精品解析：重庆巴南育才实验中学校2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷

重庆巴南育才实验中学校2024-2025学年（上） 初2023级第五学段数学试卷 （全卷共三个大题，满分150分，用时120分钟） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列四个图形中，是的高的是（ ） A. B. C. D. 2. 一个三角形的两边长度分别是4和7，第三条边的长度是一个偶数，则第三边长度不可能是（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 4 3. 下列说法正确的是（ ） A. 周长相等的三角形是全等三角形 B. 形状相同大小相等的三角形是全等三角形 C. 面积相等的三角形是全等三角形 D. 所有的等边三角形都是全等三角形 4. 如图，按以下方法作一个角的平分线：（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA、OB于点M、N．（2）分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．（3）画射线OC，射线OC即为所求．这种作图方法的依据是（ ） A. AAS B. SAS C. SSS D. ASA 5. 若一个多边形的内角和，则这个多边形的边数为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 6. 的正确结果是（ ） A. B. 1 C. D. 7. 如图，，，垂足分别为D，E，，相交于点F，连接，．图中的全等三角形一共有（ ） A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 8. 如图，是的角平分线，于点，，，，则的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9. 若，，则的值为（ ） A. 6 B. C. D. 8 10. 将多项式进行因式分解结果是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，将一些长度完全相同的木棒拼成一组有规律的图案，其中第1个图案中有9根木棒，第2个图案中有12根木棒，第3个图案中有15根木棒，……，则第2024个图案中木棒的根数为（ ） A. 2024 B. 6072 C. 6075 D. 6078 12. 如图，AB＝AD，AC＝AE，，AH⊥BC于H，HA的延长线交DE于G，下列结论：①DG＝EG；②BC＝2AG；③AH＝AG；④，其中正确的结论为（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 13. 如下图所示，这种运动器材设计所应用的几何原理是______． 14. ______． 15. 如下图所示，、、是五边形的三个外角，边、的延长线相交于点，如果，那么的度数为______． 16. 若我们规定，，则______． 17. 多项式因式分解的结果______． 18. 如图，在中，，，D是上一点，将沿折叠，则_______°． 19. 如图，中，是上的中线，是中边上的中线，若的面积是，则的面积是_____． 20. 如图，将四张都是长为，宽为的长方形纸片按如图所示的方式拼成一个边长为的正方形，则图中阴影部分的面积为______． 21. 如图，在中，平分，，于点，点在上，且．若，，则的长为______． 22. 若一个整数能表示成（a，b是正整数）的形式，则称这个数为“丰利数”．例如，2是“丰利数”，因为，再如，（，y是正整数），所以M也是“丰利数”．若（其中）是“丰利数”，则__________． 三、解答题（本大题共8个小题，23-28每小题10分，29、30每小题12分，共84分） 23. 计算： （1） （2） 24. 因式分解： （1）； （2）． 25. 在直角三角形中，，是边上的高，，，． （1）求的长； （2）若的边上的中线是，求出的面积． 26. 先化简，再求值：，其 ． 27. 如图，是的外角的角平分线，且交的延长线于点． （1）若，求的度数； （2）求证：． 28. （1）如果关于的两个多项式与相乘展开后的结果不含有一次项，且二次项系数是1，求和的值； （2）已知的三边，，的长都是互不相等的正整数，且满足，求的最大边的长． 29. 如图，，且点B，D，C在一条直线上，点F在上，延长交于点E． （1）试说明：． （2）若，，求的长． 30. 已知：如图，中，，点A在y轴上，点B、点C分别在x轴的负半轴与正半轴上，，． （1）求点B的坐标． （2）动点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，过点P作轴，交直线于点M，设线段的长为d，点P的运动时间为t秒，求d与t的关系式（用t表示d，不用写出t的取值范围）． （3）在（2）的条件下，动点Q从点B向终点C运动（与点P同时出发），速度为3个单位长度/秒，作等边（点Q、P、H按顺时针顺序排列），连接，若，求t值和的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆巴南育才实验中学校2024-2025学年（上） 初2023级第五学段数学试卷 （全卷共三个大题，满分150分，用时120分钟） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列四个图形中，是的高的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的高的定义，牢记相关的知识点是解题关键． 根据三角形的高的定义分析判断即可得到答案． 【详解】解：A、不是的高，选项不符合题意； B、不是的高，选项不符合题意； C、线段BD是的高，选项符合题意； D、不是的高，选项不符合题意． 故选：C 2. 一个三角形的两边长度分别是4和7，第三条边的长度是一个偶数，则第三边长度不可能是（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查三角形三边长的关系，通过不等式，得到第三边长的取值范围，是解题的关键． 设第三边长为x，根据三角形三边长的关系得到，求出，即可得到答案． 【详解】解：∵三角形的两边长分别是4和7，设第三边长为x ∴，即，， ∵第三边长是一个偶数， ∴第三边长是4或6或8或10， ∴第三边长度不可能是12． 故选：A． 3. 下列说法正确的是（ ） A. 周长相等的三角形是全等三角形 B. 形状相同大小相等的三角形是全等三角形 C. 面积相等的三角形是全等三角形 D. 所有的等边三角形都是全等三角形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的概念，牢记概念，要从形状和大小两个方面来考虑两个三角形是否完全重合是解题的关键． 根据全等三角形的定义“能够完全重合的两个三角形”对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A. 周长相等的三角形，形状不一定相同，大小不一定相等，所以不一定是全等三角形，原说法错误，故选项不符合题意； B. 形状相同大小相等的三角形能够完全重合，是全等三角形，原说法正确，故选项符合题意； C. 面积相等的三角形，形状不一定相同，所以不一定完全重合，原说法错误，故选项不符合题意； D. 所有的等边三角形形状相同，但是大小和边长有关，边长不相等，则不能够重合，原说法错误，故选项不符合题意； 故选：． 4. 如图，按以下方法作一个角的平分线：（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA、OB于点M、N．（2）分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．（3）画射线OC，射线OC即为所求．这种作图方法的依据是（ ） A. AAS B. SAS C. SSS D. ASA 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本作图得到，，又因为为公共边，根据全等三角形的判定方法可证明． 【详解】解：由作法得，， 而又为公共边， 所以根据“”可判定， 所以，即平分． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了作图复杂作图，全等三角形的判定，角平分线，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法． 5. 若一个多边形的内角和，则这个多边形的边数为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】首先设多边形的边数为n，再根据多边形内角和公式可得方程180°（n-2）=1620°，再解即可． 【详解】解：设多边形的边数为n，由题意得： 180°（n-2）=1620°， 解得：n=11， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角与外角，关键是掌握多边形内角和定理：（n-2）•180° （n≥3）且n为整数）． 6. 的正确结果是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘法与积的乘方，掌握同底数幂的乘法与积的乘方的运算性质是正确计算的前提． 根据同底数幂的乘法与积的乘方的逆用进行计算即可． 【详解】解： ． 故选：D． 7. 如图，，，垂足分别为D，E，，相交于点F，连接，．图中的全等三角形一共有（ ） A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据已知条件结合全等三角形的判定方法，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即：， ∵， ∴， ∵， ∴， 综上，共有4对全等三角形； 故选D． 8. 如图，是的角平分线，于点，，，，则的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，过D作于F，由角平分线的性质定理即可求出，再计算出，最后根据，即可求出的值． 【详解】解：过D作于F， ∵是的角平分线，， ∴， ∵， ∵的面积为7， ∴ 即， 解得：， 故选：B． 9. 若，，则的值为（ ） A. 6 B. C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】将两边平方，再与两边相减，然后将利用完全平方公式展开，即可求出的值． 【详解】解：，， ， ， ， 即：， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了等式的性质，等式的性质，完全平方公式，代数式求值等知识点，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 10. 将多项式进行因式分解结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 将看成整体利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】解： ． 故选：A． 11. 如图，将一些长度完全相同的木棒拼成一组有规律的图案，其中第1个图案中有9根木棒，第2个图案中有12根木棒，第3个图案中有15根木棒，……，则第2024个图案中木棒的根数为（ ） A. 2024 B. 6072 C. 6075 D. 6078 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了规律探究．解题的关键在于推导出一般性规律．根据题意可以推导出一般性规律为：第n个图案，用根小棒，问题随之得解． 【详解】解：由题意知，第1个图案，用9根小棒，而； 第2个图案，用12根小棒，而； 第3个图案，用15根小棒，而； 推导出一般性规律为：第n个图案，用根小棒； ∵第2024个图案中木棒的根数为：； 故选：D． 12. 如图，AB＝AD，AC＝AE，，AH⊥BC于H，HA的延长线交DE于G，下列结论：①DG＝EG；②BC＝2AG；③AH＝AG；④，其中正确的结论为（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】①如图，过点分别作的垂线交及的延长线于点，证明，，即可得结论；②延长至，使，连接证明，取的中点，连接并延长至，使得，可得，证明，，则可得，即，；③由①可知，故不一定等于；④，由②可知，，则，由可得即可得 【详解】解：①如图，过点分别作的垂线交及的延长线于点， AB＝AD，AC＝AE，，AH⊥BC 同理可得 又 故①正确 ②如图，延长至，使，连接 ， 如图，取的中点，连接并延长至，使得， 是的中点， ， ， 又 ③如图，由①可知，故不一定等于 故③不正确 ④如图，由②可知， 故④正确 综上所述，故正确的有①②④ 故选B 【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 13. 如下图所示，这种运动器材设计所应用的几何原理是______． 【答案】三角形的稳定性 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性及应用，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键：如果三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个特征，叫做三角形的稳定性．三角形的稳定性是指三角形与其他多边形相比，具有不容易扭转或变形的特点．为了更好的理解三角形的稳定性，必须注意两点：要看图形是否具有稳定性，关键在于它的结构是不是三角形结构；除了三角形外，其他图形都不具备稳定性，因此在生产建设中，三角形的应用非常广泛． 根据三角形的稳定性即可得出答案． 【详解】解：应用的几何原理是：三角形的稳定性， 故答案为：三角形的稳定性． 14. ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了零指数幂，含乘方的有理数混合运算等知识点，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 先计算零指数幂和乘方运算，然后对括号内的部分进行通分并进行加减运算，得出结果后再按照先乘除后加减的顺序进行计算即可． 【详解】解： ． 15. 如下图所示，、、是五边形的三个外角，边、的延长线相交于点，如果，那么的度数为______． 【答案】##210度 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，多边形的外角和等知识点，熟练掌握多边形的外角和是解题的关键：在多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．边形有个外角，而外角和是每个顶点处取一个外角的和，不是所有外角的和．多边形的外角和等于． 由三角形的内角和定理可得，然后利用多边形的外角和为即可得出答案． 【详解】解：， ， 多边形的外角和为， ， 故答案为：． 16. 若我们规定，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了新定义运算，有理数的含乘方的混合运算，根据题意列出算式求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 17. 多项式因式分解的结果______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了十字相乘法分解因式，牢记十字相乘法分解因式的方法是解题的关键：对于形如的二次三项式，若能找到两数、，使，且，那么就可以进行如下的因式分解，即． 按照十字相乘法分解因式的方法进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 18. 如图，在中，，，D是上一点，将沿折叠，则_______°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），三角形内角和定理，根据折叠的性质和三角形内角和定理即可得到结论，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵将沿折叠，使点C落在边上的点E处， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：50． 19. 如图，中，是上的中线，是中边上的中线，若的面积是，则的面积是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形面积的求法，解题的关键是掌握：三角形的中线平分三角形的面积．据此求出面积比，即可解答． 【详解】解：∵是上的中线， ∴， ∵是中边上的中线， ∴， ∴， ∵的面积是， ∴， ∴的面积是． 故答案为：． 20. 如图，将四张都是长为，宽为的长方形纸片按如图所示的方式拼成一个边长为的正方形，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式的几何背景，整式乘法的混合运算，根据阴影部分的面积等于大正方形面积减空白部分面积列代数式是解题的关键．根据阴影部分的面积等于大正方形面积减空白部分面积列代数式整理计算即可． 【详解】解：阴影部分的面积为 故答案为：． 21. 如图，在中，平分，，于点，点在上，且．若，，则的长为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，熟知利用证明三角形全等是解题的关键． 由角平分线的性质得到，利用证明，即可证明，设，则，再利用证明，得到，即，解方程即可得到答案． 【详解】∵平分，于点E， ∴． 在与中， ， ∴， ∴． 设，则， 在与中， ， ∴， ∴，即， 解得，即． 故答案为：2． 22. 若一个整数能表示成（a，b是正整数）的形式，则称这个数为“丰利数”．例如，2是“丰利数”，因为，再如，（，y是正整数），所以M也是“丰利数”．若（其中）是“丰利数”，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】先把变形，然后根据是“丰利数”，得出是一个完全平方式，即可求解． 【详解】解： ， ∵是“丰利数”， ∴是一个完全平方式， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，正确理解新概念“丰利数”是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，23-28每小题10分，29、30每小题12分，共84分） 23. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）原式利用多项式乘多项式法则计算即可得到结果； （2）原式利用多项式乘多项式法则计算即可得到结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 24. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解，掌握综合提公因式和公式法分解因式是解题关键． （1）先提取公因式2，再根据完全平方公式分解因式即可； （2）先提取公因式a，再根据平方差公式分解因式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 25. 在直角三角形中，，是边上的高，，，． （1）求的长； （2）若的边上的中线是，求出的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形面积的计算和中线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）利用三角形的等面积法即可求得的长； （2）根据中线的性质可得出，再根据，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得： 又，，， ， 解得：， 则的长为； 【小问2详解】 解：的边上的中线是，，， ， ， 则的面积为． 26. 先化简，再求值：，其 ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算化简求值的运算能力．先利用完全平方公式、平方差公式、整式的乘法法则，再合并同类项对式子进行化简；将代入化简后的式子中计算即可得出结果． 【详解】解: . 将 代入， 得 27. 如图，是的外角的角平分线，且交的延长线于点． （1）若，求的度数； （2）求证：． 【答案】（1） （2） 证明：平分， ． ， ． ， ． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义和三角形的外角定理，熟练掌握并应有三角形外角定理是解题关键． （1）先根据邻补角的定义和角平分线定义求出，再根据三角形外角性质求解即可； （2）先根据角平分线定义得到，再根据三角形外角性质进行角的代换即可证明结论． 【小问1详解】 解：， ． 是的外角的角平分线， ， ． 【小问2详解】 略 28. （1）如果关于的两个多项式与相乘展开后的结果不含有一次项，且二次项系数是1，求和的值； （2）已知的三边，，的长都是互不相等的正整数，且满足，求的最大边的长． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组和完全平方公式及三角形三边关系，熟练掌握二元一次方程组和三角形三边关系是解题的关键． （1）将两个多项式相乘，展开后得到三次式，根据题意列出方程并求解，即可得到答案； （2）先利用完全平方公式，再根据三角形三边关系可进行求解． 【详解】解：（1）由题可得：， ∵此多项式不含有一次项，且二次项系数是1， ∴ ∴； （2）∵， ∴， ∴，， ∵，，为的三边长，且都是互不相等的正整数， ∴， ∴，且最长， ∴． 29. 如图，，且点B，D，C在一条直线上，点F在上，延长交于点E． （1）试说明：． （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，， ∵点B，D，C在一条直线上， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，对应角相等． （1）根据全等三角形的对应角相等可得，，再由等量代换即可证明； （2）根据全等三角形的对应边相等可得，，再由等量代换即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 30. 已知：如图，中，，点A在y轴上，点B、点C分别在x轴的负半轴与正半轴上，，． （1）求点B的坐标． （2）动点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，过点P作轴，交直线于点M，设线段的长为d，点P的运动时间为t秒，求d与t的关系式（用t表示d，不用写出t的取值范围）． （3）在（2）的条件下，动点Q从点B向终点C运动（与点P同时出发），速度为3个单位长度/秒，作等边（点Q、P、H按顺时针顺序排列），连接，若，求t值和的长． 【答案】（1） （2） （3），或， 【解析】 【分析】（1）根据点C的坐标得出的长度，再结合含角的直角三角形，角所对的边是斜边的一半，得出各条边的长度，最后根据勾股定理即可得出结论； （2）根据平行线的性质可知，再结合含角的直角三角形，角所对的边是斜边的一半即可得出关系式； （3）分两种情况进行讨论，当点H在x轴下方时和当点H在x轴上方时，画出辅助线，根据等边三角形的性质构建全等三角形即可进行解答． 【小问1详解】 解：∵中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理可得：， ∴， 在中，根据勾股定理可得：， ∴． 【小问2详解】 解：如图： ∵点P的速度每秒1个单位长度，运动时间为t秒， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：当点H在x轴下方时，如图：在x轴上截取，连接 ∵，， ∴为等边三角形，则， ∵为等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，解得：， 当时，， 根据勾股定理得：， ∴，． 当点H在x轴上方时，如图：在x轴上截取，连接， ∵，， ∴为等边三角形，则， ∵为等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，解得：， 当时，， 根据勾股定理得：， ∴，． 综上：，或，． 【点睛】本题主要考查了三角形的综合问题，解题的关键是熟练掌握勾股定理，含角的直角三角形三边之间关系，三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $