24 （第3题图） 3.［中］如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中， ， 如图所示，则 _ ___. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 25 （第3题图） 【解析】连接，如图所示.由题意可知，在 中， ，， ，同理得 .又 ， .设小正三角形的边长为 ，则 ， ， .故答案为 . 关键点拨 构造出有一个锐角为 的直角三角形是解题的关键. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 26 4.【2024天津西青区质检，中】如图，在矩形中，, ，连接 ，点在上， ,平分,则 _______. （第4题图） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 27 （第4题图） 【解析】过点作于，如图. , 平分 ， ， ， 在矩形中，, ， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 28 5.［较难］如图，是等边三角形，，过点的分别交， 于 点，，且，则 的最小值为____. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 29 【解析】如图，连接，，，，过点作于 . 设 ，， 易得， 当最小时，的值最小.在 中， ，， ， ， ， ， ， 时，的值最小，最小值为3， 的最小值为 .故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 30 关键点拨 连接，，，,过点作于．设 ，得到 ，可知当最小时， 的值最小. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 31 6.【2024北京西城区一模，中】如图，点在 的对角 线的延长线上，，于点， 交 的延长线于点，连接 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 32 （1）求证：四边形 是菱形； 【证明】，， . 四边形是平行四边形， . ，， . 在和中， ， . ， 四边形 是平行四边形. ， 四边形 是菱形. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 （2）若，，，求菱形 的面积. 【解】，， 是等腰直角三角形. ， . ，，即 ， . 四边形是菱形，， ， 菱形的面积为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 34 刷素养 走向重高 7.核心素养 推理能力［中］如图，已知中， ， ， ，以为圆心，长为半径画圆，与边交于另一点，连接 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 35 （1）求 的长； 【解】过点作于，如图所示. 在 中， ，， ， . ， ， . ， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 36 （2）求 的余弦值. 【解】过点作于 ，如图所示. 由（1）得，， ， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 37 ， . 在中，由勾股定理得 ， ，即的余弦值为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 思路分析 （1）过点作于，利用等面积法求出，再利用勾股定理求出 ，由 垂径定理即可解决问题； （2）过点作于，利用等面积法求出，再由勾股定理求出 即可 解决问题. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 39 $$