第26章 26.3 课时1 抛物线形实际问题-【初中必刷题】2024-2025学年九年级下册数学同步课件(华东师大版)

数 学 九年级下册 HS 1 2 3 第26章 二次函数 4 26.3 实践与探索 课时1 抛物线形实际问题 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 实际问题中的抛物线形轨迹问题 1.【2024湖北武汉期末】从地面竖直向上抛出一小球，小球 的高度（单位：）与小球 运动时间（单位： ）之间的 关系式是 ，这个函数图象如图所示. 则小球从第到第 的运动路径长为( ) C A. B. C. D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 7 【解析】由题意得，第时小球达到最高点，此时小球距离地面 ，然后小球 开始竖直下落， 当时，，当 时， ， 从第到第 运动路径长为 .故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 2.【2023山东滨州中考】某广场要建一个圆形喷水池，计划在池中心位置竖直安 装一根顶部带有喷水头的水管，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心的水平距离也为 ，那么水 管的设计高度应为_____. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 9 【解析】由题意以水管底部为原点，以水管所在的直线为 轴建立平面直角坐标系， 可知点是抛物线的顶点， 设抛物线的表达式为 该抛物 线过点，，解得， 抛物线的表达式为 当时，， 水管 的设计高度应为.故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 10 一题多解 由抛物线的对称轴为直线可知抛物线与 轴的另外一个交点为 ，则可设函数的表达式为.将 代入，得 ，解得，所以抛物线的表达式为 ， 当时,， 水管的设计高度应为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 11 思路分析 解决抛物线形实际问题的思路：（1）建立适当的坐标系；（2）确定抛物线上点 的坐标；（3）求二次函数表达式；（4）运用函数的性质解决相关问题. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 12 3.【2024福建福州期末】小明和小亮玩打水仗，两 人相距7米，两人身高都是1.5米.以水平线为 轴， 小明所在的直线为 轴建立如图所示直角坐标系， 点 是小明水枪的喷口，小明的喷水枪喷出 的水的路线为抛物线 ，小亮 为了喷到小明，踮脚抬臂，使得喷枪的喷口坐标为 ，小亮水枪喷出的水的 路线为抛物线，且过点 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 13 （1）请通过计算说明小明能否喷到小亮； 【解】 抛物线过点， ，解 得， 抛物线.当 时， .， 小明能喷到小亮. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 14 （2）如果是抛物线 的顶点，请通过计算说明小亮能否喷到小明. 【解】 抛物线的顶点坐标为， 抛物线 抛 物线过点，，解得， 抛物线 的表达 式为.当 时， ， 小亮能喷到小明. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 15 思路分析 根据题意得到抛物线, 的表达式；将小亮、小明所站的点的横坐标代入各自的 抛物线表达式求出 的值，与他们的身高比较即可得解. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 16 知识点2 二次函数的实物几何模型问题 4.【2024山西吕梁期中】如图，从正面看,碗的轮廓近似一条抛物线，以顶点 为 原点建立平面直角坐标系，若， ，则此抛物线的表达式为( ) B A. B. C. D. 【解析】，，.设抛物线表达式为，则 ， 解得， 抛物线的表达式为 .故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 17 5.如图（1）所示，三孔桥横截面的三个 孔都呈抛物线形，左、右两个小孔形状、 大小都相同.正常水位时，大孔水面宽度 为，顶点距水面 （即 （1）求出大孔所在抛物线的表达式. 【解】由题意可得,, .设大孔所在抛物线的表达式为 .把点代入，得，解得， 大孔所在抛物 线的表达式为 . ），小孔顶点距水面（即 ），建立如图（2）所示的平面 直角坐标系. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 18 （2）现有一艘船高度是，宽度是 ，为了保证安全，船顶距离桥拱顶部至 少 ，则这艘船在正常水位时能否安全通过拱桥大孔？ 【解】当时， . ， 这艘船在正常水位时能安全通过拱桥大孔. （3）当水位上涨到刚好淹没小孔时，求出此时大孔的水面宽度 . 【解】由，可知点的纵坐标为4，代入 ，得 ，解得.由抛物线对称性可知点的坐标为， ，点 的坐标为，，.答：此时大孔的水面宽度为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 19 提升 1.【2024浙江湖州模拟，较难】某个农场有 一个花卉大棚，是利用部分墙体建造的.其横 截面顶部为抛物线形，大棚的一端固定在墙 体上，另一端固定在墙体 上，其横截面 有2根支架， ，相关数据如图（1）所示， 其中支架， ，这个大棚用了400根支架.为增加棚内空间， 农场主决定将图（1）中棚顶向上调整，支架总数不变，改变对应支架的长度，如 图（2）所示，调整后与 上升相同的高度，增加的支架单价为60元/米 （接口忽略不计），可支配经费共32 000元. 刷提升 返回目录 1 2 1 2 20 （1）分别以和所在的直线为轴和 轴建立平面直角坐标系. ①求出改造前大棚所在抛物线的函数表达式. 【解】建立如图（1）所示的平面直角坐标系.由题意可知 ，， .设改造前的抛物线表达式为 ，解得 改造前大棚所在抛物线的函数表达式为 . 刷提升 返回目录 1 2 1 2 21 ②当米时，求 的长度. 【解】如图（2），根据题意建立平面直角坐标系.由①知改造 前抛物线的表达式为， 对称轴为直线 .设改造后抛物线的表达式为 调整后与上升相同的高度， 对称轴为 直线，，.当时， ， ，，， 改造后的抛物线表达式为 刷提升 返回目录 1 2 1 2 22 .当时，改造前： ；改造 后：， （米）， 的长度为 米. 刷提升 返回目录 1 2 1 2 （2）只考虑经费情况下，求出 的最大值. 【解】建立与（1）相同的平面直角坐标系.设改造后抛物线的表达式为 ， 当时， ， 当时，， ， ， . 由题意可列不等式，解得 . ，要使最大，需使最小， 当 时， 的值最大，最大值为1.6米. 刷提升 返回目录 1 2 1 2 24 思路分析（2）根据已知条件表示出，的坐标，得到关于 的不等式，进而得 到 的最大值. 刷提升 返回目录 1 2 1 2 25 刷素养 走向重高 2.核心素养 模型观念［较难］如图（1），灌溉车沿 着平行于绿化带底部边线 的方向行驶，为绿化带浇 水.喷水口离地竖直高度为（单位： ）.如图 （2），可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平 面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横 截面抽象为矩形，其水平宽度 ，竖直 高度为 的长.下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左 平移得到，上边缘抛物线最高点 离喷水口的水平距 离为，高出喷水口，灌溉车到的距离为（单位： ）. 刷提升 返回目录 1 2 1 2 26 （1）若， . ①求上边缘抛物线的函数表达式，并求喷出水的最大射程 ； 【解】由题意得 是上边缘抛物线的顶点，设上边缘抛物线的函数表达式为 .又 抛物线过点，，， 上边缘 抛物线的函数表达式为.当时， ，解 得，（舍去），, 喷出水的最大射程为 . ②求下边缘抛物线与轴的正半轴交点 的坐标； 【解】 上边缘抛物线的对称轴为直线， 点的对称点为， 下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， 点的坐标为 . 刷提升 返回目录 1 2 1 2 27 ③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求 的取值范围. 【解】上边缘：， 点的纵坐标为， 令 ,则 ，解得.，. 当 时，随的增大而减小， 当时，要使，则. 当时，随的增大而增大，且时，， 当 时，要使，则.， 灌溉车行驶时喷出的水能 浇灌到整个绿化带时的最大值为 .下边缘：喷出的水能浇 灌到绿化带底部的条件是， 的最小值为2. 综上所述，的取值范围是 . 刷提升 返回目录 1 2 1 2 28 （2）若.要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出 的最小值. 【解】的最小值为.当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点 , 恰好分别在两条抛物线上.设点，， ， ，则有 ，解得， 点 的纵坐标为，，则，的最小值为 . 刷提升 返回目录 1 2 1 2 29 关键点拨（2）当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点， 恰好 分别在两条抛物线上，设出点， 坐标计算即可. 刷提升 返回目录 1 2 1 2 30 $$