第26章 大招专题2 二次函数图象中的交点问题-【初中必刷题】2024-2025学年九年级下册数学同步课件(华东师大版)

数 学 九年级下册 HS 1 2 3 第26章 二次函数 4 大招专 题2 二次函数图象中的交点问题 5 刷难关 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 难关 母题学大招4 确定图形找临界状态 1.【2023山东临沂期中,较难】如图,已知抛物线 的顶 点为，与轴的交点为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 （1）请直接写出 的表达式； 【解】的表达式为 抛物线的顶点为， 设抛物线 的表达式为.把代入得 ， ， 抛物线的表达式为，即 . （2）若直线与有唯一的交点，求 的值； 【解】由得 . 直线与 有唯一的交点， ， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 8 （3）若抛物线关于轴对称的抛物线记作，平行于轴的直线记作 .试结 合图形回答：当为何值时，与和 共有：①两个交点?②三个交点?③四个交点? 【解】 抛物线关于轴对称的抛物线记作， 抛物线的顶点坐标为 ， 与轴的交点为 ， 抛物线的表达式为 . ①当直线过抛物线的顶点和抛物线的顶点时，即时，与 和 共有两个交点. ②当直线过时，即时，与和 共有三个交点. ③当或时，与和 共有四个交点. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 9 大招解读 确定图形找临界状态 （1）根据已知条件画出确定的图形； （2）将直线在坐标系中上下平移，找到符合题意的临界位置（常见位置:①二次 函数图象顶点;②图象交点;③与二次函数图象的切点）； （3）联立直线和抛物线的表达式得一元二次方程,利用 求解； （4）临界位置之间的部分即为满足题意的部分. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 10 子题练变式 与坐标轴的交点问题 2.【2024陕西西安校级模拟，中】抛物线 与坐标轴有且仅有两 个交点，则 的值为( ) D A.3 B.2 C.2或 D.2或3 【解析】抛物线 与坐标轴有且仅有两个交点，分两种情况讨 论:当与轴有一个交点，与轴有一个交点，且不重合时，令 得 与轴有一个交点，，解得 ;当 与轴有两个交点，且其中一个交点与 轴交点相重合（即过原点）时，此时 ，.综上, 的值为2或3.故选D. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 11 易错警示 注意抛物线必定与 轴有一交点． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 12 子题练变式 与一次函数图象的交点问题 3.【2023浙江舟山校级质检,较难】在平面直角坐标系 中，已知抛物线 ，将向右平移4个单位长度，得到抛物线，过点作 轴的 垂线，交于点，交于点，为与 的纵坐标中的较小值（若二者相等则 任取其一），将所有这样的点组成的图形记为图形.若直线 与图形 恰好有4个交点，则 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 13 【解析】 抛物线，将向右平移4个单位长度，得到抛物线， 抛物线的表达式为 . 联立解得 两抛物线的交点坐标为.由题意得图形 如图所示. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 14 把代入，得，解得.当直线与 只有一个交 点时，，即 有两个相等的实数根， ，解得. 直线与图形 恰好有4 个交点， 结合图形可知， .故选A. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 15 子题练变式 与平行于坐标轴的线段的交点问题 4.【2024吉林长春校级模拟，中】如图，已知抛物线和线段 ， 点和点的坐标分别为，，将抛物线向上平移 个单位长度后 与线段仅有一个交点，则 的取值范围是__________________. 或 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 16 【解析】， 该抛物线的对称轴为直线 . 将抛物线向上平移个单位长度后抛物线的表达式为 . 当抛物线顶点恰好平移到线段上时，，解得 ；当抛物线经过点 时，，解得，此时关于对称轴直线 对称的点在线段上，不符合题意；当抛物线经过点 时， ，解得，此时关于对称轴直线 对称的点 不在线段上，符合题意.故平移后的抛物线与线段 仅有一个交点 时，或.故答案为或 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 17 思路分析 由题意可知，将抛物线向上平移 个单位长度后抛物线的表达式为 .结合图象，找到临界点：①当抛物线顶点恰好平移到线段 上时;②当抛物线经过点时;③当抛物线经过点时，求出对应 的 值，结合图象即可求解. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 18 母题学大招5 端点值代入法 5.【2024江苏泰州质检，中】二次函数的图象经过点 和 .直线上有一点，将点向右平移4个单位长度，得到点 ，若抛 物线与线段只有一个公共点，求 的取值范围. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 19 【解】设直线的表达式为.把点和 代入得 解得 直线的表达式为.把 代入， 得，，由平移得 二次函数 的图象经过 点和, 解得 .①当时，若抛物线与线段 只有一 个公共点，如图（1），则抛物线上的点在 点的下方， ，解得， ； 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 20 ②当时，若抛物线的顶点在线段上，则抛物线与线段 只有一个公共 点．如图（2）,,即，解得 或 . 综上，的取值范围是或 ． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 21 大招解读 端点值代入法 （1）确定由抛物线和线段所在直线的表达式得到的方程； （2）抛物线与线段仅有一个交点 时： 情况1：如图（1）,满足条件且 . 情况2：如图（2）,满足条件且时，；时， . 情况3：如图（3）,满足条件且时，；时， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 22 子题练变式 6.【2024河北唐山期中，中】在平面直角坐标系中，已知二次函数 ，点，.若二次函数 的图 象与线段有两个不同的交点，则 的取值范围为___________________. 或 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 23 【解析】①当时，如图（1），抛物线对称轴为直线, 时，，解得， ; ②当时，如图（2）， 点，，设直线 的表达式为 ，解得 直线的表达式为 .令 ，整理得 二次函数 的 图象与线段有两个不同的交点，，且 时， ， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 24 综上,的取值范围为或 ． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 25 $$