第二十八章 28.1 课时2 余弦和正切-【初中必刷题】2024-2025学年九年级下册数学同步课件(人教版)

数 学 九年级下册 RJ 1 2 3 第二十八章 锐角三角函数 4 28.1 锐角三角函数 课时2 余弦和正切 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 锐角的余弦和正切 1.【2024云南昆明期中】如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点 为圆心的圆交轴于，两点，其中点坐标为， 为第 一象限内圆上一点，连接，则 的值为( ) A A. B. C. D. 【解析】如图，作于点， 点A， 在 以为圆心的圆上， 点 在第一象限，且 ，， ，故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7 2.在中， ，,的对边分别是, ，且满足 ，则 等于( ) C A.1 B. C.2 D.以上都不对 【解析】，即，则或 （舍去），则 .故选C． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8 （第3题图） 3.【2024江苏宿迁质检】如图，中， ， ，，点在上，连接，将沿 翻折， 使得点落在边上的点处，则 __. 【解析】中， ，， ， .由翻折的性质可得 ,, ， .设 ，则.在中， ， ，解得，， ，故答 案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9 思路分析 根据翻折的性质可得,, ，设 ，利用勾股定理建立方程求出未知数的值，再利用正切的定义求解. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10 知识点2 锐角的三角函数及其应用 （第4题图） 4.如图，点在第一象限，与轴正半轴所夹的角为 ， ，则 的值是( ) C A.1 B.1.5 C.2 D.3 【解析】 点在第一象限，， .又 ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11 5.在中， ，，则 ________． 【解析】在中，， 设，则 ， ， ． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （第6题图） 6.【2023湖南岳阳期末】如图所示，在四边形 中， ， ，，连接，.若 ， 则 的长度是____． 10 【解析】 ，， ， ， ．故答案为10. 思路分析 由已知锐角的余弦值求出的长，再根据勾股定理求出 的长即可． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 13 知识点3 锐角的三角函数之间的关系 7.若 ，则 的度数是( ) B A. B. C. D. 【解析】 ， ， .故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 14 8.在中，若 ，，则 的值为( ) A A. B. C. D. 【解析】, . 刷有所得 同一锐角的三角函数之间的关系： ; . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 15 9.【2024江苏无锡质检】在中， ，则下列结论正确的是( ) D A. B. C. D. 【解析】如图，在中， ，,,分别是，， 的对边. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 16 A ，，而，大小不确定，与 大小关系不确定 B ，，，,而，大小关系不确定， 不能确定 与1的大小关系 C ，,.又 , D ，， .又 ，， 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 17 刷易错 易错点 因考虑不全面而漏解 10.正方形的边长为2，点是直线上一点，若，则 的值是 _____. 2或 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 18 【解析】①当点在线段上时，如图（1）.，， .又 ， ，.②当点在 的延长线上时，如图 （2）.，，.又， ， .故答案为2或 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 19 易错警示 对于此题，题目中未明确点在直线上的位置，应分为在线段上和在 的延长线上两种情况讨论. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 20 11.在 中，有两条边长分别为6和8，求该三角形中两个锐角的余弦值. 嘉琪的解法如下：已知在 中，有两条边长为6，8，则斜边长为 , 这个三角形中两个锐角的余弦值为， .请问嘉琪的结果正确吗？ 如果不正确，请给出理由. 【解】嘉琪的结果不正确.理由如下：当6，8都是直角边长时，斜边长为 ,两个锐角的余弦值分别为, ；当斜边长是8时，由勾股定理得另一 条直角边长是，两个锐角的余弦值分别为， . 易错警示 题中并未说明6，8均为直角边长,因为6，8，10为勾股数，易因默认6，8为直角边 长而出错. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 21 提升 1.【2023辽宁沈阳期末，中】在中，，，如果 的形 状和大小都被确定，那么线段 的长度不可能为( ) B A.6 B.8 C.10 D.12 【解析】如图，当 时，， 设 ， ，， 或 （舍去），， 的形状和大小都被确 定，或， 线段 的长度不可能为8．故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 22 2.【2023湖北荆州期中，中】如图，在平面直角坐标系中，点 ， 分别在轴负半轴和轴正半轴上，点在上， ， 连接，过点作交的延长线于．若 ，则 的值是( ) C A. B. C. D.3 添加辅助线 因为要求的值，所以需要构造直角三角形，又已知点的坐标，故过点 作 轴的垂线段. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 23 【解析】如图，过点作轴于点， ， ， ， ，， ， ． 故选C. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 24 3.【2024山东烟台二模，中】如图（1），点从的顶点 出发，沿 匀速运动到点，图（2）是点运动时，线段的长度随时间 变化 的关系图象，其中为曲线部分的最低点，则 的值为__. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 25 【解析】由题图（1）可知点在上运动时，的长度不断增大；点在 上运 动时，的长度先逐渐减小，再逐渐增大.结合题图（2）可知， ，当 时，.如图所示，当 时， ，，故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 26 4.【2024上海中考，中】在平行四边形中，是锐角，将沿直线 翻 折至所在直线，对应点分别为，，若，则 _____. 或 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 27 【解析】当在线段上时，如图（1），设直线交于点 . 根据，可设,, ，由翻折的性质知 沿直线翻折至 所在直线， ， , .过作的垂线与交于 ， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 28 当在的延长线上时，如图（2），设直线交于点 . 根据，可设,, ，同理可得 . 过作的垂线与交于， ， ，故答案为或 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 29 刷素养 走向重高 5.思想方法 转化思想【2024浙江金华调研，难】 图（1） 图（2） 图（3） 图（4） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 30 【方法学习】 如图（1），在由边长为1的正方形组成的网格中，连接格点， 和，，和相交于点，求 的值. 思考：求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角 形.观察发现，不在直角三角形中，并且 点不在格点处，我们可以利用网 格画平行线的方法解决此类问题.比如连接，，可得 ，则 ，那么就变换到格点处，并且恰好在 中,可以方便 求出 的值为___. 2 【解】，， .由题可知 ，，故 的值为2.故 答案为2. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 31 【问题解决】 （1）如图（2），在由边长为1的正方形组成的网格中，与相交于点 ，则 的值为_ __. 图（1） 【解析】如图（1），取格点，连接， . ，， ， ， , .故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 32 （2）如图（3），在由边长为1的正方形组成的网格中，与相交于点 ，则 的值为_ ___. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 33 【解析】如图（2），取格点，连接，，过点作 于点 ，， . ， ， ， ， ，的值为 .故答案为 . 图（2） 图（3） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 34 【思维拓展】 图（4）为若干个形状相同、大小相等的菱形组成的网格，网格顶 点称为格点，已知菱形的较小内角为60度，点，，，都在格点处，线段 与相交于点，求 的值. 【解】如图（3），取格点，连接， .设每个小菱形的边长为1.由题易得 ， ， ，， .过点 作,交的延长线于点，则 .由题易得 , ，，， ， . 易知 ， ,的值为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 35 思路分析 【思维拓展】取格点，连接，，设每个小菱形的边长为1，过点 作 交延长线于点，那么就变换到 中，由锐角三角函数的 定义可得出答案. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 36 $$