黄金卷07（新高考八省专用）-【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷

【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷（新高考八省卷） 黄金卷07 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C B A C B A B C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABC BCD ABD 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14．914 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．(本小题满分13分） 【解】（1）因为， 由正弦定理可得， ………………………1分 且， 即， 整理可得， ………………………3分 且，则，可得， 即， ………………………4分 且，所以. ………………………5分 （2）因为的面积为，则， ……………6分 又因为， 可得， ………………………8分 由正弦定理，可得， 其中为的外接圆半径， 则，即， 可得，则， ………………………10分 由余弦定理可得， 即，解得， ………………………12分 所以的周长为. ………………………13分 16． （本小题满分15分） 【解】（1）零假设为：游客对“村超”的满意度与年龄互相独立， 即游客对“村超”的满意度与年龄无关联， ， ………………………3分 依据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为游客对“村超”的满意度与年龄有关联，此推断犯错误的概率不大于． ………………5分 （2）由题可知，参与调查的游客都对“村超”给出满意评价的概率为， …………………6分 则，随机变量可取， ………………………7分 ， ， ， ， ………………………11分 所以的分布列为： 0 1 2 3 0.027 0.189 0.441 0.343 ………………………13分 数学期望． ………………………15分 17．（本小题满分15分） 【解】（1）解：存在，当E为AC的中点时，AD∥平面， ………………………1分 理由如下：如图所示： 取的中点F，连接EF，DF ， ∵DF是的中位线，   ∴， ………………………2分 又  ， ∴  ， ∴四边形DFEA是平行四边形 ， ………………………4分 ∴AD∥EF， 又面，面  ， ∴AD∥平面． ………………………6分 （2）∵四边形是矩形， ∴，， 又∵平面平面， ∴面， ………………………7分 ∵， ∴  ， ………………………8分 ∵侧面是菱形，， ∴是正三角形 ， ∵E是AC的中点， ∴， ………………………9分 以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 则，， ………………………10分 设平面的一个法向量为， 由，得， 令，则，， ∴ ， ………………………12分 又平面的一个法向量， ………………………13分   ∴， ∴平面与平面的夹角的余弦值是. ………………………15分 18．（本小题满分17分） 【解】（1）当时，，则， ………………………1分 故， ………………………3分 故在处的切线方程为 ………………………4分 （2）， ………………………5分 当时，令，解得或，令，解得， 故此时在单调递增，在的单调递减， ………………………6分 当时，在上恒成立，故此时在单调递增， ……………7分 当时，令，解得或，令，解得， 故此时在单调递增，在的单调递减， ………………………8分 当时，，故在的单调递减，在单调递增， …………9分 当时，令，解得，令，解得， 故此时在的单调递减，在单调递增， ………………………10分 （3）， 令，则， ………………………12分 记，则， 当时，，当时，， 故在单调递增，在单调递减， 且，当时恒成立， ………………………15分 要使有两个零点，则由两个交点， 故，解得 ………………………17分 19．（本小题满分17分） 【解】（1）因为当垂直于轴时，， 而直线与Γ相切， 则，解得， ………………………2分 又椭圆的离心率为， 则椭圆的半焦距，， ………………………4分 所以的方程为. ………………………5分 （2）（i）当的斜率存在时，设的方程为：， 由消去得：， 由直线与椭圆相切，得， 整理得， ………………………7分 于是圆心到直线的距离， ………………………8分 则的面积为， ………………9分 设，求导得， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 因此当时，取得最大值，此时， ………………………11分 当的斜率不存在时，由（1）知，， 由，得，则. 对于线段上任意点，连接并延长与圆交于点，则是圆上与最近的点， 当为线段的中点时，取得最大值，所以. ………………………13分 （ii）因为均存在， 设点，且， 设是集合中到的最近点，根据对称性，不妨设， 令点到集合的最近点为，点到集合的最近点为， 因为是集合中所有点到集合最近点距离的最大值，则， 因为是集合中所有点到集合最近点距离的最大值，则， 因此， 而在坐标平面中，，又点是集合中到点的最近点，则， 所以. ………………………17分 试卷第2页，共22页 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷（新高考八省卷） 黄金卷07 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．若复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于第四象限，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，若反向共线，则实数的值为（    ） A． B．3 C．3或 D．或7 4．若，则（    ） A．或2 B．或 C．2 D． 5．已知口袋中有3个黑球和2个白球（除颜色外完全相同），现进行不放回摸球，每次摸一个，则第一次摸到白球的情况下，第三次又摸到白球的概率为（    ） A． B． C． D． 6．已知定义在R上的函数满足，为偶函数且，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 7．如图，为圆锥底面圆的一条直径，点为线段的中点，现沿将圆锥的侧面展开，所得的平面图形中为直角三角形，若，则圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，A是双曲线C的左顶点，以为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于P，Q两点，且，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D．2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．小明在今年“十一”假期随家人到杭州游玩，恰逢亚运盛会，在10月2日下午女子跳水1米板决赛开赛前，小明随机调查了若干名前来观看本场比赛观众的年龄，并将调查所得数据制作成了如图所示的饼图，则关于这组数据的说法正确的是（    ）    A．平均数约为38.6 B．中位数约为38.75 C．第40百分位数约为35.6 D．上四分位数约为42.6 10．函数的部分图象如图所示，则（    ） A．， B．不等式的解集为， C．为的一个零点 D．若A，B，C为内角，且，则或 11．已知抛物线，过的焦点作直线，若与交于两点，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C．或 D．线段中点的横坐标为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在的展开式中，的系数为 . 13．若函数的图像关于原点对称，则m＝ ． 14．如图1所示，古筝有多根弦，每根弦下有一个雁柱，雁柱用于调整音高和音质.图2是根据图1绘制的古筝弦及其雁柱的简易平面图.在图2中，每根弦都垂直于x轴，相邻两根弦间的距离为1，雁柱所在曲线的方程为，第n根弦（，从左数首根弦在y轴上，称为第0根弦）分别与雁柱曲线和直线l：交于点和，则 . （参考数据：取.） 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（本小题满分13分）设的内角所对的边分别为，已知. (1)求； (2)若的面积为，求的周长. 16．（本小题满分15分）“村超”是贵州省榕江县举办的“和美乡村足球超级联赛”的简称，为了解不同年龄的游客对“村超”的满意度，某组织进行了一次抽样调查，分别抽取年龄超过40周岁的游客和年龄不超过40周岁的游客各100人作为样本，每位参与调查的游客都对“村超”给出满意或不满意的评价．调查结果如下表． 年龄 满意度 合计 满意 不满意 不超过40周岁 60 40 100 超过40周岁 80 20 100 合计 140 60 200 (1)根据列联表中的数据，在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为游客对“村超”的满意度与年龄有关吗？ (2)若将频率视为概率，该组织从某日所有游客中随机抽取3名游客进行现场采访，记抽取的3名游客中对“村超”满意的人数为，求随机变量的分布列与数学期望． 附：． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17．（本小题满分15分）已知三棱柱，侧面是边长为2的菱形，，侧面四边形是矩形，且平面平面，点D是棱的中点． (1)在棱AC上是否存在一点E，使得平面，并说明理由； (2)当三棱锥的体积为时，求平面与平面夹角的余弦值． 18．（本小题满分17分）已知函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有两个不同的零点，，求的取值范围． 19．（本小题满分17分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ：的离心率为，直线l与Γ相切，与圆O：相交于A，B两点.当l垂直于x轴时，. (1)求Γ的方程； (2)对于给定的点集M，N，若M中的每个点在N中都存在距离最小的点，且所有最小距离的最大值存在，则记此最大值为. （ⅰ）若M，N分别为线段AB与圆O上任意一点，P为圆O上一点，当的面积最大时，求； （ⅱ）若，均存在，记两者中的较大者为.已知，，均存在，证明：. 试卷第2页，共22页 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷（新高考八省卷） 黄金卷07 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】方法一：因为，而， 所以．故选：C． 方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以．故选：C． 2．若复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于第四象限，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为复数， 其在复平面内对应的点位于第四象限，所以,解得， 所以实数a的取值范围为，故选B． 3．已知向量，若反向共线，则实数的值为（    ） A． B．3 C．3或 D．或7 【答案】A 【解析】因为，所以. 因为共线，所以，解得或. 又反向共线，代入验证可知时为同向，舍去. 而满足条件，所以，故选. 4．若，则（    ） A．或2 B．或 C．2 D． 【答案】C 【解析】或 =2，故选C. 5．已知口袋中有3个黑球和2个白球（除颜色外完全相同），现进行不放回摸球，每次摸一个，则第一次摸到白球的情况下，第三次又摸到白球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设事件表示“第二次摸到白球”，事件表示“第三次又摸到白球”， 依题意，在第一次摸到白球的情况下，口袋中有3个黑球和1个白球（除颜色外完全相同）， 所以，，，， 则所求概率为. 故选：B 6．已知定义在R上的函数满足，为偶函数且，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【解析】因为为偶函数，所以，所以． 又，所以， 所以，所以函数的一个周期为4， 所以．故选A． 7．如图，为圆锥底面圆的一条直径，点为线段的中点，现沿将圆锥的侧面展开，所得的平面图形中为直角三角形，若，则圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图所示，作出展开图，可得为锐角，故， 由，可得，即为等边三角形，所以， 则圆锥的侧面积为，底面积， 所以圆锥的表面积为. 故选：B． 8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，A是双曲线C的左顶点，以为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于P，Q两点，且，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【解析】方法一：依题意，易得以为直径的圆的方程为. 又由双曲线，易得双曲线C的渐近线方程为. 当时，如图，设，则. 联立，解得或，所以，. 又因为，所以轴. 所以，.所以，所以. 因为，所以. 同理，当时，亦可得. 故双曲线C的离心率为，故选C. 方法二（极化恒等式）：易得坐标原点O为线段PQ的中点，且， 所以，所以，所以，故选C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．小明在今年“十一”假期随家人到杭州游玩，恰逢亚运盛会，在10月2日下午女子跳水1米板决赛开赛前，小明随机调查了若干名前来观看本场比赛观众的年龄，并将调查所得数据制作成了如图所示的饼图，则关于这组数据的说法正确的是（    ）    A．平均数约为38.6 B．中位数约为38.75 C．第40百分位数约为35.6 D．上四分位数约为42.6 【答案】ABC 【解析】对于A，由饼图可知，平均数为：故A正确； 对于B，，故中位数在这一组，设中位数为， 则，解得，故B正确； 对于C，，故第40百分位数在这一组， 设第40百分位数为，则，解得，故C正确； 对于D，上四分位数即第75百分位数，，故第75百分位数在这一组， 设第75百分位数为，则，解得，故D错误； 故选：ABC 10．函数的部分图象如图所示，则（    ） A．， B．不等式的解集为， C．为的一个零点 D．若A，B，C为内角，且，则或 【答案】BCD 【解析】A选项，由图象可知：， 代入得：，即， 又，. ,代入得：，即， ，解得：Z)， 由图象可知：周期， 解得,. 故A错误. B选项，由得：， 由正弦曲线得：， Z)，故B正确. C选项，， 所以，是的一个零点，故C正确. D选项，因为是三角形的内角，且 所以，或， 即，或， 因此，，或，故D正确. 故选：BCD. 11．已知抛物线，过的焦点作直线，若与交于两点，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C．或 D．线段中点的横坐标为 【答案】ABD 【解析】抛物线的焦点在轴上， 过作直线，可知，则，得，A选项正确； 抛物线方程为，直线的方程代入抛物线方程，得. 设，由韦达定理有，， ，得，解得或， ，则或，C选项错误； 则，线段中点的横坐标为，D选项正确； ，，B选项正确. 故选：ABD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在的展开式中，的系数为 . 【答案】 【解析】因为的展开通项公式为， 的展开通项公式为， 所以取，得的系数为. 13．若函数的图像关于原点对称，则m＝ ． 【答案】/ 【解析】因为的图像关于原点对称，则为奇函数，且为奇函数， 则为偶函数，即，，则，则． 14．如图1所示，古筝有多根弦，每根弦下有一个雁柱，雁柱用于调整音高和音质.图2是根据图1绘制的古筝弦及其雁柱的简易平面图.在图2中，每根弦都垂直于x轴，相邻两根弦间的距离为1，雁柱所在曲线的方程为，第n根弦（，从左数首根弦在y轴上，称为第0根弦）分别与雁柱曲线和直线l：交于点和，则 . （参考数据：取.） 【答案】914 【解析】由题意可知：， 则， 可得， 两式相减可得： ， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（本小题满分13分）设的内角所对的边分别为，已知. (1)求； (2)若的面积为，求的周长. 【解】（1）因为， 由正弦定理可得， ………………………1分 且， 即， 整理可得， ………………………3分 且，则，可得， 即， ………………………4分 且，所以. ………………………5分 （2）因为的面积为，则， ……………6分 又因为， 可得， ………………………8分 由正弦定理，可得， 其中为的外接圆半径， 则，即， 可得，则， ………………………10分 由余弦定理可得， 即，解得， ………………………12分 所以的周长为. ………………………13分 16．（本小题满分15分）“村超”是贵州省榕江县举办的“和美乡村足球超级联赛”的简称，为了解不同年龄的游客对“村超”的满意度，某组织进行了一次抽样调查，分别抽取年龄超过40周岁的游客和年龄不超过40周岁的游客各100人作为样本，每位参与调查的游客都对“村超”给出满意或不满意的评价．调查结果如下表． 年龄 满意度 合计 满意 不满意 不超过40周岁 60 40 100 超过40周岁 80 20 100 合计 140 60 200 (1)根据列联表中的数据，在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为游客对“村超”的满意度与年龄有关吗？ (2)若将频率视为概率，该组织从某日所有游客中随机抽取3名游客进行现场采访，记抽取的3名游客中对“村超”满意的人数为，求随机变量的分布列与数学期望． 附：． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【解】（1）零假设为：游客对“村超”的满意度与年龄互相独立， 即游客对“村超”的满意度与年龄无关联， ， ………………………3分 依据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为游客对“村超”的满意度与年龄有关联，此推断犯错误的概率不大于． ………………5分 （2）由题可知，参与调查的游客都对“村超”给出满意评价的概率为， …………………6分 则，随机变量可取， ………………………7分 ， ， ， ， ………………………11分 所以的分布列为： 0 1 2 3 0.027 0.189 0.441 0.343 ………………………13分 数学期望． ………………………15分 17．（本小题满分15分）已知三棱柱，侧面是边长为2的菱形，，侧面四边形是矩形，且平面平面，点D是棱的中点． (1)在棱AC上是否存在一点E，使得平面，并说明理由； (2)当三棱锥的体积为时，求平面与平面夹角的余弦值． 【解】（1）解：存在，当E为AC的中点时，AD∥平面， ………………………1分 理由如下：如图所示： 取的中点F，连接EF，DF ， ∵DF是的中位线，   ∴， ………………………2分 又  ， ∴  ， ∴四边形DFEA是平行四边形 ， ………………………4分 ∴AD∥EF， 又面，面  ， ∴AD∥平面． ………………………6分 （2）∵四边形是矩形， ∴，， 又∵平面平面， ∴面， ………………………7分 ∵， ∴  ， ………………………8分 ∵侧面是菱形，， ∴是正三角形 ， ∵E是AC的中点， ∴， ………………………9分 以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 则，， ………………………10分 设平面的一个法向量为， 由，得， 令，则，， ∴ ， ………………………12分 又平面的一个法向量， ………………………13分   ∴， ∴平面与平面的夹角的余弦值是. ………………………15分 18．（本小题满分17分）已知函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有两个不同的零点，，求的取值范围． 【解】（1）当时，，则， ………………………1分 故， ………………………3分 故在处的切线方程为 ………………………4分 （2）， ………………………5分 当时，令，解得或，令，解得， 故此时在单调递增，在的单调递减， ………………………6分 当时，在上恒成立，故此时在单调递增， ……………7分 当时，令，解得或，令，解得， 故此时在单调递增，在的单调递减， ………………………8分 当时，，故在的单调递减，在单调递增， …………9分 当时，令，解得，令，解得， 故此时在的单调递减，在单调递增， ………………………10分 （3）， 令，则， ………………………12分 记，则， 当时，，当时，， 故在单调递增，在单调递减， 且，当时恒成立， ………………………15分 要使有两个零点，则由两个交点， 故，解得 ………………………17分 19．（本小题满分17分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ：的离心率为，直线l与Γ相切，与圆O：相交于A，B两点.当l垂直于x轴时，. (1)求Γ的方程； (2)对于给定的点集M，N，若M中的每个点在N中都存在距离最小的点，且所有最小距离的最大值存在，则记此最大值为. （ⅰ）若M，N分别为线段AB与圆O上任意一点，P为圆O上一点，当的面积最大时，求； （ⅱ）若，均存在，记两者中的较大者为.已知，，均存在，证明：. 【解】（1）因为当垂直于轴时，， 而直线与Γ相切， 则，解得， ………………………2分 又椭圆的离心率为， 则椭圆的半焦距，， ………………………4分 所以的方程为. ………………………5分 （2）（i）当的斜率存在时，设的方程为：， 由消去得：， 由直线与椭圆相切，得， 整理得， ………………………7分 于是圆心到直线的距离， ………………………8分 则的面积为， ………………9分 设，求导得， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 因此当时，取得最大值，此时， ………………………11分 当的斜率不存在时，由（1）知，， 由，得，则. 对于线段上任意点，连接并延长与圆交于点，则是圆上与最近的点， 当为线段的中点时，取得最大值，所以. ………………………13分 （ii）因为均存在， 设点，且， 设是集合中到的最近点，根据对称性，不妨设， 令点到集合的最近点为，点到集合的最近点为， 因为是集合中所有点到集合最近点距离的最大值，则， 因为是集合中所有点到集合最近点距离的最大值，则， 因此， 而在坐标平面中，，又点是集合中到点的最近点，则， 所以. ………………………17分 试卷第2页，共22页 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$