中考真题分类集训11 圆-【初中必刷题】2024-2025学年九年级下册数学同步课件(华东师大版)
2025-02-10
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教辅
内容正文：
数 学
九年级下册 HS
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第二部分 中考真题分类集训
4
（十一）
圆
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考点
考点1 圆周角定理及其推论
（第1题图）
1.【2024湖南中考】如图，，为的两条弦，连结， ，
若 ，则 的度数为( )
C
A. B. C. D.
【解析】根据题意，得和分别是 所对的圆周角和圆心
角， ，
. 故选C.
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（第2题图）
2.【2024四川宜宾中考】如图，是 的直径，若
，则 的度数等于( )
A
A. B. C. D.
【解析】是的直径， ，
， .故选A.
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3.【2023 江苏苏州中考】如图，是半圆的直径，点， 在半圆上，
，连结，，，过点作，交的延长线于点 .设
的面积为，的面积为，若，则 的值为( )
A
A. B. C. D.
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【解析】如图，过C作于 ，
， ，
.，. ，
，，即.设 ，则
， ，
，
.， ，
.故选A.
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考点2 垂径定理
4.【2024新疆中考】如图，是的直径，是 的弦，
，垂足为.若，，则 的长为( )
B
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】是的直径，且， .在
中，， .故选B.
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（第5题图）
5. 传统文化【2023山东东营中考】“圆材埋壁”是我国古
代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，
不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”转
化为现在的数学语言表达就是如图，为 的直径，弦
，垂足为，寸，寸，则直径 的长度为
____寸．
26
【解析】如图，连结，设的半径是寸. 直径 ，
（寸）寸，
寸. ，，， 直
径 的长度为26寸．故答案为26．
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考点3 圆内接四边形
（第6题图）
6.【2024山东滨州中考】如图，四边形内接于 ，若四边
形是菱形，则____ ．
60
【解析】 四边形内接于， 四边
形是菱形，， .由圆周角
定理得， , ，故答案
为60．
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7.【2023 安徽中考】已知四边形内接于，对角线是 的直径．
（1）如图（1），连结,，若，求证:平分 ；
图（1）
【证明】 对角线是的直径，，， ，
平分 ．
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图（2）
（2）如图（2），为内一点，满足, .若
，，求弦 的长．
【解】 对角线是的直径， ，
,,， ,
， 四边形 是平行四边形，
，， ，
．
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关键点拨（2）根据直径所对的圆周角等于 推出, ,从而证明四
边形是平行四边形，则 ，根据勾股定理即可得出答案．
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考点4 切线的性质与判定
（第8题图）
8.【2023 四川眉山中考】如图，切于点，连结交
于点，交于点.连结，若 ，则 的
度数为( )
C
A. B. C. D.
【解析】连结切于点B， . ，
， ， ， .故选C.
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（第9题图）
9.【2023 湖北武汉中考】如图，在四边形中， ,
，以为圆心，为半径的弧恰好与 相切，切点为
．若，则 的值是( )
B
A. B. C. D.
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【解析】如图，连结,，过点B作于点 ，则
.为切线, ，
.在和中，
， .
，， ，
， 四边形是矩形， ，
， .
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在和中，
， .
， ，
，， .在
中， ,
,故选B.
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10.【2024四川凉山州中考】如图，的圆心为，半径为2， 是直线
上的一个动点，过点作的切线，切点为，则 的最小值为_____．
（第10题图）
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【解析】
如图，连结，.设直线与轴、轴分别交于点,是 的
切线，，， 当 的值最小时，
的值最小， 当时，的值最小，此时的值最小.易知 ，
，， ，.当 时，
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，的最小值为 ，故答
案为 ．
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思路分析
连结,，根据切线的性质得到，根据勾股定理得到 ，
则的值最小时， 的值最小，再根据垂线段最短计算即可.
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11.【2024重庆中考A卷】如图，以为直径的与相切于点，以 为边作
平行四边形，点，均在上，与交于点，连结，与 交于
点，连结.若，，则___， _ _____.
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（第11题图）
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【解析】连结，，，过点作于点，设交于点. 以
为直径的与相切于点， 四边形 为平行四边形，
，，， ，
， 在中， ，
，, ，
，， 在中， .
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.故答案为8， .
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归纳总结
圆的切线垂直于经过切点的半径.
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12.【2023 四川广元中考】如图， ，半径为2的 与角的两边相切，
点是上任意一点，过点向角的两边作垂线，垂足分别为， ，设
，则 的取值范围是__________________.
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【解析】如图，设半径为2的与角的两边相切于，，连结， ，延长
交于， ， 是等腰直角三
角形， ，是等腰直角三角形. ，
，.如图（1），延长交于 ，
， ， ， 与
是等腰直角三角形，， ，
.当与相切且点在圆心的右侧时， 有
最大值.连结，则四边形是正方形，， 的最大值为
.如图（2），延长交于 ，当
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与相切且点在圆心的左侧时，有最小值.连结 ，同理可得
，故 的取值范围是
.故答案为 .
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13.【2024北京中考】如图，是的直径，点，在 上，
平分 .
（1）求证： ；
【证明】根据题意，得 ，
，平分 ，
， ，
.
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（2）延长交于点，连结交于点，过点作的切线交 的延长
线于点.若，，求 半径的长.
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【解】如图，， 设,则 ，
.
，, ,
，
，
，解得 .
取的中点，连结，则.，，
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，.是的切线， ，
，解得，即半径的长为 .
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考点5 正多边形与圆
（第14题图）
14.【2023 四川内江中考】如图，正六边形内接于 ，
点在上，点是的中点，则 的度数为( )
B
A. B. C. D.
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【解析】如图，连结，，， 正六边形内接于，是
的中点， ， ，
， ，故选B.
（第14题图）
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15.【2023浙江杭州中考】如图，六边形是 的内接正六边形，设正六
边形的面积为，的面积为，则 ___．
2
（第15题图）
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（第15题图）
【解析】如图所示，连结，， 六边形 是
的内接正六边形， 易得，是 的
内接正三角形. ， ，
， 易
得 ， .同理可得，
.又， ，
.由正六边形的性质可得， .由圆和
内接正三角形的性质可得， .故
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， ，故答案为2.
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思路分析
连结，，，首先证明是 的内接正三角形，然后证明
，得到
，进而即可求解．
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考点6 弧长与扇形面积的计算
16.【2024河北中考】扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的
底蕴，如图,某折扇张开的角度为 时,扇面面积为，该折扇张开的角度为
时，扇面面积为.若,则与 关系的图象大致是( )
C
（第16题图）
A. B. C. D.
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【解析】设该扇面所在圆的半径为，则， 该折扇
张开的角度为 时，扇面面积为， ，
，是的正比例函数.，与 关系的图象是过原
点的一条射线.故选C.
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关键点拨
若扇形所在圆的半径为，扇形圆心角为 ，弧长为，则 .
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（第17题图）
17.【2023 四川成都中考】为传承非遗文化，讲好中国故事，某
地准备在一个场馆进行川剧演出.该场馆底面为一个圆形，如图
所示，其半径是10米，从到有一笔直的栏杆，圆心到栏杆
的距离是5米，观众在阴影区域里观看演出，如果每平方米可以
184
坐3名观众，那么最多可容纳_____名观众同时观看演出. 取，取
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【解析】过点作于点.根据题意可得，， 在
中，， ， ， ，
， ，
（平方米） 每平方米可以坐3名观众， 最多可容纳的观众数为
（名）.故答案为184.
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18.【2023浙江金华中考】如图，在中，， ，
以为直径作半圆，交于点，交于点，则弧的长为____ ．
（第18题图）
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【解析】如图，连结，， ，
，，， ，
,， 的长
为．故答案为 ．
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考点7 圆锥的相关计算
19.【2024云南中考】某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品.若
这种圆锥的母线长为40厘米，底面圆的半径为30厘米，则该圆锥的侧面积为
( )
C
A. 平方厘米 B. 平方厘米
C. 平方厘米 D. 平方厘米
【解析】圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇
形的半径等于圆锥的母线长， 圆锥的侧面积为
（平方厘米）.故选C.
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关键点拨
圆锥的侧面积 底面圆周长×母线长.
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20.【2023江苏苏州中考】如图，在中，， ，
，垂足为，．以点为圆心，长为半径画弧，与， ，
分别交于点，，．若用扇形 围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆
的半径为；用扇形围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为 ，
则 _ __．（结果保留根号）
（第20题图）
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【解析】在中，，， ，
，，垂足为， ，
， ， ，
， ，
， 是等腰直角三角形，
， ， ，
解得，，解得， ．故答案为
．
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思路分析
根据平行四边形的性质，正弦的定义及等腰直角三角形的判定与性质推出
， ，再利用扇形弧长公式及圆的周长公式求出, 的
值即可得解.
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考点8 圆的综合
21.【2024湖南中考】【问题背景】
已知点是半径为的上的定点，连结，将线段绕点 按逆时针方向旋转
得到，连结，过点作的切线，在直线上取点 ，使得
为锐角.
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【初步感知】
（1）如图（1），当 时，____ ；
30
【解】由题意得 ，， 是等边三角形，
直线是的切线， ，
，故答案为30.
图（1）
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【问题探究】
（2）以线段为对角线作矩形，使得边过点，连结，对角线 ，
相交于点 .
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①如图（2），当时，求证：无论 在给定的范围内如何变化，
总成立;
【证明】， ，
过点作的切线, ，
四边形是矩形， ，
，， ,
.又，， 四边形 是
矩形，， .
图（2）
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②如图（3），当，时，请补全图形，并求 及 的值.
【解】补全图形如图（1）：
图（1）
图（3）
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图（2）
如图（2）,过点作于点，于点,连结 .
在中，,， 由勾股定理得
， ，
，
点在线段 上，
在中， .
， ，
.
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.
在中， ，
设,，则 ，
，
在中， .
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由（2）①可得 .
四边形 是矩形，
，
， 在中， .
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