第26章 26.2.2 课时4 二次函数y=ax^2+bx+c的图象与性质-【初中必刷题】2024-2025学年九年级下册数学同步课件(华东师大版)

数 学 九年级下册 HS 1 2 3 第26章 二次函数 26.2 二次函数的图象与性质 4 2. 二次函数 的图象与性质 课时4 二次函数 的图象与性质 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 二次函数 的图象与性质 1.【2024四川广元剑阁期末】关于抛物线 ，下列说法错误的是 ( ) D A.开口向下 B.顶点坐标是 C.对称轴是直线 D.当时，随 的增大而增大 【解析】, 抛物线的开口向下，顶点坐标为 ,对称轴为直线，当时，随 的增大而减小，故A、B、C选项 说法正确，D选项说法错误，故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7 2.【2024河南周口期末】在二次函数的图象中，若随 的增大 而增大，则( ) B A. B. C. D. 【解析】， 二次函数图象开口向下.又 对称轴是直线 ， 当时，随 的增大而增大.故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8 3.【2024河北唐山迁安期末】老师设计 了接力游戏，用合作的方式完成“求抛 物线 的顶点坐标”，规 接力中，自己负责的一步出现错误的是( ) C A.只有甲 B.丙和丁 C.甲和丁 D.乙和丙 【解析】 ，可得 抛物线的顶点坐标为 .根据题中过程可知从甲开始出错，按照此步骤进行 下去到丁处时可得顶点应为 ，所以错误的是甲和丁.故选C. 则如下：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一 人，最后完成解答.过程如图所示： 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9 4.【2023陕西中考A卷】在平面直角坐标系中，二次函数 为常数的图象经过点,其对称轴在 轴左侧，则该 二次函数有( ) D A.最大值5 B.最大值 C.最小值5 D.最小值 【解析】由题意可得，解得， 二次函数 的图象的对称轴在轴左侧，， ， ， 该二次函数有最小值，最小值为 .故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10 思路分析 将代入二次函数表达式，求得的值，再利用对称轴在轴左侧，得出 ， 最后利用公式法求出二次函数的最值. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11 5.【2023山东泰安中考】二次函数 的最大值是___. 【解析】.， 当时， 取 得最大值，最大值为.故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12 6.【2023江苏镇江丹阳期末】若实数，满足 ，则代数式 的最小值是____. 【解析】设， ， ，此函数为 二次函数，其图象开口向上，有最小值，为，故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13 7.已知二次函数，当时，随 的增大而增大，则 的取值范围是_______. 【解析】， 抛物线开口向上，对称轴为直线 ， 当时，随的增大而增大，，解得 ， 故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 知识点2 二次函数 图象的平移 8.【2024上海崇明区质检】将函数 的图象向右平移2个单 位，下列结论中正确的是( ) A A.开口方向不变 B.顶点不变 C.对称轴不变 D.与 轴的交点不变 【解析】将函数的图象向右平移2个单位， 不变，开口 方向不变，故A正确；顶点的横坐标改变，纵坐标不变，故B错误；顶点的横坐标 改变，故对称轴改变，故C错误；与 轴的交点可能会改变，故D错误.故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 9.将二次函数，为常数 的图象先向左平移1个单位长度， 再向上平移2个单位长度后，得到的图象顶点为，则 的值为( ) B A.1 B.3 C.2 D.4 【解析】根据题意知，原二次函数图象的顶点坐标是，即 ，则 原二次函数的表达式为,故， ，所以 .故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 16 10.抛物线经过平移得到抛物线 ,平移方法是__________ __________________________. 向左平移1个单位，再向上平移1个单位 【解析】抛物线的顶点坐标为 平移后 抛物线的顶点坐标为, 平移方法为向左平移1个单位,再向上平移1 个单位. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 17 知识点3 二次函数的图象与，， 的关系 11.【2024浙江金华调研】已知，，若 ，则二 次函数 图象的顶点在( ) A A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】，， 当 时， 或， 对称轴为直线， ，即 ，， . 将代入表达式中得，， 当时， ，即顶点在第一象限.故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 18 12.【2023湖南娄底中考】已知二次函数 的图象 如图所示，给出下列结论： ；； 为任意实数；④若点和点 在该图象上，则 .其中正确的结论是( ) D A.①② B.①④ C.②③ D.②④ 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 19 【解析】 二次函数的图象开口向下，且与轴的交点在轴正半轴， ， 对称轴为直线，，， ，故①错 误； 抛物线的对称轴是直线，且时，， 当 时， ，，正确； 抛物线开口向下，对称轴为直线 ， 当时，有最大值， 当 时，函数值不大于 ，即，为任意实数 ， 错误；点到对称轴的距离为， 到对称轴的距离为 ， 抛物线开口向下，， 正确.故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 20 归纳总结 根据二次函数的图象确定，， 的关系的几个关键点： （1）开口方向；（2）对称轴；（3）抛物线与坐标轴的交点；（4）函数的最大 （最小）值；（5）自变量取某些特殊值时的函数值. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 21 刷易错 易错点 忽略隐含条件致错 13.【2023重庆涪陵区调研】若二次函数的最小值为2，则 的值是___. 4 【解析】 抛物线的对称轴为直线， 当 时，有最小值，，整理可得 ， 解得或，经检验，均是原方程的解.又 函数有最小值， ， .故答案为4. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 22 易错警示 本题容易因忽略函数有最小值时， 这一隐含条件致错. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 23 提升 1.［中］若二次函数 的图象如图所示，则一次函数 与反比例函数 在同一坐标系内的大致图象为( ) （第1题图） C A. B. C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 24 【解析】 抛物线开口向上， 抛物线对称轴在轴左侧， ， 抛物线与轴的交点在轴下方，， 直线 经过第一、 二、三象限，反比例函数 的图象在第一、三象限，故选C. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 25 （第2题图） 2.［中］如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过平移得 到抛物线 ，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分 的面积为( ) B A.2 B.4 C.8 D.16 【解析】如图，过点C作轴. 抛物线 ， 顶点坐标为， 易得其对称轴 与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为 ，故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 26 关键点拨 根据抛物线表达式计算出它的顶点坐标，过点作轴于点 ，根据抛物线的 对称性可知阴影部分的面积等于矩形 的面积，然后求解即可. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 27 3.【2023湖北仙桃中考，中】抛物线与 轴相交于点 ，.下列结论：；； ；④若 点，在抛物线上，且，则 .其中正确的结论有 ( ) B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 28 【解析】①由题意得 , ，，，，，故①错误 抛物 线与轴相交于点，, 方程 有两个不相等的实数根， ，故②正确 ，，，故③正确 抛物线 与轴相交于点，， 抛物线的对称轴为直 线 点，在抛物线上，且， 或 解得 ，故④错误.故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 29 4.【2024上海普陀区期末，中】如图，抛物线的顶点为， 为对称 轴上一点，如果，那么点 的坐标是_______. ， （第4题图） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 30 【解析】如图，设抛物线的对称轴与轴交于点.由题意，设 抛 物线，，， ， 在中， ， ，，，， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 31 5.【2023湖南岳阳期中，较难】将二次函数 配成顶点 式后，发现其图象的顶点的纵坐标比横坐标大1，如图，在矩形 中，点 ，点，则二次函数的图象与矩形 有交点时， 的取值范围是_ _____________. （第5题图） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 32 【解析】将配成顶点式得 ，此 二次函数图象的顶点坐标是， 图象开口向上，开口大小一 定， 此二次函数图象的顶点在直线 上运动.如图（1），当二次函数图 象与矩形第一次相交时，二次函数图象经过点，此时 取最小值.将 代入得 ，解得 ，（舍去），则的最小值是 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 33 如图（2），当二次函数图象与矩形最后一次相交时，二次函数图象的顶点在矩形 与轴的交点处，此时取最大值.将代入 得 ，解得，（舍去）， ，故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 34 6.【2024四川绵阳期末，中】已知二次函数 的 图象经过点 . （1）求 的值. 【解】 二次函数的图象经过点 ， ，解得，的值为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 35 （2）直接写出随的增大而减小的 的取值范围. 【解】由（1）可知抛物线表达式为， 抛 物线开口向下，对称轴为直线， 当时，随 的增大而减小. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 36 （3）如图，设抛物线的顶点为，与轴相交于，连结 ， ，.求 . 【解】如图，作轴于， 于 ， ， ，，，， , ,,, . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 37 刷素养 走向重高 7.思想方法 数形结合【2023河南鹤壁期末，较难】如图，抛物线 ，是常数与轴交于，两点，与 轴交于点 ，对称轴为直线 . （1）求抛物线的函数表达式； 【解】 抛物线与轴交于点， 当时， ， 抛物线的对称轴为直线， ， ， 抛物线的函数表达式为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 38 （2）点在抛物线的对称轴上，若线段绕点逆时针旋转 后，点 的对应点 恰好也落在此抛物线上，请求出点 的坐标. 【解】由（1）知抛物线的函数表达式为，令 ，得 ，解得，，， .由题意知，抛物 线的对称轴为直线，点在抛物线的对称轴上， 设，对称轴交 轴于 点，过作 直线于点，如图.当在轴上方时，如图（1）， 线段绕点逆时针旋转 后，点的对应点为， ， ， .又 ， .在和 中， 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 39 ..， ， ， .把代入 ，得 ，解得或（舍去）， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 40 当在轴下方时，如图（2），同理可证.. ， ，，.把 代入 ，得，解得 （舍去）或 ，.综上可知，点的坐标为或 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 41 $$