第27章 27.1.2 课时2 垂径定理-【初中必刷题】2024-2025学年九年级下册数学同步课件(华东师大版)

数 学 九年级下册 HS 1 2 3 第27章 圆 27.1 圆的认识 4 2.圆的对称性 课时2 垂径定理 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 垂径定理 1.【2024四川眉山期末】如图，弦垂直于的直径，垂足为 ，且 ，，则 的长是( ) C （第1题图） A.3 B.4 C.5 D.6 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 【解析】如图，连结是的直径，，， 在 中， ，故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 思路分析 连结,根据垂径定理求得 的长，再根据勾股定理即可求解. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 （第2题图） 2.【2024山东聊城期中】如图，，是 的两条平行弦，且 ，，，之间的距离为5，则 的直径长是 ( ) B A. B. C.8 D.10 【解析】如图，作于，延长交于，连结， .设 ，则 . 由题意可得， ， ， ， ，，，， 的 直径长是 ，故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （第3题图） 3.如图，是的弦，于点，连结，点是半径 上任意一点，连结，若，，则 的长不可能是 ( ) D A.6 B.7 C.8 D.9 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 【解析】 连结，如图.于点C，，， ， ，， 的长度不可能是 9.故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 4.【2024河南开封校级期末】如图，在平行四边形 中， ，，边上的高，点是边 上的动点， 以为半径的与边交于点，（点在点 的左侧）. （1）当经过点时，求 的长； （第4题图） 【解】如图，连结， ， ， ， ， 当经过点时， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 13 （2）连结，，当时，求的半径及弦 的长. （第4题图） 【解】 四边形是平行四边形，.当 时， 四边形是平行四边形.又， 四边形 是菱 形，.设，则.在 中， 由勾股定理得，即 ，解得 ，即的半径为.如图，作于，则 ， .在 中，由勾股定理 得， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 14 知识点2 垂径定理的推论 （第5题图） 5.【2024吉林四平双辽期末】如图在 的正方形网格中，一条 圆弧过点，， ，则这条圆弧所在圆的圆心是( ) B A.点 B.点 C.点 D.点 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15 （第5题图） 【解析】 如图，分别作的垂直平分线及的垂直平分线，它们都经过点 ， 所以点 为这条圆弧所在圆的圆心.故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 16 （第6题图） 6.如图，的弦和直径交于点，且平分 ，已知 ，，那么 的半径是___. 5 【解析】连结的弦和直径交于点，且平分 ， ，.设的半径为 ,则 ，.在 中，由勾股定理，得 ，即，解得 ，故答案为5. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 17 知识点2 垂径定理的实际应用 7.【2024陕西榆林质检】如图，这是一扇拱形门的示意图， 为门框底， ，，门框顶部是一段圆心角为 的圆弧， 是的中点，则点到门框底的距离是_________ . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 18 【解析】如图，设圆心角为 的圆弧所在圆的圆心为 ， 连结,,,,设交于点，则 ，且， 是等腰直角三角形，且是的中点， ， , , 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 19 ，， 点到门框底 的距离是 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8.如图，有一座拱桥是圆弧形，圆弧所在圆的圆心为，它的跨度 米，拱 高 米. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 21 （1）求圆弧形拱桥所在圆的半径的长； 【解】连结，如图.设圆弧形拱桥所在圆的半径的长为 米.由题 意得米，米.在 中，由勾股 定理得，解得 .故圆弧形拱桥所在圆的 半径的长为34米. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 22 （2）当洪水泛滥到跨度小于或等于30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面 只有4米，即 米，是否要采取紧急措施？ 【解】连结，如图.米.在 中，由 勾股定理得，即， 米，米.， 不需要采取紧急措施. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 23 关键点拨 作辅助线构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 24 刷易错 易错点 忽略分类讨论而漏解 9.已知的半径为，弦，且，，则弦 和之间的距离为_______ . 14或2 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 25 【解析】作于点,于点 ,连结 ，,,,三点共线.①当弦 和弦 在圆心同侧时，如图（1）.∵EF=16 cm, ，， . ②当弦和弦在圆心异侧时，如图（2）.， , ，.，， ， . 综上，弦和之间的距离为或 . ，，， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 26 易错警示 求两条平行的弦之间的距离有两种情况，需分类讨论：①弦位于圆心的同侧;②弦 位于圆心的异侧.常常因只考虑其中的一种情况而漏解. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 27 提升 （第1题图） 1.［中］如图，在半径为1的扇形中， ，点是 上任意一点（不与点，重合），， ，垂足分别 为，，则 的长为( ) B A. B. C. D.1 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 28 【解析】 如图，连结 ， ， .，， ， ，是的中位线， ，故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 29 关键点拨 由垂径定理可知，是的中点，是的中点，所以是 的中位线，所 以求出的长即可求出 的长. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 30 （第2题图） 2.【2024福建福州校级质检，中】如图，在平面直角坐标系中， 经过点，直线与交于， 两点， 则弦 的最小值是( ) C A. B. C. D.以上都不对 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 31 【解析】对于直线，当 时，， 直线恒经过点 ，记为点D. 由于过圆内定点D的所有弦中，与垂直的弦最短，即当 时，最短.连结， ， 如图所示.，经过点 ， ， . ， ， 弦的最小值是 .故选C. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 32 3.【2023山东淄博期末，中】如图，在中，弦，半径，点 是 优弧的中点，则 的值是____. （第3题图） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 33 【解析】 如图，延长交于点 点是优弧的中点， ， , , , , ,.故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 34 4.［中］如图，在中，半径与弦垂直于点，为的中点，为 上 的点，且.若，，则 的半径长为___. （第4题图） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 35 【解析】 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 36 连结，，延长交于，过作于，如图.设 的半径为 ，，， , ， 四边形是矩形， ， .在中，，① 在 中， ，得，解得，即 的 半径长为.故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 37 5.［中］如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点 的 坐标是，点，在以为直径的半圆上，且四边形 是平行四边形，则点 的坐标为______. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 38 【解析】 四边形是平行四边形，， ， .如图，过点作于点.过点 作 于点，则 ， ，.连结 ，则 ， 在中，由勾股定理得， 点 的坐标为.故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 关键点拨 过点作于点，由垂径定理求得 是解题的关键. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 40 6.【2024浙江杭州调研，中】某地欲搭建一 座桥，桥的底部两端间的距离 ，称跨 度，桥面最高点到的距离 ,称拱高， 当和 确定时，有两种设计方案可供选择： （1）如果设计成抛物线形，如图（1），以所在直线为轴， 的垂直平分线 为 轴建立坐标系，求桥拱的函数表达式； 【解】，，， .设抛物线的表达式为 .将代入得，解得， 抛物线的表达 式为 . ①抛物线形；②圆弧形.已知这座桥的跨度米，拱高 米. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 41 （2）如果设计成圆弧形，如图（2），求该圆弧所在圆的半径长； 【解】设圆心为，连结易得,,三点共线，连结 ，如图. ，， . 在中，，，解得 ，则 该圆弧所在圆的半径长为10米. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 42 （3）有一艘宽为12米的货船，船舱顶部为方形，并高出水面1.8米，在两种方案 下，此货船能否顺利通过该桥？并说明理由. 【解】①在抛物线形上时，货船不能顺利通过该桥.理由：当 时， ，， 货船不能顺利通过该桥. ②在圆弧形上时，货船能顺利通过该桥.理由：如图，设米，过点 作 交弧于点，过点作于点，连结，则 ，在 中，， ， ，， 货船能顺利通过该桥. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 43 刷素养 走向重高 7.核心素养 几何直观［较难］如图，，是半径为5的 的两条弦， ，，于，于 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 44 （1） ___； 7 【解析】如图,连结，，，， 是直径， 于点，于点， ， ， ， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 45 （2）点在上运动，则 的最小值为_____. 【解析】如图，作于，连结.由于，两点关于 对称，因而，即当，， 在一条直线上时， 的值最小，即的值就是的最小值. 于，于， ， 四边 形是矩形，，， . 在中，根据勾股定理得 ，即 的最小值为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 46 关键点拨（2）作于，连结.由于,两点关于 对称，所以 ,即当,,在一条直线上时，的值最小，即为 的长. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 47 $$