第24章 24.5 三角形的内切圆-【初中必刷题】2024-2025学年九年级下册数学同步课件(沪科版)

数 学 九年级下册 HK 1 2 3 第一部分 教材同步分层练 4 第24章 圆 24.5 三角形的内切圆 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 三角形的内切圆 1.如图，有一块三角形材料，请你画出一个圆，使其与 的各边都相切. 【解】如图所示， 即为所求作的圆. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 7 知识点2 三角形内心的性质 2.如图，是的内切圆，则点是 的( ) B A.三条边的垂直平分线的交点 B.三条角平分线的交点 C.三条中线的交点 D.三条高的交点 【解析】是的内切圆， 点到三边的距离相等， 点 是 的三条角平分线的交点． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 8 （第3题图） 3.【2024安徽潜山期末】如图，已知是 的内心， ，为平面上一点，点恰好又是 的外心， 则 的度数为( ) C A. B. C. D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 【解析】连接，，如图.是的内心，平分 ， 平分，，， 点是 的外心， .故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 10 思路分析 连接， ，利用三角形内心的性质和三角形内角和定理，得 ，结合点是 的外心，根据圆周角定理得到 ，即可得解． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 11 （第4题图） 4.如图，是一张三角形纸片， 是它的内切圆，点 ，是其中的两个切点.已知 ，小明准备用剪刀沿 着与相切的一条直线剪下一块三角形 ，则剪 下的 的周长是( ) B A. B. C. D. 【解析】如图所示,设是直线与的切点. 是一张三角形 纸片，是它的内切圆，点D，是其中的两个切点， ， ，，， 的周长为 ． 故选B． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 12 5.【2024安徽亳州校级期末】如图，已知是的内切圆，切点分别为 ， ， . （第5题图） 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 13 （1）若 ， ，，则 的半径为_______； 图（1） 【解析】如图（1），连接，.在中, ， ，，， 为的内切圆，切点分别为，，， ， ，，设，则 ， ， ， .易得四边形 为正方形， ,的半径为.故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 14 （2）若的半径为3，的面积为45，且，则 ___. 6 图（2） 【解析】如图（2），连接，，，，， 是 的内切圆，切点分别为，，，， ， ，，， 的面积为45， 的半径为3，， ， .故答案为6. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 15 6.【2024山东烟台莱州期末】如图，等腰中，， ， ，点，分别是的内心和外心，则 __. （第6题图） 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 16 【解析】连接，如图.设的内切圆的半径为 ，外接圆 的半径为，, ， ， ，平分， 点 ，在上.在 中， 点是的外心， ， .在中，，解得 ， . 点是的内心， 点到 各边的距离都等于 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 17 ， .又 ，，解得，即 ， .故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 7.【2023江苏南京建邺区期末】如图， 中， ，，，是边 上的高， ，分别是，的内切圆，则 与 的面积比为______. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 19 【解析】在中， ，， ， ， .在 中，由勾股定理得，， .设 的半径为，的半径为，则 ， 即，，同理，与 的面积比为 ，故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 20 关键点拨 根据勾股定理求出的长，再根据三角形面积公式求出的长，进而可得 ， 的长，由三角形内切圆圆心到三条边的距离相等以及三角形的面积公式求出两 个圆的半径，再求出面积比即可． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 21 8.如图，在中，点是 的内心（三角形三条角平分线的交 点），连接并延长与的外接圆交于点，连接， . （1）求证： ； 【证明】连接，如图所示. 点是的内心， 平分 ，平分， ， ， ， ，， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 22 （2）若 ，，求 的长. 【解】过点作于，如图所示.由（1）得， ， ，. ， ， ， ， ， ． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 23 提升 1.【2023江苏南京秦淮区期末，中】以下列长度为三边长的三角形中，其内切圆 半径最小的是( ) B A.8，8，8 B.4，10，10 C.5，9，10 D.6，8，10 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 24 【解析】根据题意知，四个选项中的三角形的周长都 等于24.如图（1），选项A中的三角形面积 ；如图（2），选项B 中的三角形面积 ；如图（3），在选项C的三 角形中，设，则 .由勾股定理得， ， 解得 ，， 选项C中的 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 25 三角形面积 ； 如图 （4），选项D中的三角形面积 . ， 选项B中的三角形面积最小，即内切圆半径最 小.故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 思路分析 由于三角形面积 周长×内切圆半径，而四个选项中的三角形的周长都等于 24，所以要比较内切圆半径的大小，只需要比较三角形面积的大小即可. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 27 （第2题图） 2.【2024安徽滁州质检，中】如图，是等腰 的外接 圆，为上一点，为的内心，过作 ，垂足为 ，若，则 的值为( ) A A.4 B. C.2 D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 28 【解析】如图，过作于，于，连接 ，在 上截取，连接 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形，是 的内 心， ， 四边形 是正方形， ，，， ， 同理可得 ， ， .故选A. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 29 （第3题图） 3.【2024安徽合肥庐阳区校级期末，较难】如图，在 中， 且，点为 的内心， 点为边中点，将绕点顺时针旋转 得到线段 ， 连接，则 长的最小值为( ) A A. B. C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 30 【解析】如图，在的下方作等腰直角三角形 ，使得 ，，连接，，过点作 交 的延长线于点 点是的内心， ， ， ， ， ， 点在以为圆心， 为半径的圆上运动. ，， ， ， ， ， 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 31 ， ， ，， 的最小值为 .故选A. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 思路分析 在的下方作等腰直角三角形，使得 ，．连接 ， ，过点作交的延长线于点，判断出点的运动轨迹，求出 ， 的长，即可得出结论． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 33 4.【2024安徽蚌埠期末，中】如图，点是外接圆的圆心，点是 的 内心，连接，.若 ，则 的度数为____. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 34 【解析】如图，连接 点是的内心，平分 ， 点是 外接圆的圆心， ， ，故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 35 5.【2024安徽六安金安区校级质检，较难】我们知道，三角形三个内角平分线的 交点叫做三角形的内心，已知点为 的内心. （1）如图（1），连接并延长交于点，若，求 的长. 图（1） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 36 【解】如图（1），过作于.设 . 图（1） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 37 ，平分，， . 在中， . ， ，， ， ，， . 在中，，， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 38 （2）如图（2），过点作直线交于点，交于点 . 图（2） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 39 ①若，求证： . 【证明】如图（2），连接， . 图（2） 是的内心，， . 在和中， 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 40 ，，， . 设 ， ， . ， ， ， ，， . ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 ②如图（3），交于点，若 ，，求 的值. 图（3） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 42 图（3） 【解】如图（3）,过点作交的延长线于为 的内心， ， . , ， ， ，，易得 ，,， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 43 刷素养 走向重高 6.核心素养 推理能力［难］如图，为半圆的直径， 是半圆弧上一点，正方形 的一边在直径上，另一边过的内切圆圆心，且点 在半圆弧上. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 44 （1）若设的三边为，，（其中对边为，对边为，对边为 ）， 试用含，，的代数式表示， 的长. 【解】如图，设圆与切于点，与切于点.由切线长定理可知 ， ， ， ， ， ． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 45 （2）证明：正方形的面积和 的面积相等. 【证明】如图，连接， ． 是直径， ，， . 四边形是正方形，，易证 , 则，即， 正方形 的面积和 的面积相等． 综合训练 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 46 $$