中考真题分类集训13 相似-【初中必刷题】2024-2025学年九年级下册数学同步课件(沪科版)

数 学 九年级下册 HK 1 2 3 第二部分 中考真题分类集训 4 （十三） 相似 5 刷考点 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 考点 考点1 成比例线段及比例的性质 1.【2023广东中考】我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献.优选法 中有一种0.618法应用了( ) A A.黄金分割数 B.平均数 C.众数 D.中位数 【解析】黄金分割数为 ，所以0.618法应用了黄金分割数，故选A. 刷考点 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7 2.【2023浙江丽水中考】小慧同学在学习了九年级上册“4.1 比例线段”3节课后， 发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种 特殊化的学习过程． 【解】2 【解析】当时，.理由如下：，， ， ，，， ．故答案为2． 刷考点 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8 关键点拨 关键是由，，得到 ． 刷考点 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9 考点2 平行线分线段成比例 （第3题图） 3.【2023吉林中考】如图，在中，点在边上，过点 作，交于点．若，，则 的值是 ( ) A A. B. C. D. 【解析】， ．故选A． 刷考点 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10 （第4题图） 4.【2023北京中考】如图，直线,交于点, .若 ,,,则 的值为__. 【解析】，，， ， ,,， ， ,故答案为 . 刷考点 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11 考点3 相似三角形的性质与判定 5.【2023山东东营中考】如图，为等边三角形，点，分别在边， 上， ．若，，则 的长为( ) C （第5题图） A.1.8 B.2.4 C.3 D.3.2 刷考点 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12 模型总结 一线三等角相似模型 1.已知:如图（1），点在线段上，，则 . 图（1） 刷考点 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13 图（2） 2.已知:如图（2），点在的延长线上， ，则 . 刷考点 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14 【解析】是等边三角形，， ， , ， ，，.， 设 ，则 ，，，解得，即 的长为3.故选C. 刷考点 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15 6.【2024山东威海中考】如图，在中，对角线，交于点，点 在 上，点在上，连接，，，交于点 ．下列结论错误的是 ( ) D （第6题图） A.若，则 B.若，，，则 C.若，，则 D.若，，则 刷考点 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 【解析】 四边形是平行四边形，，.若 ，则 .又，，， ， 故A选项正确.若，，，则是 的平分线， ，， ， ， 四边形是菱形，.在和 中， ，.又， , ，故B选项正确.若，则 ， ，，，， 四边形 刷考点 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 17 是菱形，.又，， 垂直平分 ，，，故C选项正确.若，则四边形 是菱形，.由无法得出， 无法证明 ，故D选 项不正确.故选D． 刷考点 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7.【2023广东中考】边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边 在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为____. 15 （第7题图） 刷考点 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 19 【解析】如图.由题意可知, , ,, ， ,,, , ,,,, . 故答案为15. 刷考点 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 20 关键点拨 根据全等三角形和相似三角形的性质，求出梯形的上底和下底，再用面积公式计 算即可． 刷考点 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 21 8.【2024江苏苏州中考】如图，中， ，， ，点 ，分别在，边上，，连接，将沿 翻折，得到 ，连接，.若的面积是面积的2倍，则 ___. （第8题图） 刷考点 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 22 【解析】， 设，则 沿翻折，得到，， .如 图，过作于，设与相交于 ，则 .又， ， .， ， ， ， ，，则， 是等腰直角三 角形， ，则 ， .在和 中， 刷考点 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 23 ， ，， ， 的面积是 面积的2倍，，则 ，解得 ，（舍去），即，故答案为 . 刷考点 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 关键点拨 本题考查了相似三角形的判定与性质、折叠性质、等腰直角三角形的判定与性质、 全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，是综合性较强的填空压轴 题，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 刷考点 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 25 9.【2024四川成都中考】如图，在 中， ，为斜边上一点，以为直径作 ，交 于，两点，连接，， . （1）求证： ； 【证明】是 的直径， ， ， ， ，， . 刷考点 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 26 （2）若，，，求的长和 的直径. 【解】连接，过作于 ，如图. ，，， ， ，即， ， ， ， ，，， ， .由（1）知 ， ， ，即 刷考点 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 27 ，， ， . ， ，，即，.是 的直径， ， ， ，，即， ， ，的直径为 . 刷考点 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答：的长为，的直径为 . 刷考点 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 29 考点4 位似图形 （第10题图） 10.【2023辽宁朝阳中考】如图，在平面直角坐标系中，已知 点，，以原点 为位似中心，相似比为2，把 放大，则点的对应点 的坐标是( ) D A. B.或 C. D.或 【解析】 以原点为位似中心，相似比为2，把 放大，点A的坐标为 ， 点A的对应点的坐标为或，即 或 ，故选D. 刷考点 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 30 （第11题图） 11.【2023吉林长春中考】如图，和是以点 为位似中心的位似图形，点在线段上．若 ， 则与 的周长之比为_____． 【解析】， 和 是以点为位似中心的位似图形， ， ， ， ，与的周长之比为 ，故答案为 ． 刷考点 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 31 关键点拨 本题考查位似变换的性质，掌握位似图形的对应边平行是解题的关键. 刷考点 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 32 考点5 相似三角形的应用 12.【2023四川南充中考】如图，数学活动课上，为测量学 校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后 退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在 B A. B. C. D. 镜子中看到旗杆的顶端.已知小菲的眼睛离地面高度为 ，同时量得小菲与镜 子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为 ，则旗杆高度为( ) 刷考点 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 33 【解析】如图，由题意得，，，. ， ， . 由题意得 ， ，，即， ，故选B. 刷考点 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 34 13. 传统文化【2023山东潍坊中考】在《数书九章》 （宋·秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所示， 表示塔的高度，表示竹竿顶端到地面的高度， 表示人 眼到地面的高度，，，在同一平面内，点，， 在 18.2 一条水平直线上．已知米，米，米， 米，人从点 远眺塔顶，视线恰好经过竹竿的顶端， 可求出塔的高度．根据以上信息，塔 的高度为______米． 刷考点 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 35 【解析】过点作，垂足为，延长交于点.由题意得 ， 米，米， 米， 米， （米）. ，，，， 米，（米）， 塔的高度为18.2米，故答案 为18.2． 刷考点 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 36 关键点拨 根据已知条件结合图形添加适当的辅助线，熟练应用相似三角形的判定和性质是 解题的关键. 刷考点 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 37 14.【2024四川自贡中考】为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组 运用了多种测量方法. （1）如图（1），小张在测量时发现，自己在操场上的影长 恰好等于自己的身 高.此时，小组同学测得旗杆的影长为 ，据此可得旗杆高度为 _______________________________________________________________________ _____________________________________ . 【解】由平行投影的性质可知，. 影长 恰好等于小张自己的身高 ， .故答案为11.3. 刷考点 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 38 （2）如图（2），小李站在操场上点处，前面水平放置镜面 ， 并通过镜面观测到旗杆顶部 .小组同学测得小李的眼睛距地面高 度，小李到镜面距离 ，镜面到旗杆的距离 .求旗杆高度. 【解】如图，由反射定律易得 .又 ，， ，即 ，解得， 旗杆高度为 . 刷考点 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 39 （3）小王所在小组采用图（3）的方法测量，结果误差较大.在更新测量工具，优 化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量 了江姐故里广场雕塑的高度.方法如下： 刷考点 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 40 如图（4），在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面 ， 两点始终处于同一水平线上. 刷考点 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 41 如图（5），在支架上端处，用细线系小重物，标高线 始终垂直于水平地面. 刷考点 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 42 如图（6），在江姐故里广场上 点处，同学们用注 水管确定与雕塑底部处于同一水平线的， 两点， 并标记观测视线与标高线交点 ，测得标高 ，.将观测点后移到 处.采用同样方法，测得， . 求雕塑高度（结果精确到 ）. 刷考点 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 43 【解】， ，， . 设，，则，，同理可得 ， ，，解得 . 经检验，是原方程的解， 雕塑高度约为 . 刷考点 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 44 思路分析 （3）根据相似三角形的判定定理及性质得到，同理可得 ,设 ， ，代入等式求解即可. 刷考点 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 45 考点6 相似形的综合探究 15.【2024广东中考】【知识技能】 （1）如图（1），在中，是的中位线.连接 ， 将绕点按逆时针方向旋转，得到.当点 的对应 点与点重合时，求证： . 【证明】是 的中位线， 且 . 又绕点按逆时针方向旋转得到，点 的对应点 与点重合，， . 刷考点 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 46 【数学理解】 （2）如图（2），在中，是的中位线.连接 ，将 绕点按逆时针方向旋转，得到，连接，，作 的中线 .求证： . 刷考点 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 47 【证明】由题意可知，， ， .作于点 ，如图（1）所示，则 且 ， ， ， ，是的中线， ， ， ，， ， . 刷考点 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 48 【拓展探索】 （3）如图（3），在中，，点在上，.过点 作 ，垂足为，，.在四边形内是否存在点 ，使得 ？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由. 刷考点 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 49 【解】在四边形内，存在点,使得. 证明：， ， 在 中， ， .如图（2），过点 作 于点， .又 ， ，，即 ， ，.，， 点 是的中点，是的垂直平分线. 过点作，交于点 ，连接 刷考点 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 50 ，，， ， ， ， ，即， . 过点作于点，则四边形是矩形， ， ，， 点是的中点，垂直平分 ， ， ， ， 刷考点 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 .又 ， ， ， ，即 ， ， 当点与点重合时，满足 . 刷考点 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 $$