中考真题分类集训9 四边形-【初中必刷题】2024-2025学年九年级下册数学同步课件(华东师大版)
2025-02-10
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教辅
内容正文：
数 学
九年级下册 HS
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第二部分 中考真题分类集训
4
（九）
四边形
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刷考点
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考点
考点1 多边形与平行四边形
（第1题图）
1.【2024内蒙古赤峰中考】如图，是正 边形纸片的一部分，其中
，是正边形两条边的一部分，若， 所在的直线相交形成的锐
角为 ，则 的值是( )
B
A.5 B.6 C.8 D.10
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【解析】
如图，设直线，的交点为A，则 正多边形的每个内角相等， 正多
边形的每个外角也相等， ， ．故选B.
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2.【2023湖南邵阳中考】如图，在四边形中， ，若添加一个条件，
使四边形 为平行四边形，则下列正确的是( )
（第2题图）
D
A. B.
C. D.
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【解析】A选项，由，，不能判定四边形 为平行四边形，故
选项A不符合题意选项，， ，一个条件不能判定四边
形为平行四边形，故选项B不符合题意选项，由， ，不能
判定四边形为平行四边形，故选项C不符合题意选项， ，
， ， 又
， 四边形 是平行四边形，故选项D符合题意.故选D.
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（第3题图）
3.【2024四川自贡中考】如图，在中， ，
，.点从点出发，以 的速度沿
运动，同时点从点出发，以 的速度沿
往复运动，当点到达端点时，点 随之停
止运动.在此运动过程中，线段 出现的次数是( )
B
A.3 B.4 C.5 D.6
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【解析】由已知可得，从A到D需要，从C到B（或从B到C）需要.设，
的运动时间为 .
①当时，点在点右侧时，过
作于，过C作于 ，如图
（1）.
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由题易得四边形为矩形，，, .
，， 四边形 是等腰梯形，
， .
，， .
，，解得 ；
（ii）点在点左侧时，四边形 是平行四边形，如图（2）.
此时，，解得， 运动时间为或 时，
.
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②当时，点在点 左侧时，四边
形 是平行四边形，如图（3）.
此时， .
，，，，解得；点在点 右
侧时，由①知，此时四边形是以， 为腰的等腰梯形，这种情况在
时不存在， 运动时间为时， .
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③当时，点在点左侧时，四边形 是平行四边形，如图（4）.
此时，，，解得 同②可知
点在点右侧时的情况在时不存在. 运动时间为时， .
综上所述，运动时间为或或或时， .故选B.
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（第4题图）
4.【2024山东威海中考】如图，在正六边形 中，
，，垂足为点.若 ，则 ____.
【解析】 六边形 是正六边形，
，
，
， ，
，故答案为 .
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刷有所得
正且为整数边形的内角和为 ,正 边形的每个内角的度数
为，每个外角的度数为 .
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5.【2024四川广安中考】如图，在 中，
，， ，点为直线 上一动
点，则 的最小值为_____．
【解析】作点关于直线的对称点，与交于点，连结交于 ，
连结，则，，，当，重合时， 的
值最小，最小值为的长.， ， ，
，, ，
，故答案为 ．
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关键点拨
本题属于将军饮马模型中的两定点一动点类型，作点关于直线的对称点 ,连
结交于,得出的长是 的最小值是解题的关键.
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6.【2024山西中考】如图，在中，为对角线，于点，点 是
延长线上一点，且，线段，的延长线交于点 .若
，，，则 的长为_ ____.
（第6题图）
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【解析】
如图，过点作交于 四边形 是平行四边形，
, .在 中，
, ，
，
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，, ，
，.在 中，
，， .
，，，，，即 ，
.，，，即 ，
.故答案为 .
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7.【2023山东聊城中考】如图，在中，的垂直平分线交于点 ，
交于点，连结，，过点作，交的延长线于点 ，连结
．若，，则四边形 的面积为____．
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（第7题图）
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【解析】 四边形是平行四边形，，是线段
的垂直平分线，， ，
，.在 与
中，，，，即四边形 的面积为24．故答案为24．
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8.【2023江苏扬州中考】如图，点,,,分别是
各边的中点，连结，相交于点，连结， 相交于
点 .
（1）求证：四边形 是平行四边形；
【证明】 点，，，分别是各边的中点，， ，
,,， 四边形是平行四边形， .同
理可得，四边形是平行四边形，， 四边形 是平行四边形.
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（2）若的面积为4，求 的面积.
【解】如图所示，连结，分别是，的中点， 点是 的重
心，，.又是 的中线，
,又是和 的对角
线，，， .又
的面积为4， 的面积为12.
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思路分析
（1）依据四边形是平行四边形，可得，依据四边形 是平行四
边形，可得，进而得出四边形 是平行四边形；
（2）连结，依据三角形重心的性质，即可得到，再根据
是的中线，即可得出 ，进而得到
，依据 的面积为4，即可得出结论．
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考点2 矩形
9.【2024四川泸州中考】已知四边形 是平行四边形，下列条件中，不能判定
为矩形的是( )
D
A. B. C. D.
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【解析】 四边形是平行四边形， 当 时，平行四边形 是
矩形， 选项A可以判定为矩形，故选项A不符合题意. 四边形 是
平行四边形，， .当时， ，
此时为矩形， 选项B可以判定为矩形，故选项B不符合题意.
四边形是平行四边形， 当时，平行四边形是矩形， 选项
C可以判定为矩形，故选项C不符合题意. 四边形是平行四边形，
当时，平行四边形是菱形， 选项D不能判定为矩形， 选
项D符合题意．故选D．
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（第10题图）
10.【2024甘肃武威中考】如图，在矩形中，对角线 ，
相交于点， ，，则 的长为( )
C
A.6 B.5 C.4 D.3
【解析】 四边形为矩形，对角线，相交于点 ，
， 为等边三角
形，，， ，故选C.
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（第11题图）
11. 【2024河北中考】在平面直角坐标系中，我们把一
个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”.如图,
矩形 位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则
该矩形四个顶点中“特征值”最小的是( )
B
A.点 B.点 C.点 D.点
【解析】设，， 四边形为矩形， ，
，，， ，
且， 该矩形四个顶点中“特征值”最小的是点B.故选B.
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12.【2024江苏苏州中考】如图，矩形中，，，动点， 分
别从点，同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点， 运动，
过点，作直线，过点作直线的垂线，垂足为，则 的最大值为( )
D
A. B. C.2 D.1
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【解析】连结交于点，取中点，连结 ，如图所
示. 四边形是矩形， ， ，
在中， ，
，.在与 中，
，
，是 的中点，
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在中，， 点的轨迹为以为圆心，为半径长，即
为直径的圆弧，的最大值为的长，即 的最大值为1.故选D.
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13. 传统文化【2023四川内江中考】出入相补原理
是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数
学家刘徽创建.“将一个几何图形，任意切成多块小图形，
几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的
面积之和”是该原理的重要内容之一.如图，在矩形中，， ，
对角线与交于点，点为边上的一个动点，， ，垂足
分别为点，，则 ___.
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【解析】连结 四边形是矩形， ， ，
，， ，
， ，
，，故答案为 .
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14.【2023河南中考】矩形中，为对角线的中点，点在边 上，且
.当以点,,为顶点的三角形是直角三角形时， 的长为_______
______.
2或
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【解析】如图（1）,当 时，
，，. 是
的中点，， ，
.如图（2）,当 时，连结是的中点， 垂直
平分，.设，则. 在 中，
，，解得 （负值已舍去），
.综上，当以,,为顶点的三角形是直角三角形时， 的长为2
或.故答案为2或 .
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易错警示
以点，，为顶点的三角形是直角三角形时，分两种情况： 和
，注意不要漏解.
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15.【2023四川内江中考】如图，在中，是的中点，是 的中点，过
点作交的延长线于点 .
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（1）求证： ；
【证明】，，.又为 的中点，
，，.又为 的中点，
， .
（2）连结，若，求证：四边形 是矩形.
【解】，， 四边形是平行四边形.，为
的中点，， ， 四边形 是矩形.
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思路分析
（1）证明，由全等三角形的性质得出 ，则可得
出结论；
（2）证出四边形是平行四边形，由等腰三角形的性质得出 ，则可
得出结论．
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16.【2024湖北中考】在矩形中，点，分别在边，上，将矩形
沿折叠，使点的对应点落在边上，点的对应点为点，交于点 .
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（1）如图（1），求证： ；
图（1）
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【证明】如图（1），
图（1）
四边形 是矩形，
，
.
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由折叠得 ，
，
.
又 ，
.
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（2）如图（2），当为的中点，，时，求 的长；
图（2）
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图（2）
【解】如图（2）， 四边形是矩形， ，
，为 中点，
.设， .
在中，，即 ，解得
，，. 由（1）得
，，，解得 .
， .
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（3）如图（3），连结，当，分别为，的中点时，探究与 的数
量关系，并说明理由．
图（3）
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图（3）
【解】.理由：如图（3），延长，交于点 ，连
结.由折叠得, ,
，，， 是等
腰三角形.为中点， 设 ，
为 中点，
， ，
在中， ，
,， ，
, .
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， ，
在中， .
由折叠易得， 直线 ,
, ，
， ，
， .
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考点3 菱形
17.【2024山西中考】在四边形中，点，，，分别是边， ，
，的中点，，交于点.若四边形的对角线相等，则线段 与
一定满足的关系为( )
A
A.互相垂直平分 B.互相平分且相等
C.互相垂直且相等 D.互相垂直平分且相等
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【解析】
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如图，连结，，，，，，分别是，的中点， 是
的中位线，，.同理，， ，
，，， 四边形 是平行四边形.
， ，
四边形 是菱形，
与 互相垂直平分.故选A.
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18.【2024四川达州中考】如图，由8个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的
边长均为2， ，其中点，，都在格点上，则 的值为
( )
B
A.2 B. C. D.3
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【解析】
如图，延长交格点于，连结.由题意可得,，， ，
，故选B．
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19.【2024甘肃武威中考】如图（1），动点 从菱
形的点出发，沿边 匀速运动，运
动到点时停止，设点的运动路程为, 的长为
C
A.2 B.3 C. D.
【解析】结合图象，可得当时，，当点 运动到点B时，
.在菱形中，， ，
.当点运动到中点时，的长为 ，
故选C.
，与的函数图象如图（2）所示，当点运动到中点时， 的长为( )
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20.【2023浙江绍兴中考】如图，在菱形中， ，连结 ，以点
为圆心，长为半径作弧，交直线于点，连结，则 的度数是_____
______．
或
（第20题图）
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【解析】
以点为圆心，长为半径作弧，交直线于点和，如图所示. 在菱形
中，，且 ， ，
，
.综上所述，的度数是 或 ，故答
案为 或 ．
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易错警示
以点为圆心，长为半径作弧，交直线于点，可能在线段 的延长线上
或线段 的延长线上.
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21.【2024广东中考】如图，菱形的面积为24，点是的中点，点是
上的动点.若 的面积为4，则图中阴影部分的面积为____.
10
（第21题图）
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如图，连结， 菱形的面积为24，点是的中点， 的面积为
4，， .设菱形
中边上的高为，则，即，， ，
， ，
，故答案为10.
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22.【2024黑龙江牡丹江中考】在中， ，， ，
以为边向外作有一个内角为 的菱形，对角线，交于点 ，
连结，请用尺规和三角板作出图形，并直接写出 的面积．
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【解】的面积为12或36.当 时，所作
图形如图（1），作，垂足为 .
在菱形中， ， ，
， .
， .
， ，
，
的面积为 .
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当 时，所作图形如图（2），作，垂足为 .
在菱形中， ， ，
.
，
， ，
， ，
的面积为 .
综上， 的面积为12或36．
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以为边向外作有一个内角为 的菱形 有两种情况：
; ,不要漏解.
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23.【2024山东威海中考】如图，在菱形中，， ，
为对角线上一动点，以为一边作 ，交射线于点 ，连结
，.点从点出发，沿方向以每秒的速度运动至点 处停止.设
的面积为，点的运动时间为 秒.
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（1）求证： ；
【证明】设与相交于点 .
四边形为菱形，，， ，
.在和 中，
， ，
， ，
，， .
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（2）求与的函数表达式，并写出自变量 的取值范围；
【解】过点作于 ，如图,
则 .
， 四边形为菱形， ，
， ，即 .
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， ，
，
，
，
， ，
.
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（3）求为何值时，线段 的长度最短.
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【解】，， .
， 为等边三角形，
， ，
线段的长度最短，即的长度最短，当时， 最短.
四边形是菱形， .
，
为等边三角形， .
，， ，
当时，线段 的长度最短.
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关键点拨（3）证明是等边三角形，得出，由（1）知 ，推
得，从而得出当最短时，最短，即时，线段 的长度最短.
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考点4 正方形
（第24题图）
24.【2024重庆中考B卷】如图，在边长为4的正方形 中，点
是上一点，点是延长线上一点，连结，， 平分
交于点.若，则 的长度为( )
D
A.2 B. C. D.
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【解析】 四边形是正方形，， .在
和中， ，
平分，.在和 中，
， 四边形 是边
长为4的正方形，， ， .
设，则， .在
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中，根据勾股定理，得，即 ，
解得 .故选D.
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（第25题图）
25.【2024四川泸州中考】如图，在边长为6的正方形 中，
点，分别是边，上的动点，且满足，与
交于点，点是的中点，是边上的点， ，则
的最小值是( )
B
A.4 B.5 C.8 D.10
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四边形是正方形，， .又 ，
， ，
， 是直角三
角形. 点是的中点，如图所示，在延长线上截取 ，
连结， ，， ，
， ，
， 当，D，三点共线时，
有最小值，即此时有最小值，最小值即为 的长的一半.
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，，，.在 中，由勾股定理
得， 的最小值为5.故选B．
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26.【2024福建中考】如图，正方形的面积为4，点，，， 分别为边
，，，的中点，则四边形 的面积为 ___．
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（第26题图）
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【解析】
如图，连结，交于点 四边形是正方形，且面积为4， ，
,分别为边,的中点， 易得， .同
理可得，，， 四边形 的面积
是 ．故答案为2．
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归纳总结
对角线互相垂直的四边形的面积等于它的两条对角线长的乘积的一半.
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27.【2023广西中考】如图，在边长为2的正方形中，，分别是， 上
的动点，，分别是，的中点，则 的最大值为____．
（第27题图）
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【解析】
如图所示，连结，分别是，的中点，是 的中位线，
四边形是正方形， ，
， 当最大时，最大，此时最大. 点
是上的动点， 当点和点重合时，最大，为 的长度，此时
，，的最大值为．故答案为 ．
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28.【2023辽宁大连中考】如图，在正方形中，，延长至 ，使
，连结平分交于，连结，则 的长为_____.
（第28题图）
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【解析】
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如图，过点作于，作于点 四边形 为正方形，
， ，， ，
， 四边形为矩形.又平分 ，
， 四边形为正方形，.设 ，则
， ，
， ， ，
，，即，解得， ，
.在中，， ,由勾股定理得
.故答案为 .
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思路分析
过点作于，作于点，首先证四边形 为正方形，再设
，则，根据，得 ，然后证
和相似，由相似三角形的性质求出，进而在 中由勾股定理
即可求出 ．
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（第29题图）
29.【2024天津中考】如图，正方形的边长为 ,对角
线,相交于点,点在的延长线上，,连结 .
（1）线段 的长为___;
2
【解析】 四边形是正方形， ，
.在 中，
，
， .故答案为2.
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（2）若为的中点，则线段 的长为____.
【解析】延长到点，使，连结，过点向 作
垂线，垂足为 ,如图所示.
为的中点，为的中点，为 的中位线.在
中， ， .
，， .
在中，，.为
的中位线，.故答案为 .
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