第四章：数列（单元测试卷，基础卷）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第二册）

第四章：数列 （试卷满分150分，考试用时120分钟） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（24-25高二上·甘肃庆阳·月考）已知数列，则是它的（    ） A．第9项 B．第10项 C．第13项 D．第12项 2．（24-25高二上·四川遂宁·月考）数列满足，若，，则（    ） A． B． C．1 D．2 3．（23-24高二上·云南昆明·月考）数列中，，则的值为（    ） A． B． C．5 D． 4．（23-24高二下·江西上饶·期末）用数学归纳法证明，从到，左边需要增乘的代数式为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·月考）数列满足，，，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·江苏镇江·月考）记为数列的前n项积，已知，则（    ） A．23 B．24 C．25 D．26 7．（23-24高二下·河北张家口·开学考试）在数列中，，，则（    ） A．380 B．800 C．880 D．40 8．（23-24高二下·安徽·月考）已知正项数列的前项和为，若，且恒成立，则实数的最小值为（    ） A． B． C． D．3 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（23-24高二上·山西·期末）下列通项公式中，对应的数列是递增数列的是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二下·山东青岛·月考）已知是等差数列，是其前n项和，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若和都为递增数列，则 11．（23-24高二上·广东中山·月考）已知数列的前n项和为，前n项积为，，且．（    ） A．若数列为等差数列，则 B．若数列为等差数列，则 C．若数列为等比数列，则 D．若数列为等比数列，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（23-24高三上·甘肃酒泉·月考）已知等差数列的前项和为，且，，则 . 13．（23-24高二上·河南·月考）已知数列中，，且是递增数列，则实数a的取值范围为 ． 14．（23-24高三上·湖北襄阳·期末）等比数列的首项为1，前项和为，且，那么满足的的最大值是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（24-25高二上·广西柳州·期中）（1）已知数列的前n项和，求这个数列的通项公式； （2）已知数列的通项公式为前n项和为.求取得最小值时n的值. 16．（24-25高二上·浙江宁波·期中）等差数列的前项和为，已知，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 17．（24-25高二上·江苏连云港·期中）设数列满足：，且对任意的，都有． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 18．（24-25高二上·江苏镇江·期中）数列的前项和记为，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)对于（2）中的数列，问是否存在正整数，使得、、成等差数列？若存在，请求出所有符合条件的正整数；若不存在，请说明理由． 19．（24-25高二上·福建漳州·期中）若数列满足为正整数，p为常数，则称数列为等方差数列，p为公方差. (1)已知数列，的通项公式分别为：，，判断上述两个数列是否为等方差数列，并说明理由； (2)若数列既是等方差数列，又是等差数列，证明：数列为常数列． (3)若数列是首项为1，公方差为2的等方差数列，在的条件下，在与之间依次插入数列中的k项构成新数列：，，，，，，，，，，……，求数列中前30项的和 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章：数列 （试卷满分150分，考试用时120分钟） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（24-25高二上·甘肃庆阳·月考）已知数列，则是它的（    ） A．第9项 B．第10项 C．第13项 D．第12项 【答案】C 【解析】数列，即数列的通项公式是， 令，所以是它的第13项.故选：C. 2．（24-25高二上·四川遂宁·月考）数列满足，若，，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【解析】因为，，， 则，， ，， 故选：C. 3．（23-24高二上·云南昆明·月考）数列中，，则的值为（    ） A． B． C．5 D． 【答案】A 【解析】由数列中，， 可得， 可得数列是以三项为周期的周期性循环出现， 所以.故选：A. 4．（23-24高二下·江西上饶·期末）用数学归纳法证明，从到，左边需要增乘的代数式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，左端＝， 当时，左端＝， 故左边要增乘的代数式为.故选：B． 5．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·月考）数列满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 所以， 所以， 所以， 所以.故选：A. 6．（24-25高二上·江苏镇江·月考）记为数列的前n项积，已知，则（    ） A．23 B．24 C．25 D．26 【答案】C 【解析】因为为数列的前n项积， 当时，，所以，∴， 当时，，所以， 化简可得：， 所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，所以.故选：C. 7．（23-24高二下·河北张家口·开学考试）在数列中，，，则（    ） A．380 B．800 C．880 D．40 【答案】B 【解析】因为，所以， 所以， 当时，，当时，， 所以.故选：B. 8．（23-24高二下·安徽·月考）已知正项数列的前项和为，若，且恒成立，则实数的最小值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【解析】因为， 所以，即， 即，则， 与上式作差后可得， 因为正项数列，所以， 所以， 因为，， 所以 ， 所以实数的最小值为，故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（23-24高二上·山西·期末）下列通项公式中，对应的数列是递增数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】对于A，因为， 由二次函数的单调性可得数列为递增数列； 对于B，因为， 由一次函数的单调性可得数列是递减数列； 对于C，因为， 由指数函数的单调性可得数列是递减数列； 对于D，因为， 当时，数列是递增数列， 当时， 数列为递增数列， 而，所以数列是递增数列.故选：AD. 10．（23-24高二下·山东青岛·月考）已知是等差数列，是其前n项和，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若和都为递增数列，则 【答案】BC 【解析】对于A中，由，， 可得，所以， 又由，所以A错误； 对于B中，由，所以B正确； 对于C中，由，所以， 又因为，则，所以C正确； 对于D中，因为为递增数列，可得公差， 因为为递增数列，可得， 所以对任意的，但的正负不确定，所以D错误．故选：BC. 11．（23-24高二上·广东中山·月考）已知数列的前n项和为，前n项积为，，且．（    ） A．若数列为等差数列，则 B．若数列为等差数列，则 C．若数列为等比数列，则 D．若数列为等比数列，则 【答案】AC 【解析】令，易知在R上单调递减， 且， 所以为奇函数， 又，所以， 由题意可知， 对于A、B，若数列为等差数列，则， 且故A正确，B错误； 对于C、D，若数列为等比数列，设公比，易知 则同号， 所以，故C正确， 若，与前提矛盾，故D错误.故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（23-24高三上·甘肃酒泉·月考）已知等差数列的前项和为，且，，则 . 【答案】16 【解析】因为等差数列的前项和为,所以,,,成等差数列, 所以，即，解得， 所以，所以，解得， 故答案为：16 13．（23-24高二上·河南·月考）已知数列中，，且是递增数列，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【解析】恒成立， ∴，， ∵，∴，∴． ∴实数的取值范围为. 故答案为：. 14．（23-24高三上·湖北襄阳·期末）等比数列的首项为1，前项和为，且，那么满足的的最大值是 ． 【答案】 【解析】设等比数列的公比为， 当时，，不符合条件，故， 则，解得. 所以由得， 即，由于，所以， 即满足的的最大值是. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（24-25高二上·广西柳州·期中）（1）已知数列的前n项和，求这个数列的通项公式； （2）已知数列的通项公式为前n项和为.求取得最小值时n的值. 【答案】（1）（2） 【解析】（1）因为， 当时，， 所以， 又时，不满足上式， 故数列的通项公式为. （2）当，，解得：， 当和时，， 所以取得最小值时，. 16．（24-25高二上·浙江宁波·期中）等差数列的前项和为，已知，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）设数列的公差为， ∵，∴，∵，∴  ，∴公差为，∴， ∴ ； （2）由已知， 时，； 时，； 综上. 17．（24-25高二上·江苏连云港·期中）设数列满足：，且对任意的，都有． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)，；(2) 【解析】（1）由题意可得，，所以， 则，其中， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 则，即，. （2）由（1）可知 ，令，则， ① ， ②， 两式相减可得， 所以． 18．（24-25高二上·江苏镇江·期中）数列的前项和记为，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)对于（2）中的数列，问是否存在正整数，使得、、成等差数列？若存在，请求出所有符合条件的正整数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)；(3)不存在，理由见解析 【解析】（1）因为，所以， 所以当时，，所以， 当时，， 所以，整理可得， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以． （2）因为，所以，，① 可得，② ①②可得， 因此，. （3）结合（2），， 令，即，即， 设，则， 当时，，数列为递减数列， ，， 故对所有正整数，， 所以不存在正整数，使得、、成等差数列． 19．（24-25高二上·福建漳州·期中）若数列满足为正整数，p为常数，则称数列为等方差数列，p为公方差. (1)已知数列，的通项公式分别为：，，判断上述两个数列是否为等方差数列，并说明理由； (2)若数列既是等方差数列，又是等差数列，证明：数列为常数列． (3)若数列是首项为1，公方差为2的等方差数列，在的条件下，在与之间依次插入数列中的k项构成新数列：，，，，，，，，，，……，求数列中前30项的和 【答案】(1)为等方差数列，不是等方差数列，理由见解析；(2)证明见解析；(3) 【解析】（1）因为常数， 所以数列为等方差数列，1为公方差； 因为， 所以数列不是等方差数列． （2）证明：因为是等差数列，设其公差为d， 则 又是等方差数列，所以 故， 所以， 即， 所以，故是常数列. （3）由题意知数列是首项为1，公方差为2的等方差数列， 故，而，所以； 是首项为1，公比为3的等比数列， 而新数列中项含前共有项， 令，结合，解得， 故数列中前30项含有的前7项和数列的前23项， 所以数列中前30项的和. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$