第四章：数列章末重点题型复习（16题型）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第二册）

第四章：数列章末重点题型复习 题型一 由数列前几项写通项 1．（24-25高二上·山东青岛·期中）数列的一个通项公式 ． 2．（24-25高二上·甘肃金昌·月考）若数列的前四项依次为2，12，112，1112，则的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·湖北孝感·月考）数列的一个通项公式可以是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·安徽·期末）数列的通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 题型二 根据递推关系求数列通项 1．（23-24高二下·安徽亳州·期中）若数列满足（且），，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·河北石家庄·月考）已知数列满足，且，则的通项公式为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·山东·期中）在数列中，，则的通项公式为 ． 4．（22-23高二上·河北保定·期末）数列中，若，，则 ． 题型三 由数列的前n项和求数列通项 1．（24-25高二上·山东青岛·期中）已知数列的前项和，则（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 2．（24-25高二上·福建龙岩·月考）已知的前n项和为，，当时，，则的值为（    ） A．1009 B．1010 C．1011 D．1012 3．（23-24高二上·江苏南通·月考）设数列满足…，则 ． 4．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）已知数列的前项和为，，（），则为 . 题型四 数列的单调性与最大（小）值 1．（24-25高三上·广东汕头·开学考试）已知数列，则数列的前100项中的最小项和最大项分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（23-24高二下·贵州毕节·月考）（多选）已知数列的通项公式为，则下列说法正确的是（    ） A．是数列的最小项 B．是数列的最大项 C．是数列的最大项 D．当时，数列递减 3．（23-24高二上·湖北襄阳·月考）已知数列的通项公式为，则数列中的最小项的值为 ．（用具体数字作答） 4．（23-24高二下·安徽亳州·月考）数列的通项，则数列中的最大项的值为 . 题型五 与周期有关的数列问题 1．（22-23高二上·江苏常州·期末）若数列满足，且，则（    ） A．－1 B．2 C． D． 2．（24-25高二上·江苏·期中）已知数列满足，，，则（    ） A．1 B．2 C． D． 3．（24-25高二上·甘肃庆阳·期中）已知数列满足，且，则该数列前2024项的和为（    ） A．2015 B．2016 C．1518 D．1519 4．（24-25高二上·福建宁德·月考）在数列中，，，，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 题型六 等差数列的基本量计算 1．（24-25高二上·江苏镇江·期中）等差数列中，若，，则等于（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 2．（24-25高二上·福建莆田·月考）已知等差数列的前n项和为，若，则（    ） A．36 B．35 C．42 D．38 3．（23-24高二下·海南海口·期中）数列为等差数列，为其前n项和，已知，，则不正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·河北张家口·开学考试）已知等差数列，，其前项和为，若，则（    ） A．0 B． C．2025 D． 题型七 等差数列通项的性质 1．（24-25高二上·广西南宁·期中）在等差数列中，若，则的值为（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 2．（24-25高二上·福建龙岩·期中）公差不为0的等差数列中，，则的值不可能是（    ） A．9 B．16 C．22 D．25 3．（23-24高二下·湖北·期中）在等差数列中，是数列的前项和，，则（    ） A．118 B．128 C．138 D．148 4．（23-24高二下·陕西渭南·期中）已知为等差数列，，，则（    ） A．6 B．9 C．12 D．17 题型八 等差数列的前n项和性质 1．（24-25高三上·辽宁·月考）已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·四川巴中·模拟预测）已知是等差数列的前n项和，若，则（    ） A．44 B．56 C．68 D．84 3．（23-24高二上·河北保定·期末）已知数列满足，的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·广东茂名·期末）已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为，所有偶数项的和为，则此数列的项数是（    ） A． B． C． D． 题型九 等差数列的前n项和最值 1．（24-25高二上·福建·期中）若等差数列满足，，则当 时，的前项和最小. 2．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知等差数列的首项为10，公差为，则数列的前项和的最大值为（    ） A． B．30 C．80 D．不存在 3．（24-25高二上·甘肃酒泉·期中）在等差数列中，已知，，则数列的前n项和的最大值为（    ） A．98 B．50 C．49 D．7 4．（23-24高二上·福建莆田·期中）已知为等差数列的前项和，且. (1)求的通项公式; (2)求的最大值. 题型十 等比数列的基本量计算 1．（24-25高二上·江苏苏州·期中）等比数列中，，，则的值为（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 2．（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）在正项等比数列中，为其前项和，，，则公比（    ） A． B． C．2 D．3 3．（24-25高三上·河北邯郸·月考）在等比数列中，，其前项和为，且是和的等差中项，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·海南·期中）已知首项为1的等比数列的前项和为，且成等差数列，则（    ） A． B．4或 C． D． 题型十一 等比数列通项的性质 1．（23-24高二下·海南·期中）已知正项等比数列，若，是方程的两个实数根，则（    ） A． B．15 C．20 D．25 2．（2024·四川成都·模拟预测）已知数列是等比数列，若，是的两个根，则 的值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·江苏南通·期末）设是公比不为1的等比数列，，，，成等差数列，则（    ） A． B． C．16 D． 4．（24-25高二上·江苏·月考）若数列是等比数列，且则 题型十二 等比数列的前n项和性质 1．（23-24高二下·山东烟台·期末）已知等比数列的前项和，则（    ） A． B．1 C． D．2 2．（23-24高二下·江西吉安·期末）设等比数列的前n项和为，且，则（    ） A． B． C．0 D．2 3．（23-24高二下·广东佛山·月考）设等比数列的前项和为，若，则 . 4．（24-25高二上·全国·随堂练习）若等比数列共有项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列的所有项之和为 ． 题型十三 等差/等比数列的证明 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列满足，证明：数列为等差数列． 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知正项数列满足，且． (1)判断数列是否为等差数列，并说明理由； (2)求数列的通项公式． 3．（23-24高二下·上海长宁·期末）已知数列满足，. (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式. 4．（23-24高二上·江苏·单元测试）数列的前n项和为，，且成等差数列． (1)求的值； (2)证明为等比数列，并求数列的通项公式． 题型十四 等差/等比数列的实际应用 1．（24-25高二上·吉林长春·期中）《九章算术》有这样一个问题；今有女子善织，日增等尺，七日织三十五尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十八尺，问第九日所织尺数为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．（23-24高二上·广西玉林·期末）南宋数学家杨辉所著的《解析九章算法》中有如下图所示的几何体，后人称之为“三角垛”.其最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，…，则第三十五层球的个数为（    ） A．561 B．595 C．630 D．666 3．（24-25高二上·福建漳州·期中）已知一小球从地面竖直向上射出到10m高度后落下，每次着地后又弹回到前一次高度的处，则该小球第6次落地时，经过的路程为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·安徽黄山·期末）我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关”，其大意是：有一个人要去某关口，路程为里，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程是前一天的一半，走了六天到达该关口，则此人第三天走的路程为（    ） A．48里 B．45里 C．43里 D．40里 题型十五 常见数列求和问题 1．（23-24高二下·江苏无锡·期中）对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数，请你根据上面的探究结果，解答以下问题： ①函数的对称中心坐标为 ； ②计算 . 2．（24-25高三上·内蒙古包头·开学考试）已知正项数列的前n项和为，且． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前2n项和． 3．（2024·全国·模拟预测）记为数列的前项和，为数列的前项和，已知． (1)证明：数列是等比数列； (2)若，求的前项和． 4．（24-25高二上·福建宁德·月考）已知数列的前n项和为，且，．设． (1)求证：数列是等比数列，并求． (2)求证：数列是等差数列，并求． (3)求数列的前项和． 题型十六 数学归纳法及其应用 1．（24-25高二上·甘肃白银·月考）用数学归纳法证明“”的过程中，从到时，左边增加的项数为（ ） A． B． C． D． 2．对于不等式，某同学用数学归纳法的证明过程如下： （1）当时，左边，右边，不等式成立. （2）假设当（且）时，不等式成立，即， 那么当时，， 所以当时，不等式成立，则上述证法（    ） A．过程全部正确 B．验证不正确 C．归纳假设不正确 D．从到的推理不正确 3．用数学归纳法证明：，． 4．已知正项数列的前项和为，满足． (1)求出数列的前三项； (2)根据数列的前三项猜想出其一个通项公式，并用数学归纳法证明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章：数列章末重点题型复习 题型一 由数列前几项写通项 1．（24-25高二上·山东青岛·期中）数列的一个通项公式 ． 【答案】 【解析】由题意可知，数列的奇数项为负，偶数项为正，分母为的指数幂，分子为项数的倍， 则通项公式为. 故答案为： 2．（24-25高二上·甘肃金昌·月考）若数列的前四项依次为2，12，112，1112，则的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由， 可得的一个通项公式为.故选：D. 3．（23-24高二上·湖北孝感·月考）数列的一个通项公式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】选项A：，不符合题意； 选项B：，不符合题意； 选项C：不符合题意； 而选项D中的通项公式满足数列，故选：D 4．（23-24高二下·安徽·期末）数列的通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于选项A：令，可得，不合题意； 对于选项B：代入检验均可，符合题意； 对于选项C：令，可得，不合题意； 对于选项D：令，可得，不合题意；故选：B. 题型二 根据递推关系求数列通项 1．（23-24高二下·安徽亳州·期中）若数列满足（且），，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由可得， 则有， . 故.故选：C. 2．（24-25高三上·河北石家庄·月考）已知数列满足，且，则的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，即， 所以，解得， 所以， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以．故选：C. 3．（24-25高二上·山东·期中）在数列中，，则的通项公式为 ． 【答案】； 【解析】， 故， 所以 . 故答案为： 4．（22-23高二上·河北保定·期末）数列中，若，，则 ． 【答案】 【解析】由可得， 所以, 所以， 因为，所以，所以， 故答案为:. 题型三 由数列的前n项和求数列通项 1．（24-25高二上·山东青岛·期中）已知数列的前项和，则（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】D 【解析】因为.故选：D 2．（24-25高二上·福建龙岩·月考）已知的前n项和为，，当时，，则的值为（    ） A．1009 B．1010 C．1011 D．1012 【答案】D 【解析】由题意可知：当时，可得， 因为，则，即， 当时，则， 两式相减可得，即， 可得，，， 所以．故选：D. 3．（23-24高二上·江苏南通·月考）设数列满足…，则 ． 【答案】 【解析】当时，， 由，① ，②， 由①-②得，， ，显然时不满足上式， ， 故答案为： 4．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）已知数列的前项和为，，（），则为 . 【答案】 【解析】数列的前项和，当时，， 整理得，即，显然当时，数列是常数列， 因此，所以. 故答案为： 题型四 数列的单调性与最大（小）值 1．（24-25高三上·广东汕头·开学考试）已知数列，则数列的前100项中的最小项和最大项分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】， 因为， 所以时，数列单调递增，且；时，数列单调递增，且. ∴在数列的前100项中最小项和最大项分别是.故选：B. 2．（23-24高二下·贵州毕节·月考）（多选）已知数列的通项公式为，则下列说法正确的是（    ） A．是数列的最小项 B．是数列的最大项 C．是数列的最大项 D．当时，数列递减 【答案】BCD 【解析】设第项为的最大项， 则，即，所以， 又，所以或， 故数列中与均为最大项，且， 当时，数列递减，故BCD正确， 当趋向正无穷大时，无限趋向于0且大于0，且， 所以不是数列的最小项，且数列无最小值，故A错误.故选：BCD 3．（23-24高二上·湖北襄阳·月考）已知数列的通项公式为，则数列中的最小项的值为 ．（用具体数字作答） 【答案】 【解析】由题意得， 故， 当时，，故， 当时，，故， 即得， 故数列中的最小项为， 故答案为： 4．（23-24高二下·安徽亳州·月考）数列的通项，则数列中的最大项的值为 . 【答案】 【解析】因为，则， 则， 令，即， 因为，解得，所以， 令，解得， 所以， 故数列中的最大项为，其值为. 故答案为：. 题型五 与周期有关的数列问题 1．（22-23高二上·江苏常州·期末）若数列满足，且，则（    ） A．－1 B．2 C． D． 【答案】A 【解析】由题意， ， 又 ， 是周期为3的周期数列， .故选：A. 2．（24-25高二上·江苏·期中）已知数列满足，，，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【解析】数列中，由，得， 因此数列是周期数列，周期为4，.故选：C 3．（24-25高二上·甘肃庆阳·期中）已知数列满足，且，则该数列前2024项的和为（    ） A．2015 B．2016 C．1518 D．1519 【答案】C 【解析】依题意，， 因此数列是以2为周期的周期数列， 所以该数列前2024项的和为.故选：C 4．（24-25高二上·福建宁德·月考）在数列中，，，，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解析】由，可得， 又，可得， 以此类推可知数列是以1，3，3，1循环排列的周期为4的数列， 故知.故选：B 题型六 等差数列的基本量计算 1．（24-25高二上·江苏镇江·期中）等差数列中，若，，则等于（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【解析】设等差数列的公差为，由，，得， 所以.故选：C 2．（24-25高二上·福建莆田·月考）已知等差数列的前n项和为，若，则（    ） A．36 B．35 C．42 D．38 【答案】D 【解析】设等差数列的公差为，则，解得， 故.故选：D. 3．（23-24高二下·海南海口·期中）数列为等差数列，为其前n项和，已知，，则不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，由，得，解得，故A正确，B错误； 则，C正确； ，D正确．故选：B． 4．（23-24高二下·河北张家口·开学考试）已知等差数列，，其前项和为，若，则（    ） A．0 B． C．2025 D． 【答案】A 【解析】设数列的公差为，则， 故， ， 故，则.故选：A. 题型七 等差数列通项的性质 1．（24-25高二上·广西南宁·期中）在等差数列中，若，则的值为（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】D 【解析】由题设， 所以.故选：D 2．（24-25高二上·福建龙岩·期中）公差不为0的等差数列中，，则的值不可能是（    ） A．9 B．16 C．22 D．25 【答案】C 【解析】因为，所以， 又，， 所以或或或或或或或或， 所以的值可能是，，，，.故选：. 3．（23-24高二下·湖北·期中）在等差数列中，是数列的前项和，，则（    ） A．118 B．128 C．138 D．148 【答案】C 【解析】由，又，所以， 由题意得．故选：C． 4．（23-24高二下·陕西渭南·期中）已知为等差数列，，，则（    ） A．6 B．9 C．12 D．17 【答案】B 【解析】因为，且，所以， 又，所以， 又，所以，解得.故选：B 题型八 等差数列的前n项和性质 1．（24-25高三上·辽宁·月考）已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，即， 所以．故选：A. 2．（2025·四川巴中·模拟预测）已知是等差数列的前n项和，若，则（    ） A．44 B．56 C．68 D．84 【答案】D 【解析】由题意可得，，成等差数列， 所以， 因为，， 则，解得.故选：D. 3．（23-24高二上·河北保定·期末）已知数列满足，的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，数列是以为公差的等差数列， ， 数列是以为公差的等差数列，. 故选：B. 4．（23-24高二下·广东茂名·期末）已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为，所有偶数项的和为，则此数列的项数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设该等差数列中有项，其中偶数项有项，奇数项有项， 设等差数列的前项和为，则， 为等差数列，，，解得， ，此数列的项数是项.故选：. 题型九 等差数列的前n项和最值 1．（24-25高二上·福建·期中）若等差数列满足，，则当 时，的前项和最小. 【答案】18 【解析】由，所以， 又，所以，所以当时，的前项和最小. 故答案为：18 2．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知等差数列的首项为10，公差为，则数列的前项和的最大值为（    ） A． B．30 C．80 D．不存在 【答案】B 【解析】由题意可知：，且数列为递减数列， 当时，；当时，；当时，； 所以数列的前项和的最大项数为5或6，最大值为.故选：B. 3．（24-25高二上·甘肃酒泉·期中）在等差数列中，已知，，则数列的前n项和的最大值为（    ） A．98 B．50 C．49 D．7 【答案】C 【解析】设公差为，因为，， 所以，即，解得， 所以， 所以当时取得最大值，最大值为.故选：C 4．（23-24高二上·福建莆田·期中）已知为等差数列的前项和，且. (1)求的通项公式; (2)求的最大值. 【答案】(1)；(2)100. 【解析】（1）在等差数列中，由，得，解得， 而，因此数列的公差， 所以. （2）由（1）知，数列是递减数列，由，得， 因此数列的前8项都为正，从第9项起为负，则数列的前8项和最大， 而，所以. 题型十 等比数列的基本量计算 1．（24-25高二上·江苏苏州·期中）等比数列中，，，则的值为（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】B 【解析】设等比数列的公比为q， 则，因为， 所以， 所以.故选：B 2．（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）在正项等比数列中，为其前项和，，，则公比（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【解析】由题意可知， 因为，， 所以，， 两式相除得，即， 因为，所以.故选：B 3．（24-25高三上·河北邯郸·月考）在等比数列中，，其前项和为，且是和的等差中项，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设等比数列的公比为，若，则等比数列为摆动数列， 这与矛盾，故， 根据题意得，则，解得或（舍）. 则. 4：A. 4．（23-24高二下·海南·期中）已知首项为1的等比数列的前项和为，且成等差数列，则（    ） A． B．4或 C． D． 【答案】D 【解析】由成等差数列，得， 设公比为，若，此时，此时不满足； 若，则， 故，即， 由于，故，解得或1（舍去）， 所以，故选：D 题型十一 等比数列通项的性质 1．（23-24高二下·海南·期中）已知正项等比数列，若，是方程的两个实数根，则（    ） A． B．15 C．20 D．25 【答案】D 【解析】，是方程的两个实数根，， ， 为正项等比数列，．故选：D 2．（2024·四川成都·模拟预测）已知数列是等比数列，若，是的两个根，则 的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】若，是的两个根，则， 因为数列是等比数列，，.故选：C. 3．（23-24高二上·江苏南通·期末）设是公比不为1的等比数列，，，，成等差数列，则（    ） A． B． C．16 D． 【答案】A 【解析】因为等比数列满足，可得，解得， 又因为，，成等差数列，可得， 所以，解得或（舍去）， 所以.故选：A. 4．（24-25高二上·江苏·月考）若数列是等比数列，且则 【答案】 【解析】等比数列中，，， 则． 故答案为：8． 题型十二 等比数列的前n项和性质 1．（23-24高二下·山东烟台·期末）已知等比数列的前项和，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【解析】时，， 又，数列等比数列， ∴，即，解得．故选：D． 2．（23-24高二下·江西吉安·期末）设等比数列的前n项和为，且，则（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】C 【解析】法一：设等比数列的公比为， 等比数列的前n项和为，显然当时不合题意，则不等于1， 则， 令，则有，由题意，得. 法二：当时，， 当时，. ， 为等比数列，当时，， 化简得.故选：C. 3．（23-24高二下·广东佛山·月考）设等比数列的前项和为，若，则 . 【答案】21 【解析】设，则. 因为为等比数列，所以仍成等比数列. 又，所以，即， 所以， 故答案为：21. 4．（24-25高二上·全国·随堂练习）若等比数列共有项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列的所有项之和为 ． 【答案】300 【解析】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为， 则， ， 由题意可得：，即，解得， 故数列的所有项之和是. 故答案为：300. 题型十三 等差/等比数列的证明 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列满足，证明：数列为等差数列． 【答案】证明见解析 【解析】由，得， 所以，所以数列是以为公差的等差数列． 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知正项数列满足，且． (1)判断数列是否为等差数列，并说明理由； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)是，理由见解析；(2) 【解析】（1）由正项数列满足， 可得，即， 即， 又由，可得， 故数列是首项为，公差为2的等差数列． （2）由（1）可得． 所以， 将以上式子累加，可得， 可得，所以． 3．（23-24高二下·上海长宁·期末）已知数列满足，. (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式. 【答案】(1)证明过程见解析；(2) 【解析】（1）因为，所以，即， 即数列是以为首项，3为公比的等比数列； （2）由（1）可得，所以数列的通项公式为. 4．（23-24高二上·江苏·单元测试）数列的前n项和为，，且成等差数列． (1)求的值； (2)证明为等比数列，并求数列的通项公式． 【答案】(1)；(2)证明见解析， 【解析】（1）由， 令，得 ① 又成等差数列， 则② 则由①②解得； （2）证明：由 当时，， 得到，则，， 由（1）知，则，则，满足上式， 所以，且， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，则． 题型十四 等差/等比数列的实际应用 1．（24-25高二上·吉林长春·期中）《九章算术》有这样一个问题；今有女子善织，日增等尺，七日织三十五尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十八尺，问第九日所织尺数为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【解析】由题意得，该女子每日织布的尺数构成等差数列，记等差数列的前项和为， ，解得， 所以.故选：D. 2．（23-24高二上·广西玉林·期末）南宋数学家杨辉所著的《解析九章算法》中有如下图所示的几何体，后人称之为“三角垛”.其最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，…，则第三十五层球的个数为（    ） A．561 B．595 C．630 D．666 【答案】C 【解析】由题意，设各层球的个数构成数列， 可得， 所以，则.故选：C. 3．（24-25高二上·福建漳州·期中）已知一小球从地面竖直向上射出到10m高度后落下，每次着地后又弹回到前一次高度的处，则该小球第6次落地时，经过的路程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设小球第一次落地时经过的路程为，第次落地到第次落地经过的路程为， 由题意，，数列从第二项起构成以首项为，公比为的等比数列， 则第6次着地后经过的路程为（），故选：D 4．（23-24高二上·安徽黄山·期末）我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关”，其大意是：有一个人要去某关口，路程为里，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程是前一天的一半，走了六天到达该关口，则此人第三天走的路程为（    ） A．48里 B．45里 C．43里 D．40里 【答案】A 【解析】设第六天走的路程为里，则第五天走的路程为里， 依此往前推，第一天走的路程为里， 结合题意可得：，解得， 则第三天走的路程为里.故选：A. 题型十五 常见数列求和问题 1．（23-24高二下·江苏无锡·期中）对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数，请你根据上面的探究结果，解答以下问题： ①函数的对称中心坐标为 ； ②计算 . 【答案】 2023 【解析】①因为， 所以，所以， 由得，此时， 由题意可得，即为函数的对称中心； ②由①知，函数关于中心对称， 所以，即， 因此； 记， 则 ， 所以. 故答案为：；. 2．（24-25高三上·内蒙古包头·开学考试）已知正项数列的前n项和为，且． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前2n项和． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）依题意，，， 当时，，解得，（舍去）. 当时，由得， 两式相减得， 即，由于， 所以，所以数列是首项为， 公差为的等差数列，所以（也符合）. （2）由（1）得， 所以 . 3．（2024·全国·模拟预测）记为数列的前项和，为数列的前项和，已知． (1)证明：数列是等比数列； (2)若，求的前项和． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）证明：，，， 当时，， ，， ， 是以为首项，为公比的等比数列； （2）由（1）知，， 当时，， 当时，，符合的情况， ， ， 设的前项和为， ， ． 4．（24-25高二上·福建宁德·月考）已知数列的前n项和为，且，．设． (1)求证：数列是等比数列，并求． (2)求证：数列是等差数列，并求． (3)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析，；(2)证明见解析，；(3) 【解析】（1）数列的前n项和为，且，． 则时， 两式相减得，即， 令，则，故． 又，，则，则. 则数列是首项为2公比为2的等比数列，故. （2）由（1）可得，，， 则，等式两边同时除以可得，， 又，则数列是首项为公差为的等差数列， 故，则 （3）由（2）得，则， 令， 则， 上式减去下式得， 则 题型十六 数学归纳法及其应用 1．（24-25高二上·甘肃白银·月考）用数学归纳法证明“”的过程中，从到时，左边增加的项数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】时，可得： 时，可得：， 故增加了项.故选：A 2．对于不等式，某同学用数学归纳法的证明过程如下： （1）当时，左边，右边，不等式成立. （2）假设当（且）时，不等式成立，即， 那么当时，， 所以当时，不等式成立，则上述证法（    ） A．过程全部正确 B．验证不正确 C．归纳假设不正确 D．从到的推理不正确 【答案】D 【解析】在时，没有应用时的归纳假设，不是数学归纳法.故选：D. 3．用数学归纳法证明：，． 【答案】证明见解析 【解析】当时，左边， 右边，命题成立； 假设时，命题成立，即， 则当时， ， 所以时命题成立， 综上，． 4．已知正项数列的前项和为，满足． (1)求出数列的前三项； (2)根据数列的前三项猜想出其一个通项公式，并用数学归纳法证明． 【答案】(1)；；． (2)当时，，证明见解析． 【解析】（1）当时，由已知条件可得， 即，解得； 当时，由已知条件可得， 将代入得，解得； 当时，由已知条件可得，同理解得． （2）由（1）可以猜想，时，等式成立； 假设当时，等式也成立，即， 又因为， 将代入上式解得， 所以时命题成立． 综合可得，当时，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$