第26章 二次函数 全章综合训练-【初中必刷题】2024-2025学年九年级下册数学同步课件(华东师大版)

数 学 九年级下册 HS 1 2 3 第26章 二次函数 4 全章综合训练 5 刷中考 刷章测 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 中考 考点1 二次函数的图象和性质 1.【2024四川眉山中考】定义运算： ，例如 ，则函数 的最小值为( ) B A. B. C. D. 【解析】由题意得， ，即 ， 当时，函数 的最小值为 .故选B. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7 2.【2023江苏扬州中考】已知二次函数为常数，且 ，下 列结论：①函数图象一定经过第一、二、四象限；②函数图象一定不经过第三象 限；③当时，随的增大而减小；④当时，随 的增大而增大.其中所 有正确结论的序号是( ) B A.①② B.②③ C.② D.③④ 【解析】时，抛物线开口向上， 对称轴为直线，当时， 随的增大而减小，当时，随的增大而增大，故③正确，④错误.又 抛物 线与轴交于,， 函数图象一定不经过第三象限，函数图象可能经过第一、 二、四象限,故②正确，①错误.故选B. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8 3.【2024四川乐山中考】已知二次函数，当 时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 【解析】， 二次函数的图象开口向上，对称轴为直 线，当时，，关于对称轴对称的点的坐标为 当 时，函数取得最大值，当时，函数取得最小值， ，解 得 .故选C. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9 4.【2024山东滨州中考】将抛物线 先向右平移1个单位长度，再向上平移2 个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为______. 【解析】将抛物线 先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到 的抛物线的表达式为， 顶点坐标为，故答案为 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10 5.【2024四川成都中考】在平面直角坐标系中，， ， 是二次函数图象上三点.若，，则 ___（填“ ”或“ ”）；若对于， ， ，存在，则 的取值范围是____________. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11 【解析】， 二次函数 图 象的对称轴为直线，开口向下.，， ， 即比离对称轴的水平距离近， ， ，， 对于 ，， ，存在 ，，，且离对称轴最远， 离对称轴最 近，， ，且 ， ， ，且，解得.故答案为， . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12 考点2 确定二次函数的表达式 6.【2024陕西中考】已知一个二次函数的自变量与函数 的几组 对应值如下表： … 0 3 5 … … 0 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是( ) D A.图象的开口向上 B.当时，的值随 值的增大而减小 C.图象经过第二、三、四象限 D.图象的对称轴是直线 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13 【解析】由题意得 解得 二次函数的表达式为 ， 图象的开口向下，故选项A不符合 题意；图象的对称轴是直线，故选项D符合题意；当时，的值随 值的增大而增大，当时，的值随值的增大而减小，故选项B不符合题意； 顶点坐标为，且图象经过原点，图象的开口向下， 图象经过第一、三、四 象限，故选项C不符合题意.故选D. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7.【2024江苏苏州中考】二次函数的图象过点 ， ，，，其中，为常数，则 的值为____. 【解析】把，，代入 ， 得 解得.把 代入 ，得， ， ，故答案为 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 思路分析 将，，的坐标代入，将，，用含 的代数式表示 出来,然后把的坐标代入可得出， 之间的关系，即可求解. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 16 考点3 二次函数与一元二次方程、不等式的关系 8.【2023湖南衡阳中考】已知，若关于的方程 的 解为，，关于的方程的解为， . 则下列结论正确的是( ) B A. B. C. D. 【解析】关于的方程 的解为抛物线 与直线的交点的横坐标，关于 的方程 的解为抛物线与直线 的交 点的横坐标，如图，由图可知， ，故选B. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 17 9.【2024四川德阳中考】如图，抛物线的顶点的坐标为 ，，与轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论： ； ；③若抛物线经过点，，则；④若关于 的一 元二次方程无实数根，则 .其中正确结论是________ （请填写序号）. ①②④ 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 18 【解析】 抛物线的顶点的坐标为，， ， 抛物线开口方向向下，，.当时， ， ，故①正确.由图象可得当时， ， ,，故②正确. 直线是抛物线的对称轴， 点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，，故③错误. 关于的一元二次方程无实数根， 顶点，在直线 的下方， ，故④正确.故答案为①②④. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 19 考点4 二次函数的实际应用 10.【2024广西中考】如图，壮壮同学投掷实心球，出 手（点处）的高度是 ，出手后实心球沿一段抛 物线运行，到达最高点时，水平距离是,高度是 . 若实心球落地点为,则___ . 【解析】以为坐标原点，所在直线为轴、所在直线为 轴建立平面直角坐 标系.由题意得该抛物线的顶点为， 设该抛物线的表达式为 抛物线经过，，，解得， 该抛物线的表达式为.当时， ， 解得（舍）,, . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 20 11.【2024甘肃白银中考】如图（1）为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作 是抛物线的一部分，如图（2）是棚顶的竖直高度单位： 与距离停车棚支柱 的水平距离单位：近似满足函数关系 的图象，点 在图象上.若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长 ，高 的矩形，则可判定货车____完全停到车棚内（填“能” 或“不能”）. 能 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 21 【解析】，，.在 中，当 时，， 货车能完全停到 车棚内，故答案为能. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 22 关键点拨 根据题意求出当时，的值，若此时的值大于 ，则货车能完全停到车棚 内，反之不能，据此求解即可. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 23 12.【2024山东滨州中考】春节期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营 成本为2 000元，该影院每天售出的电影票数量（单位：张）与售价 （单位：元 /张）之间满足一次函数关系，且是整数 ，部分数据如下表所示： 电影票售价 （元/张） 40 50 售出电影票数量 （张） 164 124 （1）请求出与 之间的函数关系式； 【解】设与之间的函数关系式是 . 由表格可得，解得 与之间的函数关系式是，且是整数 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 24 （2）设该影院每天的利润（利润票房收入-运营成本）为（单位：元），求 与 之间的函数关系式； 【解】由题意可得，，即 与 之间的函数关系式是,且是整数 . （3）该影院将电影票售价 定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？ 【解】由（2）知 ， ，且是整数， 当或41时，取得最大值，此时 . 答：该影院将电影票售价 定为40元或41元时，每天获利最大，最大利润是4 560元. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 25 考点5 二次函数的综合应用 13.【2024四川资阳中考】已知平面直角坐标系中， 为坐标原点，抛物线 与轴交于，两点，与轴的正半轴交于点，且 ， . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 26 （1）求抛物线的表达式； 【解】， ， ， ，.把， 代入函数表达式得 解得 抛物线的表达式为 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 27 思路分析 根据勾股定理求出的长度，将点, 的坐标代入抛物线的表达式，求 出, 的值即可. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 28 （2）如图（1），点是抛物线在第一象限内的一点，连结，，过点 作 轴于点，交于点.记，的面积分别为，，求 的最大值； 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 29 【解】，， 设直线的表达式为.把 代 入，得， 直线的表达式为.设， ，则 ，， ， ，， ， ， . , 当时，取最大值，最大值为 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 （3）如图（2），连结，点为线段的中点，过点作交轴于点 . 抛物线上是否存在点，使？若存在，求出点 的坐标；若不存在， 说明理由. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 31 【解】存在.如图,连结.令 ，解得 ，， . ，点为 的中点， ， ， ，.设 ，则 .在中，由勾股定理，得，， ，， ， ，. ①取点关于 轴的 对称点，连结并延长交抛物线于点，则 ， 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 32 .设直线 的 表达式为，则解得 直线的表达式为.联立 解 得（舍去）或， . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ②取关于的对称点，连结交于点，连结交抛物线于点 ，则 ，， ， . ， ，，.过点作 轴，则 ， ， ， ，.，， ， ，，， . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 设直线的表达式为，则 解得 直线的表达式为 . 联立解得 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 （舍去）或， . 综上，点的坐标为，或， . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 关键点拨 利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 37 章测 一、选择题（每小题5分，共25分） 1.【2024山东临沂期末】对于二次函数 的图象和性质，下列说 法正确的是( ) B A.顶点坐标为 B.抛物线的对称轴是直线 C.当时，随 的增大而减小 D.可由抛物线 向左平移1个单位得到 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 38 【解析】 二次函数为， 函数图象开口向上，对称轴是直线 ，顶点坐标是， 当时，随 的增大而增大.二次函数 的图象可由抛物线 向右平移1个单位得到.故B正确. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 39 关键点拨 利用一次函数的图象所经过的象限得出， 的正负是解决问题的关键. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 40 2.【2024江苏无锡梁溪区期末】已知一次函数 的图象经过第一、 二、四象限，则二次函数 的图象大致为( ) A A. B. C. D. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 41 【解析】 一次函数的图象经过第一、二、四象限，， ， 二次函数的图象开口向下，与轴交于点和，., 点,在 轴负半轴.故选A. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 42 3.【2023湖北十堰中考】已知点在直线上，点 ， 在抛物线上，若， ，则 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 【解析】令，整理得，解得 ， ， 直线与抛物线的交点的横坐标为 ， ， 抛物线开口向上，对称轴为直线 ， 顶点为.把代入，解得.若 ， ，则，， ，故 选A. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 43 思路分析 求得直线与抛物线的交点的横坐标，把抛物线的顶点纵坐标代入直线表达式，求 得对应的的值，即可求得的取值范围，根据抛物线的对称性求得 ， 从而求得 的取值范围. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 44 4.【2023山东青岛一模】二次函数 的部分图象如图所示， 已知图象经过点，其对称轴为直线 .下列结论： ；；③不等式的解集为 或；；⑤点， 是抛物线上 的两点，若，则；⑥若抛物线经过点，则关于 的一元二次方程的两根分别为 ，5.其 中正确的有( ) B A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 45 【解析】 ① 由图象可知,，，，, ，故①正确 ② ， 当时，，即 , ， ,故②正确 ③ 对称轴为直线,与轴的一个交点坐标为， 与 轴的另一个交 点坐标为， 不等式的解集为 ，故③不正确 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 46 ④ 由③可知图象过点, 当时，，即 ， ,故④不正确 ⑤ 点,是抛物线上的两点，若，则 ,故⑤不 正确 ⑥ 图象过点， 由对称性可知,图象也过点.令 ，则 ,即有两个根，分别是 ，5,故⑥正 确 续表 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 47 5. 【2023重庆沙坪坝区调研】定义一种新运算： 例如：， .下 列说法：；②若，则， ； 的解集为或 ；④函数 的图象与直线为常数 有3个交点，则 .其中正确的个数是( ) B A.4 B.3 C.2 D.1 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 48 【解析】，故①正确.当 ，即 时，，解得或;当，即 或 时，，解得（舍去）或 （舍去）， 的解为，，故②正确.当 ，即 时，，解得，;当 ，即 时，，解得， 的解 集为或，故③错误.当，即 时， ;当，即 或 时， .在坐标系中画出 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 49 与 的图象如图.由图象可得，若函数 的图象与直线为常数 有3 个交点,则 ，故④正确.正确的有①②④，共3个，故选 B. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 50 二、填空题（每小题5分，共15分） （第6题图） 6.【2023湖南长沙岳麓区调研】如图，若抛物线 与轴交于，两点，与轴交于点 .若 ，则 的值为____. 【解析】设， .由题意可知 ， ， ，，，即 .令 ,则，. ,.故答案为 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 51 7.如图，二次函数的图象与轴分别交于，两点,与 轴交于 点,点是其对称轴上一动点,当取得最小值时,点 的坐标为_______. （第7题图） 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 52 【解析】如图,连结交对称轴于点,连结,则,点 即为所求. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 53 由二次函数,得.令,则 ,解得 ,,故,,故对称轴为直线.设直线 的 表达式为,则解得 直线 的表达式为 .把代入直线的表达式,得, 点的坐标为 ,此时 取得最小值. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 54 关键点拨 连结交对称轴于点，连结,则点即为所求，只要求出直线 的表达式，把 代入，即可求得点 的坐标. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 55 8.【2024吉林长春校级质检】某单位要对拱形大门进行粉刷，如图是大门示意图， 门柱和的高均为0.75米，门宽 为9米，上方门拱可以近似地看作抛物线的 一部分，最高点到地面的距离为4.8米.工人师傅站在倾斜木板 上，木板一 端点恰好落在门拱上且到点的水平距离 为7.5米，工人师傅能刷到的最大垂 直高度为2.4米，则在 上方区域中，工人师傅刷不到的最大水平宽度为___米. 4 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 56 【解析】以为坐标原点，所在直线为 轴建立平面直角坐标系.设抛物线的顶 点为.由题意知，抛物线顶点的坐标为 ，设抛物线的表达式为 ，， 将点 坐标代入抛物线表达 式，得，解得， 抛物线的表达式为 ，当时，， 点坐标为.设直线 的表达式为.将点代入，得，， 直线的表达式为.设在左侧的抛物线上存在一点，过作 轴的垂 线交直线于点.设点的坐标为，则 ， 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 57 工人师傅能刷到的最大垂直高度是2.4米， 当 时，即 ，解得，（米）， 工人师傅刷不到的最大水平宽度为4米，故答案为4. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 三、解答题（共60分） 9.【2024四川自贡期末】将抛物线平移到如图中 的位置，且与 直线交于， 两点. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 59 （1）抛物线是由抛物线 向左平移__个单位，再向下平移___个 单位得到的； 【解析】由题设平移后的抛物线的表达式为.将， 两点代入，得解得 平移后的抛物线 的表达式为 ， 抛物线是由抛物线向左平移 个单位，再向下平移个单位得到的.故答案为, . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 60 （2）求抛物线 的顶点坐标； 【解】， 抛物线的顶点坐标为， . （3）动点在直线下方的抛物线上，求以点，，， 为顶点的四边形的最 大面积. 【解】如图，设，连结，， ， 过点作轴交直线于点.设直线的表达式为 ， ，解得， 直线的表达式为 ， ，， 四边形 的面积 ， 当 时，四边形 的面积最大，最大面积是2. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 61 10.【2023四川南充中考】某工厂计划从A，B两种产品中选择一种生产并销售，每 日产销件.已知A产品成本价元/件为常数，且 ，售价8元/件，每 日最多产销500件，同时每日共支付专利费30元；B产品成本价12元/件，售价20元 /件，每日最多产销300件，同时每日支付专利费元，（元）与每日产销 （件） 满足关系式 . （1）若产销A，B两种产品的日利润分别为元，元，请分别写出，与 的 函数关系式，并写出 的取值范围. 【解】根据题意，得 ， . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 62 （2）分别求出产销A，B两种产品的最大日利润.产品的最大日利润用含 的代 数式表示 【解】，，随的增大而增大.又， 当时，有最大值， 最大 . 又，对称轴为直线， 当时，随 的增大而增大， 当时，有最大值，最大 . 综上，产销A产品的最大日利润为 元，产销B产品的最大日利润为 1 420元. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 63 （3）为获得最大日利润，该工厂应该选择产销哪种产品？并说明理由.【利润 （售价-成本） 产销数量-专利费】 【解】①若最大最大，即，解得；②若 最大最大，即，解得；③若最大 最大， 即，解得 .综上可得，为获得最大日利润， 当 时，选择产销A，B两种产品均可； 当 时，选择产销A种产品； 当 时，选择产销B种产品. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 64 思路分析（1）根据利润（售价-成本） 产销数量-专利费即可列出表达式，注 意取值范围. （2）根据表达式系数确定增减性，再结合 的取值范围选择合适的值求出最大值. （3）分类讨论当什么情况下A、B利润一样，什么情况下A利润大于B以及什么情况 下A利润小于B即可得出结论. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 65 11.如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线与 轴交于 ，两点，与轴交于点，点在直线 下方的抛物线上 （不与点，重合），过点作轴于点，交直线于点，连结 ， ， . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 66 （1）求抛物线的表达式； 【解】设抛物线的表达式为.将代入，得 ， 解得， 抛物线的表达式为，即 . （2）设四边形的面积为，当最大时，求点的坐标及 的最大值； 【解】连结.设， . ，，，点在直线下方的抛物线上，, ， 当时，最大,最大值是9，此时点的坐标为 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 67 （3）如图（2），过点作于点，当以，， 为顶点的三角形与 相似时，求点 的坐标. 【解】设，.，， ， ，，.， . 于点， . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 68 ①当时，有 ， ，解得（与点重合，舍去），， 点 的坐 标为， ； ②当时，有 ， ，解得（与点重合，舍去）， （不合题意， 舍去），， 点的坐标为 . 综上，点的坐标为，或 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 69 思路分析（3）设，，利用的面积求出 .分两种情形分 别求解即可： ， ，根据相似三角形的性质，分别构建方程即可解决问题 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 70 $$