第24章 24.2 课时2 垂径分弦-【初中必刷题】2024-2025学年九年级下册数学同步课件(沪科版)

数 学 九年级下册 HK 1 2 3 第一部分 教材同步分层练 第24章 圆 4 24.2 圆的基本性质 课时2 垂径分弦 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 圆的对称性 1.下列说法中，不正确的是( ) C A.圆是轴对称图形 B.圆的任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴 C.圆的任意一条直径都是圆的对称轴 D.经过圆心的任意直线都是圆的对称轴 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7 【解析】因为对称轴是直线，直径是线段，所以不能说“直径是圆的对称轴”． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 知识点2 垂径定理及其推论 2.【2024安徽蚌埠期末】如图，是的直径，分别以点 和 点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于， 两点， 直线与相交于，两点，若，则 的长为( ) C A. B.4 C. D. 【解析】连接，如图.设和交于点.由作图可知， 垂直平分 ，， ， .， .故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 3.已知的直径，是的弦，，且，垂足为 ， 则 的长为( ) C A. B. C.或 D.或 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 【解析】如图，连接.由题意得 ， , 在 中， .如图（1）， ， 在中， ；如图（2）， ，在 中， ．综上，的长为或 ，故选C. 图（1） 图（2） 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （第4题图） 4.【2023安徽合肥庐江期末】如图，的半径为5，弦， 是弦上的一个动点（不与，重合），下列可以是 的值的是 ( ) B A.3.1 B.4.2 C.5.3 D.6.4 （第4题图） 【解析】过点作于，连接 ，如图，则 .在 中， ，所以 .故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 关键点拨 当与重合时取得最小值4，从运动到或的过程中， 的值越来越大， 若与点重合，则，所以 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 13 5.【2023广西河池期末】如图，将半径为4的折叠后，圆弧恰好经过圆心 ， 则折痕 的长为( ) D （第5题图） A. B. C. D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 14 【解析】如图，过作于D，交于C，连接，则 将半 径为4的折叠后，圆弧恰好经过圆心， ， ，过圆心， .由勾股定理得 ， .故选D. （第5题图） 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 6.【2024安徽黄山期末】在中，为其内部一点，过点的最长的弦为 ， 最短的弦为，则 ________. （第6题图） 【解析】如图.根据题意，得于点， ， ，, .根据勾股定理， 得故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 16 知识点3 垂径定理的实际应用 7.如图，拱桥可以近似地看成圆弧，其所在圆的直径为 ，桥拱和路面之间用 数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为 ，那么这些钢索中最长的一 根的长度为( ) D A. B. C. D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 17 【解析】设圆弧的圆心为，过作于C，交于D，连接 ，如图所示, 则， ， ， ，即这些钢索中最长的一根为 .故选D． （第7题图） 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 18 8.【2024安徽合肥庐阳区期末】唐代李皋发明了桨轮船，这种 船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导.如图，某 桨轮船的轮子被水面截得的弦长为 ，轮子的吃水深度 为 ，求该桨轮船的轮子直径. 【解】如图，连接.依题意，得， . 设轮子的直径为，则其半径为.在 中， ，，解得 .故该 桨轮船的轮子直径为 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 19 刷易错 易错点1 对定理理解不透，造成误判 9.分析下列说法：①垂直于弦的直径平分弦；②平分弦的直径垂直于弦；③平分 弦所对的一条弧的直径不一定平分另一条弧；④平分任意一条弦所对的两条弧的 弦一定是直径.其中正确的是（填序号）______. ①④ 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 【解析】垂径定理是“垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条 弧”，故①正确；垂径定理的推论是“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并 且平分弦所对的两条弧”,要注意：任意两条直径都互相平分，但未必互相垂直， 只有平分不是直径的弦的直径才一定垂直于弦，故②错误；平分弦所对的一条弧 的直径一定平分另一条弧，这里的“弦”可以是直径，故③错误；④正确． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 21 易错警示 在“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”中，括号 内的“不是直径”这个限制条件切勿忽视 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 22 易错点2 未分类讨论导致错误 10.已知的半径为10，弦,,,则和 的距离为 _______. 14或2 图（1） 【解析】分两种情况：①如图（1），当,在圆心 的两侧时， 过点作于点，延长交于点，连接 , ，,， ， ，， ．由勾股定理,得 ，， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 23 图（2） ②如图（2），当,在圆心的同侧时，同理可得, , ． 综上所述，和 的距离为14或2． 易错警示 本题容易只考虑和 在直径的同侧或者在异侧的其中一种情况，导致漏解. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 24 提升 1.【2024安徽合肥瑶海区质检，中】如图，点，是 上两 点，，点是上的动点（与， 不重合），连接 ，，过点分别作于点，于点，则 的值为( ) C A.2 B.3 C.5 D.6 【解析】 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 25 2.【2024安徽黄山期末，中】紫砂壶是我国特有的手工制造陶土工艺品，其制作 过程中需要用到一种名为“带刻度嘴巴架”的工具，当制壶艺人把“带刻度嘴巴 架”上圆弧部分恰好贴在壶口边界时，就可以保证需要粘贴的壶嘴、壶把、壶口 中心在一条直线上（图（1）是正确使用该工具时的示意图）.如图（2）， 为 某紫砂壶的壶口，已知，两点在上，直线过点，且于点 ，交 于点.若，，设这个紫砂壶的壶口半径为.则 的值为( ) A 图（1） 图（2） A.30 B. C. D.40 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 26 【解析】如图，连接 直线过点，且， ， .在中， ， .， ，解 得 .故选A. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 27 3.［中］如图，在中，弦，点在上移动，连接，过点 作 交于点，则 的最大值为__. （第3题图） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 28 【解析】如图，连接.设的半径为， ， , 当的值最小时，的值最大.当 时，的值最小，此时， 的最大值为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 29 4.【2023安徽淮南质检，难】如图，已知的半径为2，弦的长度为2，点 是上一动点，若为等腰三角形，则 的值为______________________ ___. 或或12或4 （第4题图） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 30 【解析】当为等腰三角形时，分以下两种情况：①如图（1），以 为底 边时，，,连接，，交于，则过圆心 ， 且，， ， ，， ， .如图（2），以 为腰时， ，连接，，，交于 ，则 ， 是等边三角形，四边形 为菱形， ，，, ， ，，.综上， 或 或12或4.故答案为或 或12或4. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 31 图（1） 图（2） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 32 5.［中］一辆装满货物的卡车，高，宽 ，要开进厂门形状如图所示的某 工厂，问这辆卡车能否通过厂门（厂门上方为半圆形拱门）？说明你的理由. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 33 【解】这辆卡车能通过厂门．理由如下： 如图,设的中点，即半圆的圆心为, 为卡车的宽度 （，到左、右两边的距离相等），过，作 的垂线分别交 半圆于，，连接，过作，为垂足，连接 ,则 ， . 由作图得.又， 在 中， ， , ， 这辆卡车能通过厂门． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 34 技巧点拨 判断卡车能否通过厂门（或隧道）的问题，通常有两种方法：①固定卡车的宽， 看厂门（或隧道）是否足够高；②固定厂门（或隧道）的高，看卡车的宽度是否 满足条件. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 35 刷素养 走向重高 6.核心素养 推理能力［难］如图，在中，是直径，为上一点，过点 作弦， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 36 （1）若，，求 的长； 【解】作于，连接 . ，，，， . 在中， ， . 在中，， ， . ，， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 37 （2）若，，求 的长； 【解】作于，连接，则 . ，， ， ， . 在中， ， , . 在中，，， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 38 （3）当在上运动时（ 不变）， 的值是否发生变化？若 不变，请求出其值；若变化，请求出其取值范围. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 39 【解】的值不发生变化，为定值 . 作于，连接，则 . 设的半径为 . 在中， . 在中， ，, ， . ,， . 的值不发生变化，为定值 ． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 40 方法技巧 利用垂径定理解题时，常用的作辅助线的方法是连接圆心和弦的端点或过圆心作 弦的垂线，构造直角三角形，然后利用勾股定理进行解题. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 41 $$