精品解析：湖北省黄冈市黄梅县育才高级中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

黄梅县育才高级中学2024年秋季期中考试 高一数学试题 考试时间：120分钟；试卷满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1. 已知集合M＝{1，}，P＝{－1，－a}，若M∪P有三个元素，则M∩P＝(　　) A. {0,1} B. {0，－1} C. {0} D. {－1} 2. 设全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题正确是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C 若，则 D. 若，则 4. 函数定义域为 A. [1，+∞) B. (1，+∞) C. [1，2) ∪(2，+∞) D. （1，2）∪(2，+∞) 5. 下列各组函数是同一函数的是（ ） ①与； ②与； ③与； ④与． A. ①② B. ①③ C. ③④ D. ①④ 6. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C D. 7. 若两个正实数x，y满足且存在这样的x，y使不等式有解，则实数m的取值范围是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 8. 关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知，若，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为1 C. 的最小值为8 D. 的最小值为 10. 下面命题正确的是（    ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 命题“任意，则”的否定是“存在，则” C. 设，则“且”是“”的必要而不充分条件 D. 设，则“”是“”的必要不充分条件 11. 已知函数，关于的不等式的解集为，则（ ） A. B. 设，则的最小值一定为 C. 不等式的解集为 D. 若，且，则x的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则__________． 13. 若函数在上单调递减，则实数的取值范围是__________. 14. 已知关于的不等式的解集是空集，则实数的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合， ，求A∩B，A∪B， . 16. 已知集合． （1）若，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 17. 已知函数. （1）判断函数在区间上单调性，并用定义证明你的结论； （2）求该函数在区间上的最值. 18. 因新冠肺炎疫情影响，呼吸机成为紧缺商品，某呼吸机生产企业为了提高产品的产量，投入万元安装了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前年的材料费、维修费、人工工资等共为（）万元，每年的销售收入万元.设使用该设备前年的总盈利额为万元. （1）写出关于的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利； （2）使用若干年后，对该设备处理的方案有两种：案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以10万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以50万元的价格处理；问哪种方案处理较为合理？并说明理由. 19. 设函数， （1）若不等式的解集为，求的值； （2）若，，求的最小值； （3）若，求不等式的解集. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 黄梅县育才高级中学2024年秋季期中考试 高一数学试题 考试时间：120分钟；试卷满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1. 已知集合M＝{1，}，P＝{－1，－a}，若M∪P有三个元素，则M∩P＝(　　) A. {0,1} B. {0，－1} C. {0} D. {－1} 【答案】C 【解析】 【详解】由集合，，且有三个元素可知：解得：ａ＝０， ∴＝ 故选C 2. 设全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用给定的集合，结合韦恩图阴影部分表示的集合求得结果. 【详解】由韦恩图得阴影部分表示的集合为， 而全集，集合，， 所以. 故选：B 3. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】举例说明判断AD；利用不等式的性质推理判断BC. 【详解】对于A，取，得，A错误； 对于B，由，得，而，则，B正确； 对于C，由，得，C错误； 对于D，取，满足，而，D错误. 故选：B 4. 函数的定义域为 A. [1，+∞) B. (1，+∞) C. [1，2) ∪(2，+∞) D. （1，2）∪(2，+∞) 【答案】D 【解析】 【详解】本题考查函数的定义域和不等式的解法. 要使函数有意义，需使，解得故选D 5. 下列各组函数是同一函数的是（ ） ①与； ②与； ③与； ④与． A. ①② B. ①③ C. ③④ D. ①④ 【答案】C 【解析】 【分析】通过验证定义域和对应法则，判断两个函数是否为同一函数. 【详解】①与的定义域是，而，故这两个函数不是同一函数； ②与的定义域都是，，这两个函数的定义域相同，对应法则不同，故这两个函数不是同一函数； ③与的定义域都是，并且定义域内，对应法则也相同，故这两个函数是同一函数； ④与定义域相同，对应法则相同，是同一函数； 所以是同一函数的是③④． 故选：C． 6. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，然后根据复合函数的单调性和二次函数的单调性进行解答. 【详解】由，解得， 令， 易知在上单调递增， 在上单调递增，在上单调递减， 结合函数的定义域可得， 函数的单调递减区间是， 故选:D. 7. 若两个正实数x，y满足且存在这样的x，y使不等式有解，则实数m的取值范围是（ ） A 或 B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用均值不等式求解的最小值，转化存在这样的x，y使不等式有解为，求解二次不等式即可. 【详解】由题意，， 当且仅当，即时等号成立. 故若存在这样的x，y使不等式有解. 即或. 故选：A 8. 关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分类求出不等式的解集，再结合已知列出不等式求解得答案. 【详解】不等式， 当时，原不等式的解集为， 由解集中恰有4个整数，得，解得； 当时，原不等式的解集为， 由解集中恰有4个整数，得，解得， 所以实数m的取值范围是或. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知，若，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为1 C. 的最小值为8 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】AD选项，由基本不等式求出最值；B选项，化为，求出最小值；C选项，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】对于，由，即， 当且仅当，且，即时，取等号，所以A正确； 对于，因为， 当且仅当时，取到最小值，所以B错误； 对于C，因为，所以， 当且仅当，且，即，时，取等号，所以C正确； 对于，当且仅当，且， 即时，取等号，所以正确. 故选：ACD. 10. 下面命题正确的是（    ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 命题“任意，则”的否定是“存在，则” C. 设，则“且”是“”的必要而不充分条件 D. 设，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据充分不必要条件的定义判断A；根据全称命题的否定判断B；根据必要不充分条件的定义判断C，D. 【详解】解：对于A，“”“”， 由不能推出， 故“”是“”的充分不必要条件，故A正确； 对于B，命题“任意，则”的否定是“存在，则，故B正确； 对于C，当“且”成立，则“”成立， 但“”成立时，“且”不一定成立，如：，，故C错误； 命题：且，故“”是“”的必要不充分条件，故D正确． 故选：ABD． 11. 已知函数，关于的不等式的解集为，则（ ） A. B. 设，则的最小值一定为 C. 不等式的解集为 D. 若，且，则x的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】由已知不等式的解集求出，再求解各选项中的问题，作出判断． 【详解】由题意，即，∴，A正确； ，但当时，，B错； ，由已知，即，且，C正确； 由题意知在上是增函数，在上是常函数，因此由得或，解得或，综上，．D正确． 故选：ACD． 【点睛】关键点点睛：本题考查求二次函数的解析式，考查二次函数的性质，二次函数在对称轴的两边单调性相反，顶点处取得最大值或最小值．二次函数的图象与一元二次不等式的解集、一元二次方程的解之间的关系必须能熟练掌握，灵活运用． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】令，求出，代入条件即可. 【详解】解：令，得， ， 故答案为：6. 【点睛】本题考查已知解析式求函数值，是基础题. 13. 若函数在上单调递减，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数在两段函数上分别单调递减，得得范围，且注意分界处函数值大小，即可得实数的取值范围. 【详解】解：函数在上单调递减， 则可得，解得：，所以实数的取值范围是 故答案为：. 14. 已知关于的不等式的解集是空集，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】考虑和，两种情况，得到不等式，求出实数的取值范围. 【详解】当时，解得或， 当时，不等式为，解集不为空集，不合要求，舍去； 当时，不等式为，解集为空集，满足要求， 当时，要想不等式解集为空集，则， 解得， 综上，实数的取值范围是 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合， ，求A∩B，A∪B， . 【答案】，， 【解析】 【详解】试题分析：求 时借助数轴即可求得正解，求 时可将其转化为 ，再利用数轴即可求得正解. 试题解析： 16. 已知集合． （1）若，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）解不等式得出A，代入得出B，进而根据并集的运算求解，即可得出答案； （2）根据已知可推得A，分以及，根据集合的包含关系列出不等式组，求解即可得出答案. 【小问1详解】 解可得，或， 所以，或. 当时，， 所以或. 小问2详解】 由“”是“”的必要不充分条件， 所以，. 又或，. 当，有，即，显然满足； 当时，有，即. 要使A， 则有或， 解得或. 综上所述，或. 17. 已知函数. （1）判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论； （2）求该函数在区间上的最值. 【答案】（1）单调递减，证明见解析. （2）最大值、最小值分别为. 【解析】 【分析】（1）借助反比例函数判断单调性，再利用函数单调性定义推理得证. （2）由（1）的结论，利用单调性求出最值. 【小问1详解】 函数在上单调递减， ，， 由，得，则，即， 所以函数在上的单调递减. 【小问2详解】 由（1）知函数在上的单调递减，， 所以函数在区间上的最大值、最小值分别为. 18. 因新冠肺炎疫情影响，呼吸机成为紧缺商品，某呼吸机生产企业为了提高产品的产量，投入万元安装了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前年的材料费、维修费、人工工资等共为（）万元，每年的销售收入万元.设使用该设备前年的总盈利额为万元. （1）写出关于的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利； （2）使用若干年后，对该设备处理的方案有两种：案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以10万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以50万元的价格处理；问哪种方案处理较为合理？并说明理由. 【答案】（1），3年；（2）第二种方案更合适，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）利用年的销售收入减去成本，求得的表达式，由，解一元二次不等式求得从第年开始盈利. （2）方案一：利用配方法求得总盈利额的最大值，进而求得总利润； 方案二：利用基本不等式求得时年平均利润额达到最大值，进而求得总利润. 比较两个方案获利情况，作出合理的处理方案. 【详解】（1）由题意得： 由得即， 解得 由，设备企业从第3年开始盈利 （2） 方案一总盈利额 ，当时， 故方案一共总利润，此时 方案二：每年平均利润 ，当且仅当时等号成立 故方案二总利润，此时 比较两种方案，获利都是170万元，但由于第一种方案只需要10年，而第二种方案需要6年，故选择第二种方案更合适. 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式解法，考查基本不等式求最值，属于中档题. 19. 设函数， （1）若不等式的解集为，求的值； （2）若，，求的最小值； （3）若，求不等式的解集. 【答案】（1） （2）； （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由不等式的解集为，得到方程的两根为，3且求解； （2）由，得到，再结合“1”的代换，利用基本不等式求解； （3）由由转化为，即，再分， ， ， 求解。 【小问1详解】 解：由不等式的解集为， 得：方程的两根为，3且， 由根与系数的关系可得：，，所以 【小问2详解】 由已知得，，， 则， 当时，，所以（当且仅当，时等号成立）； 当时，，所以（当且仅当，时等号成立）； 所以最小值为； 【小问3详解】 由得， 又因为， 所以不等式化为，即， 当时，，原不等式或 若，原不等式. 此时原不等式的解的情况应由与1的大小关系决定， 所以（1）当时，不等式的解集为； （2）当时，，不等式； （3）当时，，不等式. 综上所述，不等式的解集为： ①当时，或； ②当时，； ③当时，； ④当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$