第26章 26.2.2 课时3 二次函数y=a(x-h)^2_k的图象与性质-【初中必刷题】2024-2025学年九年级下册数学同步课件(华东师大版)

数 学 九年级下册 HS 1 2 3 第26章 二次函数 26.2 二次函数的图象与性质 4 2. 二次函数 的图象与性质 课时3 二次函数 的图象与性质 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 二次函数 的图象与性质 1.关于二次函数 ，下列说法正确的是( ) D A.函数图象的开口向下 B.函数图象的顶点坐标是 C.该函数有最大值，最大值是5 D.当时，随 的增大而增大 【解析】中，， 函数图象开口向上，故A选项错误；函 数图象的顶点坐标是，故B选项错误；函数图象开口向上， 该函数有最小值， 为5，故C选项错误； 函数图象开口向上，对称轴为直线， 当时， 随的增大而减小；当时，随 的增大而增大，故D选项正确.故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7 2.二次函数 的图象如图所示，则一次函数 的图象经过( ) D A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限 C.第一、三、四象限 D.第二、三、四象限 【解析】 抛物线的顶点坐标为 ，且顶点在第四象限， ，， 直线 经过第二、三、四象限，故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8 关键点拨 由抛物线顶点式可得抛物线顶点坐标，由图象可得， 的符号，进而判断出直线 所经过的象限. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9 3.已知点，，都在抛物线上，点在点 左侧， 下列选项正确的是( ) D A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 【解析】如图， 点，， 都在抛物线 上，点A在点B左侧， 若 ，则 ；若，则 ．故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10 4.【2024江苏扬州期末】若抛物线的对称轴是直线 ， 则它的顶点坐标是________. 【解析】 抛物线的对称轴是直线，， 抛物 线表达式为， 顶点坐标为.故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11 5.【2023河南鹤壁山城区期中】已知二次函数，当 时， 随的增大而减小，则 的取值范围为________. 【解析】， 二次函数图象开口向下， 在对称轴的右边随 的增大而 减小， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12 易错警示 本题易误以为当对称轴直线与直线重合时，才满足“当时， 随的增大而减小”，导致出现错误答案 .解答本题时，需结合函数图象及 二次函数的增减性. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6.【2023重庆沙坪坝区调研】如图，两条抛物线关于 轴对称，其中一条抛物线的 表达式是 ，则另一条抛物线的表达式是___________________. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 【解析】 两条抛物线关于轴对称， 这两条抛物线的开口方向和大小相同. 抛物线的顶点坐标是， 另一条抛物线的顶点坐标为 ， 另一条抛物线的表达式是 .故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7.【2024四川眉山校级质检】已知抛物线 . （1）写出抛物线的开口方向及对称轴； 【解】 抛物线中，， 抛物线开口向上，对称轴是 直线 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 16 （2）设抛物线与轴的交点为，与轴的交点为，求直线 的表达式. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 17 【解】令，则，，.令，则或， 或.若，设直线的表达式为，则 解得 此时直线的表达式为；若，设直线 的表达式为 ，则解得此时直线 的表达式为 .综上，直线的表达式为或 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 知识点2 二次函数 图象的平移 8.【2024湖南长沙期末】将二次函数 的图象向右平移2个单位，再向下平 移3个单位，得到的函数图象的表达式是( ) C A. B. C. D. 【解析】由“左加右减”的原则可知，将二次函数 的图象向右平移2个单 位所得函数图象的表达式为 .由“上加下减”的原则可知，将二次函 数 的图象向下平移3个单位所得函数图象的表达式为 .故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 19 9.【2024河南周口期末】怎么样才能由 的图象经过平移得到函数 的图象呢？ 小亮说：“先向左平移6个单位长度，再向上平移7个单位长度.” 小丽说：“先向上平移7个单位长度，再向右平移6个单位长度.” 对于上述两种说法，正确的是( ) B A.小亮对 B.小丽对 C.小亮、小丽都对 D.小亮、小丽都不对 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 20 【解析】将 的图象先向左平移6个单位长度，再向上平移7个单位长度后得 到抛物线的表达式为，故小亮的说法错误.将 的图象先向 上平移7个单位长度，再向右平移6个单位长度后得到抛物线的表达式为 ，故小丽的说法正确.故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 21 10.把抛物线向左平移2个单位，再向上平移1个单位，再绕原点旋转 所得的抛物线的表达式是( ) B A. B. C. D. 【解析】抛物线的顶点坐标为 把抛物线 向左平移2个单位， 再向上平移1个单位， 平移后的抛物线的顶点坐标为 再绕原点旋转 ， 旋转后的抛物线的顶点坐标为， 所得抛物线的表达式为 .故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 22 11.【2023黑龙江牡丹江中考】将抛物线 向下平移1个单位长度，再向 右平移______个单位长度后，得到的新抛物线经过原点. 2或4 【解析】抛物线向下平移1个单位长度的表达式为 .设 抛物线向右平移 个单位长度后，得到的新抛物线经过原点，则新抛物线的表达式 为 新抛物线经过原点， 当时， ， ，解得 或4.故答案为2或4. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 23 归纳总结 根据函数图象平移经过某个点，设出平移的长度，将该点坐标代入函数表达式运 用待定系数法求解. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 24 刷易错 易错点 根据二次函数的表达式确定抛物线的平移方式时出现错误 12.抛物线经过平移后得到抛物线 ，其平移的方法是______ ______________________________. 向右平移1个单位，再向上平移2个单位 【解析】 抛物线的顶点坐标为，抛物线 的顶点坐标 为， 将抛物线 向右平移1个单位，再向上平移2个单位，可得到抛物 线 .故答案为向右平移1个单位，再向上平移2个单位. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 25 易错警示 确定抛物线的平移方式可以通过平移前后抛物线顶点坐标的变化来确定，以免出错. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 26 提升 1.【2024河北唐山乐亭期末，中】无论实数为何值，关于 的二次函数 图象的顶点一定在( ) A A.直线上 B.轴上 C.直线上 D. 轴上 【解析】由题意可知二次函数图象的顶点坐标为， 无论为何值，其图象的顶点都在直线 上，故选A. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 27 2.【浙江宁波中考，中】点，都在二次函数 的图象上.若，则 的取值范围为( ) B A. B. C. D. 【解析】 点，都在二次函数 的图象上， ， ， ，，即 ， ，故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 28 （第3题图） 3.【2023吉林长春校级期中，较难】如图，在平面直角坐标系 中，为坐标原点，正方形的顶点在 轴的负半轴上，点 在轴的正半轴上，经过点， 的抛物线 的顶点为，若 为等腰直角三角 形，则 的值为( ) B A.1 B. C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 29 【解析】 抛物线的顶点为，四边形 是正方形且 抛物线经过点A，B，为等腰直角三角形， 抛物线的对称轴是直线 ， 且A，B关于直线对称，.过作轴于，交于 为 等腰直角三角形， 四边形 是正方形， ，，，.把A， 的坐 标代入得解得 ，故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 30 （第6题图） 4.［中］当时，函数 和 的值都随着的增大而减小，则 的最小值 为___. 4 【解析】， 抛物线 开口向下，对称轴 为直线， 抛物线 开口向下，对 称轴为直线 当时，，都随 的增大而减小， ， 的最小值为4.故答案为4. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 31 5.【2023四川自贡调研，中】已知点， 在二次函数 的图象上，且，，则顶点到 的距离为 _____. 4.5 【解析】由题意可知，二次函数的顶点坐标为 ，对称轴 为直线，，两点关于直线对称， .又 ， 联立方程，得 解得 当 时， ， 顶点到的距离为 ， 故答案为4.5. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 32 6.【2024四川内江质检，中】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与交于点.过点作 轴的平行线，分别 交两条抛物线于点，（点在点左侧），则线段 的长为____. 10 【解析】设抛物线的对称轴与线段 交于点 ，抛物线的对称轴与线段交于点 ， 如图所示.由抛物线的对称性可知， ， .故答案为10. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 33 7.【2023四川成都质检，中】已知抛物线经过点 . （1）求抛物线 的函数表达式. 【解】 抛物线经过点， ， ， 抛物线的函数表达式为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 34 （2）将抛物线向上平移个单位得到抛物线.若抛物线 的顶点关于 坐标原点的对称点在抛物线上，求 的值. 【解】 抛物线， 抛物线的顶点为 将抛物线 向上平移个单位得到抛物线， 抛物线的顶点为 ，而 关于原点的对称点为，把代入 ， 得， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 35 （3）把抛物线向右平移个单位得到抛物线，若点， 在抛物线上，且，求 的取值范围. 【解】 抛物线向右平移个单位得到抛物线， 抛物线 的表达式 为 点，在抛物线 上， ，， ， 解得，的取值范围为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 36 刷素养 走向重高 8.思想方法 数形结合【2023湖北汉川期末，较难】如图，抛物线 的顶点为，对称轴与轴交于点，当以 为对 角线的正方形的另外两个顶点， 恰好在抛物线上时，我们把这样的抛物 线称为“美丽抛物线”，正方形 为它的内接正方形. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 37 （1）当抛物线是“美丽抛物线”时， ____； 【解析】抛物线如图（1）所示.， 顶 点的坐标为，对称轴与轴的交点的坐标为 ，则 四边形为正方形，连结，则且平分 ， 则点的坐标为 抛物线是“美丽抛物线”， 点在抛物线上，将点的坐标代入，得 ， 解得.故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 38 （2）当抛物线是“美丽抛物线”时， ___； 4 【解析】抛物线 如图（2）所示. ， 顶点的坐标为，点 的坐标为 .连结.同理可得点的坐标为 . 是“美丽抛物线”， 将点 的坐标代入 ，得,解得或 （舍去）.故答 案为4. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 39 （3）若抛物线是“美丽抛物线”，求， 之间的数量关系. 【解】， 顶点的坐标为，点的坐标为 .同理， 点的坐标为，将点的坐标代入 ，得 , . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 40 $$