第26章 26.3 课时2 二次函数与一元二次方程（不等式）的关系-【初中必刷题】2024-2025学年九年级下册数学同步课件(华东师大版)

数 学 九年级下册 HS 1 2 3 第26章 二次函数 4 26.3 实践与探索 课时2 二次函数与一元二次方程（不等式）的关系 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 二次函数与一元二次方程的关系 1.【2024四川巴中期末】已知抛物线与轴交于点 ， ，则关于的方程 的解是( ) C A.， B.， C.， D.， 【解析】 抛物线与轴交于点，， 方程 的两个根为， ，故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7 （第2题图） 2.【2024四川眉山调研】二次函数 的部分图象 如图所示，对称轴为直线，图象与轴相交于点 ，则 方程 的根为( ) C A.， B.， C.， D.， 【解析】 抛物线与轴的一个交点为，且对称轴为直线， 抛物线 与轴的另一个交点为， 方程的解为 ， .方程可变形为，设 ，可得 ，，，则方程 的两个根为 ， ，故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 3.【2023湖南郴州中考】已知抛物线与 轴有且只有一个交点， 则 ___. 9 【解析】 抛物线与轴有且只有一个交点， 方程 有唯一解，即，解得 .故答案 为9. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 4. 开放性试题【2023江苏泰州中考】二次函数的图象与 轴 有一个交点在轴右侧，则 的值可以是__________________.（填一个值即可） （答案不唯一） 【解析】设二次函数的图象与轴交点的横坐标为， ，即一元 二次方程的根为，，由根与系数的关系得 ， 二次函数的图象与轴有一个交点在轴右侧， ， 异号，，故答案为 （答案不唯一）. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 5.【2023河南洛阳期末】二次函数的图象如图所示，若关于 的一元 二次方程有实数根，则 的最大值为___. 7 （第5题图） 【解析】由题意得一元二次方程 有实数根，则二次函数 的图象与直线有交点.由图象得，，解得 , 的最大值为7.故答案为7. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 知识点2 根据二次函数求方程的近似解 6.如图，点， 在二次函数 的图象上，则方程 的一个近似值可能是( ) D A.2.18 B.2.68 C. D.2.45 【解析】 图象上有两点分别为 ， ， 当时，；当时，， 当 时， ，只有选项D符合，故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 7.下表是若干组二次函数的自变量与函数值 的对应值： … 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 … … 0.36 0.13 … 则方程的一个近似根（精确到 ）是( ) B A.3.4 B.3.5 C.3.6 D.3.7 【解析】 二次函数， 对称轴为直线 .观察题中表格，得 方程的一个近似根（精确到）是， 另一个近似根为 ， 故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 13 知识点3 用二次函数的图象解不等式 8.【2024河南洛阳校级期末】如图是二次函数 的图象， 则不等式 的解集是( ) D A. B.或 C. D.或 【解析】由抛物线和轴的交点为，对称轴为直线，可知当 或 时，，故不等式的解集为或 .故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 14 9.如图，二次函数经过点，， . （1）求该二次函数的表达式. 【解】 二次函数的图象经过，， 设函数表达 式为.将点代入得，解得， 二次函 数的表达式为，即， 该二次函数的表达式为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 （2）利用图象的特点填空. ①当______时，方程 . 当___时，方程 . 0或2 1 【解析】由（1）知，由，解得 或2；由 ，解得 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 16 ②不等式 的解集为_______________；不等式 的解集为__________________. 或 且 【解析】从题中图象可知当时，的取值范围为或 ;当 时，的取值范围为且 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 17 刷易错 易错点 忽略“二次项系数等于0”的情况致错 10.若函数的图象与轴只有一个公共点，则实数 的值为 ____________. 或或0 【解析】当时， 关于的函数的图象与 轴只有一 个公共点，，解得或 ；当 时，，其图象与轴只有一个公共点.综上，的值为或 或0. 故答案为或 或0. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 18 易错警示 若函数的图象与轴有交点，则需分和 两种情况进行 讨论，不要因忽略 的情况而漏解. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 19 提升 （第1题图） 1.【2024河南许昌长葛期末，中】如图，若将抛物线 向上平移 个单位长度后，在 范围内与轴只有一个交点，则 的取值范围是 ( ) B A. B. C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 20 【解析】将抛物线向上平移 个单位长度后得到抛物线 ，对称轴为直线 在 范围内与轴只有一个交点， 当 在抛物线上时， ，解得；当在抛物线上时， ， 解得， .故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 21 思路分析 先根据平移得到抛物线的函数表达式，再分别求出抛物线经过，时 的值，进而可得其范围. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 22 2.【2023河北中考，中】已知二次函数 和*是常数 的图象与 轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两 个函数图象对称轴之间的距离为( ) A A.2 B. C.4 D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 23 【解析】， 其图象与轴交于点 ， ， 其图象与轴交于点 ， 这四个交点中每相邻两点间的距离相等，到与 的距 离相等，，解得,（舍去）； ，解 得，（舍去），的图象的对称轴为直线 ， 的图象的对称轴是轴， 这两个函数图象对称轴之间的距离为2.故 选A. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 24 3.【2023江苏苏州工业园区期末，中】若二次函数 ，， 为常数，的图象如图所示，则关于的不等式 的解集为_______________. 或 【解析】由图象可得或时，， 当 时，或，解得或 ，故 答案为或 . （第3题图） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 25 4.［中］对于实数，，定义运算“”：例如： ， 因为，所以.若函数，若关于 的方 程有三个解，则 的范围是___________. 【解析】 根据题意得，当，即时， ；当 ，即时， .如图所示,由图象 易得当时，方程有三个解.故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 26 5. 【2023四川成都调研，较难】已知抛物线 经过 ，两点，则关于的一元二次方程 的解是 _________________. ， 【解析】 抛物线经过,两点， 关于 的一元二 次方程的解为或 方程 可变形为 方程， 把方程 看作关 于的一元二次方程，或，， ，即关于 的一元二次方程的解为， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 27 6.［较难］二次函数 的图象如图所示，根据图象解答下列问题： 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 28 （1）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则 的取 值范围为______. 【解析】 抛物线的顶点的纵坐标为2， 抛物线与直线 只 有一个公共点， 当时，抛物线与直线 有两个公共点， 即方程有两个不相等的实数根， 满足条件的 的取值范围为 .故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 29 （2）若关于的一元二次方程在 的范围内有实数根， 则 的取值范围是 _______________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________. 【解】设抛物线的表达式为.把 代入， 得，，.把代入，得 .观察图 象可知，的取值范围是.故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 30 刷素养 走向重高 7.思想方法 数形结合［较难］某班“数学兴趣小组”对函数 的图象 和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 31 （1）自变量的取值范围是全体实数，与 的几组对应值列表如下： … 0 1 2 2.5 3 … … 3 1.25 0 0 1.25 3 … 其中， ___. 0 【解析】观察表格，根据对称性，可知 .故答案为0. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 32 （2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的 一部分，请画出该函数图象的另一部分. 【解】描点，画出函数图象的另一部分如图. （3）观察函数图象，写出一条函数的性质. 【解】当时，随 的增大而增大.（答案不唯一） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 33 （4）进一步探究函数图象发现： ①函数图象与轴有___个交点，所以对应的方程 有___个实数根； 3 3 【解析】函数图象与轴有3个交点，所以对应的方程 有3个实数根. 故答案为3，3. ②方程 有___________________________________________________ _________________________________________个实数根. 从图象看，直线与的图象有两个交点，即方程有2个实数根.故答案为2. ③当函数的图象与直线至少有3个交点时，求 的取值范围. 【解】从图象看，当函数的图象与直线至少有3个交点时， 的 取值范围是 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 34 关键点拨（4）①从图象上看，函数与 轴有3个交点，即可求解. ②方程的实数根的个数可看成函数的图象与直线 的交点的个数，根据图象即可求解. ③根据题意并结合图象可得 的取值范围. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 35 $$