第26章 26.2.3 求二次函数的表达式-【初中必刷题】2024-2025学年九年级下册数学同步课件(华东师大版)

数 学 九年级下册 HS 1 2 3 第26章 二次函数 4 26.2 二次函数的图象与性质 3.求二次函数的表达式 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 用“一般式”求二次函数表达式 1.已知二次函数的图象经过点，和 ，则该二次函数的表达式 为( ) D A. B. C. D. 【解析】设所求函数的表达式为.把， ， 分别代入，得解得 故所求二次函数的表达式为 .故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7 2.【2024四川宜宾校级期末】二次函数中的和 满足如 下表格： … 0 1 2 3 … … 0 0 … 则 的值为____. 【解析】将，，代入，得 解得故.将， 代入函数表达式，得 ，即的值为.故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 知识点2 用“顶点式”求二次函数表达式 3.【2024云南红河州期末】已知抛物线的顶点坐标是，且与 轴交于点 ，这个抛物线的表达式是( ) A A. B. C. D. 【解析】 抛物线的顶点坐标为 设抛物线的表达式为 .把代入得，解得， 这个抛物线 的表达式为 .故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 4.【2024江苏连云港期中】已知二次函数，自变量与函数 的对 应值如表： … 1 3 … … 2 4 2 … 则这个二次函数的表达式为_________________. 【解析】从表格看出，函数图象的对称轴为直线，顶点为 ，函数有最大 值4， 设，将代入得，解得 ， ，故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 5.已知抛物线的顶点为，且与抛物线 的形状、开口方向相同，则 这条抛物线的表达式为__________________. 【解析】设抛物线的表达式为.因为抛物线 与 抛物线的形状、开口方向相同，所以 ，所以所求抛物线的表达式 为.故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6. 【2023河南新乡调研】给出一个二次函数，它的部分性质如下：①当 时，随的增大而增大；当时，随 的增大而减小；②函数的最大值 为3；③函数图象过点 .根据以上信息，可知该二次函数的表达式为_________ _____________. 【解析】由①可得抛物线的对称轴为直线 ，且抛物线的开口向下，结合②函 数的最大值为3，可得顶点坐标为， 可设抛物线的表达式为 函数图象过点， 代入得，解得， 该二次函数的表达式为，故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 知识点3 用“交点式”求二次函数表达式 7.若抛物线经过，， 三点，则此抛物线的表达式为( ) C A. B. C. D. 【解析】设抛物线表达式为.把代入得 ， 解得，所以抛物线表达式为，即 .故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 13 刷有所得 一般地，当已知抛物线上三点时，常设其表达式为一般式，列三元一次方程组来 求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其表达式为顶点式来求解；当已知 抛物线与 轴的两个交点时，常设其表达式为交点式来求解. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 14 8.二次函数的图象如图所示，对称轴为直线 ，根据图中信息可求得该二次 函数的表达式为_________________. 【解析】由对称轴知，抛物线与轴的另外一个交点是 ，所以设二次函数表 达式为.将代入得,解得， 二次 函数的表达式为.故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 9.【2024重庆九龙坡区质检】已知一抛物线经过点，， . （1）求此抛物线的表达式； 【解】设抛物线的表达式为.把 代入得 ，解得， 抛物线的表达式为 . （2）利用配方法把所求抛物线转化为顶点式，并写出抛物线的顶点坐标和对称轴； 【解】， 抛物线的顶点坐标为 ，对称轴 为直线 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 16 （3）在此抛物线上有一点，使的面积等于 的面积的三分之一，求 点 的坐标. 【解】，.要使的面积等于 的面积的三分之一，则 点的纵坐标为.当点的纵坐标为1时，，解得， 点的坐标为或.当点的纵坐标为时， ， 解得， 点的坐标为.综上，点的坐标为或 或 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 17 刷易错 易错点 求二次函数表达式时忽略分类讨论而漏解 10.如果抛物线经过点和，且与轴交于点，若 ，则这条抛 物线的表达式是_______________________________. 或 【解析】设抛物线的表达式为，点坐标为 或 .把代入得，解得 ，此时抛物 线表达式为，即；把 代入 得，解得 ，此时抛物线表达式为 ，即.所以抛物线表达式为 或 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 18 易错警示 确定二次函数的表达式的方法是运用待定系数法，而解题的关键是确定点的坐标， 运用线段的长度确定坐标时注意分类讨论，避免漏解. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 19 提升 （第1题图） 1.【2023山东淄博质检，中】如图，二次函数 的图 象过点.它与反比例函数 的图象交于点 ，则这个二次函数的表达式为( ) A A. B. C. D. 【解析】将代入反比例函数表达式得，解得， . 将，代入二次函数表达式，得 解得 则二 次函数表达式为 .故选A. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 20 思路分析 将点坐标代入反比例函数表达式求出的值，确定出点的坐标，将点与点 的 坐标代入二次函数表达式求出与 的值，即可确定出二次函数表达式. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 21 （第2题图） 2.【2024河南三门峡期中，中】如图，抛物线 与轴交于点，与轴交于，两点， ，则该抛 物线的表达式是_______________. 【解析】当时，，， ， ，，，.将， 代入 ，得解得 该抛物 线的表达式是 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 22 3. 【2023吉林长春二道区模拟，中】如图，已知平面直角坐标系中的四个 点：，，，.二次函数 的图象经过其中 任意三个点，当 的值最大时，二次函数的表达式为_________________. （第3题图） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 23 【解析】由图象知，经过，，三点的二次函数图象开口向上， ；经过 ，，三点的二次函数图象开口向上，；经过，， 三点的二次函数 图象开口向下，；经过，，三点的二次函数图象开口向下， 经过，，三点的二次函数图象的开口小于经过，， 三点的二次函数图象 的开口， 图象经过，，时，表达式中的值最大.当抛物线 过，，三点时， 解得 的值最大时二次函数的表达式为.故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 24 （第4题图） 4.［中］如图，已知平行四边形顶点的坐标为 ，点 在轴上，且轴，过，， 三点的抛物线的顶点 坐标为 ，则抛物线的表达式是_________________. 【解析】 过，，三点的抛物线的顶点坐标为 ， 轴， 四边形 是平行四边形， 的坐标为， .设抛物线的表达式 为，代入得，解得， 抛物线的表达式 为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 25 5.【2023浙江杭州西湖区模拟，较难】已知二次函数 是常数， . （1）若 ，求该函数图象顶点坐标； 【解】当时，， 顶点 坐标为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 26 （2）若该二次函数图象经过，， 三个点中的一个点，求该二 次函数的表达式； 【解】当时，，因此该二次函数图象不经过点.当 时， ，因此该二次函数图象不经过点 ，故抛物线过点，代入得，解得， 该二次函数 的表达式为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 27 （3）若该二次函数图象经过，两点，当， 时， ，求 的取值范围. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 28 【解】 二次函数是常数，的图象与 轴交于点 ，， 函数图象的对称轴为直线.当， , 位于对称轴同侧,即位于对称轴左侧时,. , ,,,解得,舍去.当,, 位于 对称轴异侧时,，，解得 ，舍去.当 ,,位于对称轴同侧,即位于对称轴右侧时, . ，，，，.当, , 位于对称轴异侧时,,解得.综上, . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 29 刷素养 走向重高 6.核心素养 推理能力【2023上海中考，较难】在平面直角坐标 系中，已知直线与轴交于点，与轴交于点 ， 点在线段上，以点为顶点的抛物线 经 过点，点不与点 重合. （1）求点， 的坐标； 【解】在中，令,得，.令,得 ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 30 （2）求， 的值； 【解】设，， 设抛物线的表达式为 抛物线经过点， 将 代入得 ，， . 将代入，整理得， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 31 （3）平移抛物线至，点，分别平移至点，，连结，且 轴，如 果点在轴上，且新抛物线过点，求抛物线 的函数表达式. 【解】 点在线段上，点在轴上， 设 ， 点，分别平移至点，，且轴， 点 ， 点向下平移的距离相同，，解得 .由（2）知 ，， 抛物线的函数表达式为.将 代入可 得,， 抛物线的函数表达式为 或 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 32 $$