第24章 24.2 课时3 圆心角、弧、弦、弦心距间关系-【初中必刷题】2024-2025学年九年级下册数学同步课件(沪科版)

数 学 九年级下册 HK 1 2 3 第一部分 教材同步分层练 第24章 圆 4 24.2 圆的基本性质 课时3 圆心角、弧、弦、弦心距间关系 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 圆心角的定义及相关计算 1.下列图形中的角是圆心角的是( ) B A. B. C. D. 【解析】顶点在圆心的角叫做圆心角，四个选项的图中只有B选项符合要求． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 2.【2024湖北黄石大冶期中】如图，在半径为1的 中有三条弦，它们所对的圆 心角分别为 ， ， ，那么以这三条弦为边长的三角形的面积是_ __. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 【解析】如图，连接，，，，，，作 于 ， .由题意得， ， ， ， 是等边三 角形，是等腰直角三角形， ， . ， ， ，， .由勾 股定理得，， 三条弦组成的三 角形的三条边的长为1，，.， 该三 角形是以1，为直角边的直角三角形， 面积为 ，故答 案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 知识点2 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 3.【2023安徽滁州期末】下列说法正确的是( ) B A.相等的圆心角所对的弧相等 B.在同圆中，等弧所对的圆心角相等 C.在同圆中，相等的弦所对的弧相等 D.相等的弦所对的弧相等 【解析】A选项，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，原说法错误，不 符合题意选项，在同圆中，等弧所对的圆心角相等，说法正确，符合题意 、D 选项，在同圆或等圆中，相等的弦所对的优弧（或劣弧）相等，原说法错误，不 符合题意.故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （第4题图） 4.如图，，是的两条弦，于，于 . 如果 ，那么下列判断中错误的是( ) D A. B. C. D. 【解析】A选项，， ，故本选项正确；B选 项，，，故本选项正确；C选项， ， ，，，故本选项正确；D选项， 不一定等于 ，故本选项错误.故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 5.【2023安徽合肥庐阳区校级一模】如图，在中， ， 截三边 所得的弦长，则_____ . 125 （第5题图） 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 【解析】过点作于，于，于 ， 如图.，， 平分 ，平分， ， ， ， ， ，故答案为125. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 13 关键点拨 弦长，联想到弦和弦心距之间的关系，过点作于 ， 于，于，得到，即点是 的角平分线的交点. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 14 6.【2023安徽马鞍山博望区校级调研】如图，点是直径 的三等 分点，点是弧的三等分点（弧 弧 ），若 直径，则 的长为______. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15 【解析】如图，过作于，则 点 是直径 的三等分点，直径，， ， ， 点是弧 的三等分点 （弧 弧）， ， ， ， ， ， ，故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 关键点拨 通过作于构造直角三角形，根据已知条件求出， ， 进而解直角三角形得到，的长度，即可求出的长度，再在 中根据勾股定理求出 的长度即可. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 17 7.如图，是的弦，，为弦上的两点，且，延长， 分别 交于点，，连接，，，，求证: . 【证明】，， . ，， ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 18 知识点3 利用圆心角求弧的度数 （第8题图） 8.【2024安徽宿州期末】如图，是的直径，， 分别 为， 的垂直平分线，则下列结论正确的是( ) A A. B. C. D. 【解析】如图，连接，，，分别为， 的垂 直平分线， ， ，，， ， ，同理 ， ，即 ， .故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 19 9.【2024安徽无为期末】如图，，是的弦，延长，相交于点 ， 已知 ， ，则 所对的圆心角的度数为____. （第9题图） 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 20 【解析】如图，连接，，， ， ， ， ， ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 21 提升 1.［中］如图，是的直径， ，点为弧的中点，交 于点，，则 的长为( ) A （第1题图） A. B. C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 22 【解析】如图，连接， ，点C为 的中点， , , 是等 边三角形，,,则， ， .故选A. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 23 （第2题图） 2.［中］如图，半径为5的中，弦， 所对的圆心角分别 是，.已知， ，则弦 的弦心距等于( ) D A. B. C.4 D.3 【解析】作于，延长交于 ，连接 ， ， ， ，.又，为 的中位 线， ．故选D． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 24 3.【2024安徽滁州期中，较难】如图， 中， ，，，点在线段上， ， 以点为圆心，长为半径作弧交于点，交 的延长线 于点，以点为圆心，长为半径作弧，交于点 ，连 B A.2 B.3 C.4 D.5 【解析】 以点为圆心，长为半径作弧，交于点， ， ， ， ， ， ， ， .故选B. 接，过点作，垂足为点，则线段 的长为 ( ) 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 25 思路分析 证出，得到，于是可以证明 ，得到 ，由勾股定理求出 的长，代入有关数据即可求解. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 26 4.【2023天津西青区质检，中】把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开， 图中的虚线表示折痕，则 的度数是____. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 27 【解析】如图，过点作于点，连接.根据折叠方式可知， ， ，， ， ， 的度数是 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 28 关键点拨 根据翻折变换的特点（对称性）找到角之间的关系是解本题的关键. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 29 5.【2023湖北随州曾都区校级质检，中】如图，在中，半径，， 为弧的三等分点.弦分别交，于点， ，下列结论： ；； ； .其中正确的 有________（填序号）. ①②③ 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 30 【解析】 在中，半径，，为弧 的三等分点， ，故①正确. ， ， ，同理 ， ，，故②正确.中， ， ， ，故③正确.如图，连接 ， ，，是弧的三等分点， ， ，， ， ，， ， 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 31 ，，，故，同理得 . 又，， ，故④错误.故答案为① ②③. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 6.［中］如图，，分别是两条半径，的中点， . （1）求证： . 【证明】连接，,分别是两条半径 , 的中点，， . 在和中， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 33 （2）若 ，，四边形的面积为，求与 之间的函数关系式. 【解】连接， ，， .又 ，为等边三角形. 点是的中点， ， . 在中， ， 四边形的面积 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 34 思路分析 （2）连接，,可得是等边三角形，根据正切的定义求出 ，利用 ,结合三角形面积公式计算即可. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 35 刷素养 走向重高 7.核心素养 推理能力［较难］如图（1），是的直径，与 是弦，且 . 图（1） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 36 （1）求证： . 图（1） 【证明】如图（1），作于点， 于点 ，， ． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 37 （2）在图（1）的基础上，如果点在直线 上由圆上运动到了圆外，如图（2）， 是否仍有 ？为什么？ 图（2） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 38 【解】仍有，理由：如图（2），作于点，于点 ，设 与交于点，与交于点， ， ，，， ． 在与中， ， ， ． 图（2） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 39 （3）如图（3），如果点在直线 上由圆上运动到了圆内，上述结论是否仍成立？ 图（3） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 40 【解】成立.如图（3），作于点，于点，延长交 于点 ，延长交于点，， ， ，，， ． 图（3） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 41 $$