第27章 27.2.3 课时2 切线长定理及三角形的内切圆-【初中必刷题】2024-2025学年九年级下册数学同步课件(华东师大版)

数 学 九年级下册 HS 1 2 3 第27章 圆 27.2 与圆有关的位置关系 4 3.切线 课时2 切线长定理及三角形的内切圆 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 切线长定理 （第1题图） 1.如图，是外一点，射线，分别切于点，点 ， 切于点，分别交，于点，点，若 ，则 的周长为( ) C A.4 B.6 C.8 D.10 【解析】，分别切于点A，B，切于点， ， ，，，即 的周长为8，故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 7 关键点拨 本题利用切线长定理求得,和 是解题的关键. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 8 （第2题图） 2.把直尺、三角尺和圆形螺母按如图所示的方式放置于桌面上， ，点为圆形螺母与直尺的切点，若量出 ， 则圆形螺母的外直径是( ) D A. B. C. D. 【解析】如图，设圆形螺母的圆心为，连结， ， 分别为圆的切线，为的平分线， .又 ， ， . 在中， ，， ， 圆形螺母的外直径为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3.【2024山西晋城质检】如图，，是的切线，，为切点，点， 在 上.若 ，则 ______. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 10 【解析】连结，如图.,是的切线， . ， ， ，故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 11 思路分析 连结，根据切线长定理得到 ，根据等腰三角形的性质得到 ，由圆内接四边形的性质得到 ， 于是得到结论. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 12 4.【2024福建福州期末】如图，直线，，分别与相切于，， ， 且，， .求： 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 13 （1） 的度数； 【解】连结 ，如图. 根据切线长定理得，， ， ， ， ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 14 （2） 的长； 【解】由（1）知，， 由勾股定理得 ， . （3） 的半径. 【解】与相切于点，， ， 即， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 15 知识点2 三角形的内切圆 5.如图，是一张周长为的三角形纸片，， 是它的内切 圆，小明准备用剪刀在的右侧沿着与相切的任意一条直线 剪下 ，则剪下的三角形的周长为___ . 8 （第5题图） 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 16 【解析】由切线长定理得，，，， ， ，， 的周长为 ，故答案为8. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 17 6.如图所示，中，，， ，则它的内切圆半 径为___ . 2 （第6题图） 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 18 【解析】如图，令切点分别为,,，连结,,.设 的内切圆半径为 .在中，，为直角三角形. ， ，，， 四边形 为正方形， ,， ， ，解得 ，故答案为2. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 19 7.【2024江苏盐城调研】如图，为的内切圆，切点分别为，， ， 点，分别为，上的点，且为的切线，连结, . （1）若 ，求 的度数； 【解】 ，为 的内切 圆，，， ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 20 （2）若，，，求 的周长. 【解】为的内切圆，为的切线，设切点为， ， ，的周长为 ， ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 21 刷易错 易错点 混淆内心、外心 8.如图，在中， ． （1）若点为的外心，求 的度数. 【解】 点为的外心， 由圆周角定理得 . ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 22 （2）若点为的内心，求 的度数． 【解】 点为的内心， ， . ， ， ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 23 易错警示 本题的易错点是混淆外心与内心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点， 三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 24 提升 （第1题图） 1.［中］如图，，是的切线，切点分别为,，点在 上，过作的切线分别交，于点，，连结， ，若 ，则 的度数为( ) D A. B. C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 25 【解析】如图.连结，，切于B，切于A， ， .又 ,切于B，切 于C， ，，, 易得平分，即 .同 理得 ， .故选D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 26 （第2题图） 2.【2023河南开封质检，中】如图，在四边形材料 中， ， ，，， .现 用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径是( ) B A. B. C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 27 【解析】如图，当与，， 相切时，其面积最大，切点分 别为，，.连结，，，，，， ， 过点D作于点，则， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 设 ，则有 ， ，故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 28 思路分析 当与，，相切时，其面积最大.连结，，，，， ， ，过点作于点.设的半径为 ，利用 列出关于 的方程，求解即可. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 29 3.［中］如图，在中， ，，半径为1的与 交于 点，且与相切，过点作交于点，点是边 上一动点，则 周长的最小值为( ) A A. B. C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 30 【解析】如图，延长交于点，连结，交 于点 ，此时周长的值最小.设与相切于 ，连结 ，则的半径为1， ， .， 为 的半径，是的切线，， ， ，解得 ， 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 31 . ,，垂直平分线段 , ，周长的最小值为 ，故 选A. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 4.［中］如图，与正方形的两边，相切，且与 相切于点 ．若，，则 的长度为______． 4或3 （第4题图） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 33 【解析】如图所示，设与，分别切于，两点，连结， 四边 形为正方形， ，，与 相切， ，且， 四边形 为正方形.设 ，，解得或， 当 时，;当时，与相切，, 的长度为4或3. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 34 5.［中］如图，在中，，于，为 的内 切圆，设的半径为，的长为，则 的值为__. （第5题图） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 35 【解析】如图所示，为中，， 的平分线的交 点，设分别与，，相切于点，，，连结, , , ,,,,,, ，的长为 ， ，，， ， 故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 36 思路分析 根据三角形内切圆的特点作出圆心和三条半径，用两种不同方法分别表示出 的面积，利用面积相等即可解决问题. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 37 6.【2024广东东莞调研，较难】如图，把置于平面直角坐标系中，点 的 坐标为，点的坐标为，点是内切圆的圆心.将沿 轴 的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与轴重合，第一次滚动后圆心为 ，第 二次滚动后圆心为， ，依此规律，第2 023次滚动后， 内切圆的圆 心 的坐标是__________. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 38 【解析】作于，于，于，连结，， 点 的坐标为，点的坐标为，， ， 点是 内切圆的圆心， ，，， .设 ， ， ，解得， 将沿 轴的正方 向作无滑动滚动，使它的三边依次与轴重合，第一次滚动后圆心为 ，第二次滚 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 39 动后圆心为， 由题图可得的坐标为，即.设 的横坐 标为，根据切线长定理可得，解得，， 的坐标为 ，即 .由题意易得每滚动3次为一个循环， ， 第2 023次滚动后内切圆的圆心 的横坐 标是，即的横坐标是， ， 故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 7.【2024四川乐山期末，中】如图，内接于， 的平分线交于点，交于点，过作 分别交 ，的延长线于点， . （1）求证：是 的切线； 【证明】如图，连结的平分线交于点 ， ，，，.又 是 的半径，为 的切线. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 41 （2）已知，，点为的内心，求 的长. 【解】如图，连结， 点为的内心， 平分 ，平分 ， ， ， ，， ， ，，， . ，，， ， ，，，（负值已舍去）， 的 长为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 42 $$