第26章 专题4 二次函数的综合-【初中必刷题】2024-2025学年九年级下册数学同步课件(华东师大版)

数 学 九年级下册 HS 1 2 3 第26章 二次函数 4 专题4 二次函数的综合 5 刷难关 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 难关 类型1 存在性问题 1.【2024山西朔州怀仁期中，较难】如图，抛物线与 轴交于 ，两点（点在点的左侧），与轴交于点，点 是第一象限内抛物线上的一 个动点. 备用图 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 7 （1）请直接写出点，， 的坐标. 【解】,,，当时，，当 时，，解得，，，， . （2）是否存在这样的点，使得？若存在，求出点 的坐标；若 不存在，请说明理由. 【解】存在这样的点，使得 .设 ，， ， ,.， ， ，，解得（负值已舍去）, 点坐标为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 8 （3）若点是直线上一点，是否存在点，使得以点，， 为顶点的三角形 是等腰三角形？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由. 【解】存在点，使得以点，，为顶点的三角形是等腰三角形.设直线 的表 达式为，则解得 .设 ，， ， ，.当 时,，解得,或，；当 时,，解得（舍去）或，；当 时, ，解得， . 综上可得，点坐标为或，或或 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 9 2.【2024山西吕梁交城期中，较难】如图（1），二次函数 的图象 交轴于点，，交轴于点，过点的直线与抛物线交于点 . 图（1） 图（2） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 10 （1）请确定直线 的表达式. 【解】将代入中，得，解得 ， ，，.设直线的表达式为 . 把，分别代入中，得解得 直线 的表达式为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 11 （2）点是抛物线上的一个动点，过点作轴的平行线交直线于点 . ①连结，如果点在第四象限内的抛物线上运动，交于点，当 时，求点 的坐标. 【解】将代入中，得，.设 所在直线的 表达式为.把，分别代入 中，得 解得所在直线的表达式为 .设 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 12 轴，， 点 在第四象限内的抛物线上运动， ， ， ，解得，， 点的坐标为 或 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 13 ②设直线与轴的交点为，如图（2），在点 运动的过程中,是否存在以点 ，，，为顶点的四边形为平行四边形?若存在，直接写出点 的坐标；若不 存在，请说明理由. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 14 【解】存在，点的坐标为或或.将 代入 中得， . ，.设， 轴， 或 以点，，， 为顶点的四边 形为平行四边形，轴，， 或 ，解得（舍去）或3或或， ， ，， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 15 思路分析 （1）将代入中，求出点，的坐标，设直线 的表达式为 ，把点， 的坐标代入即可求解. （2）①先求出直线的表达式，设，则， ， 即可表示出，的长，利用可列出方程，求解即可.②把 代入 中求出点的坐标，进而求得的长.设 ，则 ，表示出的长.根据以点，，， 为顶点的四边形为平行四边 形，轴，可得 ，列出方程求解即可. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 16 类型2 新定义问题 3.【2024河北沧州任丘调研，较难】如图（1），已知抛物线 与轴交于点，设点关于的对称轴对称的点为 . 图（1） 图（2） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 17 （1）求的顶点坐标和点 的坐标. 【解】， 抛物线的顶点坐标为 ，对 称轴为直线.令，则，， 点 关于该抛物线对称轴对称 的点的坐标为，的顶点坐标为， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 18 （2）如图（2），若抛物线的顶点在抛物线上，抛物线的顶点 在抛物线 上（点， 不重合），我们把这样的两条抛物线互称为“伴随抛物线”. ①求以点为顶点的的“伴随抛物线”的函数表达式，并指出与中 同时 随 增大而增大的自变量的取值范围； 【解】设抛物线的表达式为 抛物线 过点，顶点为， ， ，的表达式为 ，即 .如图，由图象可知当时，与 中 同时随 增大而增大. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 19 ②将①中求出的自变量取值范围内的和组成的图形记为.若直线将 上的整点（横、纵坐标都是整数的点）平分，直接写出 的取值范围. 【解】由①可知，图形上的整点分别为，，， 直线 过原点，且将上的整点平分， 点和在直线 的两侧， 把坐标分别代入得，则；，则， 的取值范围为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 20 4.【2024广东深圳调研，较难】在平面直角坐标系中，由两 条与 轴有着相同交点，并且开口方向相同的抛物线所围成 的封闭曲线称为“月牙线”.如图所示，抛物线 与抛物线 的一部分组成一个“月 牙线”，与轴相同的交点分别为，（点在点 的左 侧），与轴的交点分别为，，且点的坐标为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 21 （1）求，两点的坐标及抛物线 的表达式. 【解】令，则，解得或， ， ， 设抛物线的表达式为.将点 代入，得 ，解得， 抛物线 的表达式为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 22 （2）若抛物线的顶点为，当时，试判断三角形 的形状，并说明理由. 【解】 是等腰三角形.理由： ，， ， ，，，， 是等腰三角形. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 23 （3）在（2）的条件下，点是抛物线上一点，抛物线 在第三象限内是 否存在一点，使得?若存在，请直接写出点 的坐标；若不存 在，说明理由. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 24 【解】抛物线在第三象限内存在一点，使得， 点坐标为 ,或. 点是抛物线 上一点， ，解得或，，或 . 设直线的表达式为 ， 解得 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 25 过点作轴交于点.当点坐标为时，， ， . ，，， . 当点坐标为时，，， . ，，， . 综上所述,点坐标为，或 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 思路分析（1）令，求解方程，可求, 点坐标;设抛 物线的表达式为，将点 坐标代入即可求函数的表达式. （2）求出点坐标，利用两点间距离公式，得到和，即可判断三角形 的形状. （3）求出点坐标，直线的表达式，过点作轴交于点 ，根据所求 的点坐标，分两种情况，利用面积关系求相应的 点坐标即可. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 27 类型3 整点问题 5.【2024河北张家口张北期中，难】如图，抛物线与 轴 交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且， 为抛 物线 上的对称轴右侧的点（不含顶点）. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 28 （1）求 的值和抛物线的顶点坐标. 【解】 抛物线与轴交于，两点（点在点 的左侧）， 与轴交于点，， . ，， ， ， 抛物线 的表达式为 ， 抛物线的顶点坐标为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 29 （2）设抛物线在点和点之间部分含点和点 的最高点与最低点的纵坐标之 差为，求与的函数关系式，并写出自变量 的取值范围. 【解】由（1）可知，抛物线的表达式为， 抛物线 的对称轴为 直线,当时，，，.当时，点 是最高点，抛物线的顶点是最低点，;当时，点 是最 高点，抛物线的顶点是最低点，,故与 的关系式为 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 30 （3）当点的坐标满足时，连结.将直线与抛物线 围成的 封闭图形记为 . ①求点 的坐标； 【解】联立得方程组解得 或（舍去），点坐标为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 31 ②直接写出封闭图形 的边界上的整点（横、纵坐标都是整数的点）的个数. 【解】整点的个数为14.设直线的表达式为， ，解得 ， 直线的表达式为， 封闭图形的边界上的整点为 ， ，，，，，，，，， ， ，， ，共有14个. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 32 关键点拨（3）② 列整点时可按照一定的逻辑顺序进行，避免遗漏. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 33 $$