4.1.1数列的概念（第二课时）课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

数列的概念 第二课时 1.数列的概念是什么? 一般地,我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列。数列中的每一个数都叫做数列的项。 数列的一般形式是 : ,简记为. 2.什么是数列的通项公式? 如果数列的第项与之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。 温故知新 1、数列中的每一个数叫做这个数列的 。 2、各项依次叫做这个数列的 (首项), … , … 3、数列的一般形式可以写成: a1,a2,a3,…,an,…, 简记为 。 {an} 项 第1项 第2项 第n项 3、数列的概念与一般形式: 注意:{ an }与an 区别与联系 { an }表示整个数列 a1,a2,a3,…,an,… ; an 只是表示数列{ an }中的第 n 项, 温故知新 3 由此可知,从第1个月开始,每月末的兔子总对数是1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,889,144,…. 新知探究 例4 图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形. 在图中4个大三角形中, 着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项, 写出这个数列的一个通项公式. 着色的三角形个数: 1 3 9 27 思考 换个角度你能用数学语言归纳出后一项与前一项的关系吗? 3 3 3 a1=1 a2=3a1 a3=3a2 a4=3a3 从第二项起,后一项是前一项的3倍 3an-1(n≥2) 1(n=1) an= 猜想 新知探究 像这样,如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式.知道了首项或前几项,以及递推公式,就能求出数列的每一项了. l 数列的递推公式注意事项: (1)两个条件: ①已知数列的第1项(或前几项); ②从第2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an-1(或前几项)间的关系 可以用一个公式来表示. 具备以上两个条件的公式叫做这个数列的递推公式. (2)结论: 一、数列的递推公式 新知探究 思考:通项公式与递推公式有什么联系呢? 项与序号之间的关系: 通项公式 项与项之间的关系: 递推公式 区别 联系:两者都能确定一个数列. 新知探究 例5、已知数列{an}满足 写出它的前5项,并猜想它的通项公式。 新知探究 如果把这五项相加得到的数叫这个数列的前五项和,那么如果是将它的前n项相加呢?得到的叫什么? 二、数列的前n项和 我们把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列{an}的前n项和,记作Sn,,即 Sn =a1+a2+...+an 如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式. 新知探究 思考: 数列的前n项和公式Sn与数列的通项公式an有什么关系呢? 当n≥2时, 当n = 1时, Sn 与an的关系式 已知Sn求出an依据的是Sn的定义:Sn=a1+a2+…+an,分段求解,然后检验结果能否统一形式,能就写成一个,否则只能写成分段函数的形式. 新知探究 解: 当n=1时,a1=2 1=2依然成立. 当n = 1时, 当n≥2时, 综上所述,{an}的通项公式是an =2n . 解: 当n = 1时, 当n =≥2时, 当n=1时,a1=4 1-3=1,不符合上式. 综上所述,{an}的通项公式是 an = 变式:已知数列{an}的前n项和公式为Sn =2n2-n+2,n∈N*求{an}的通项公式. 新知应用 规律方法 已知前n项和Sn求通项an的方法 新知应用 1. 根据下面的图形及相应的点数,写出点数构成的数列的一个通项公式,并在横线上和括号中分别填上第5项的图形和点数. 21 13 35 课后练习 课本练习P8 2. 根据下列条件, 写出数列{an}的前5项: 试猜想它们的通项公式 课后练习 课本练习P8 课后练习 课本练习P8 课后练习 课本练习P8 课本习题P9 课后习题4.1 例1:已知数列满足,写出这个数列的通项公式. 解:(1)由递推式可得, a2-a1 = 1, a3-a2 = 1, … an-an-1 = 1 把以上个式子相加,得 an -a1 = n -1 ∴数列的通项为 an = n. 总结:一般递推关系为an+1= f (n)+an,即an+1 - an = f (n)时,可用累加法求通项公式. 又∵ = 1,符合上式, 累加法 三、由递推公式求数列的通项公式 新知探究 被减数有多少个, 就有多少个 an = n -1+a1=n 例2:已知数列{an}满足写出这个数列的通项公式. 解:由递推式可得 ∴数列的通项为 把以上个式子相乘得 又 ∵a1 = 1,符合上式 总结:一般递推关系为an+1= f (n) an, 即 时,可用累乘法求通项公式. 累乘法 三、由递推公式求数列的通项公式 除数有多少个, 就有多少个 新知探究 19 2.累加法 一般递推关系为an+1= f (n)+an,即an+1 - an = f (n)时,常用an= (an - an-1 )+ (an-1 - an-2 )+…+(a2 - a1 )+a1求通项公式. 3.累乘法 一般递推关系为an+1= f (n) an, 即 时,常用 求通项公式. 由递推公式求通项公式的常用方法 1.归纳法:根据数列的某项和递推公式,求出数列的前几项, 归纳出通项公式 新知探究 √ 新知应用 所以a100-a99=lg 100-lg 99, … a3-a2=lg 3-lg 2, a2-a1=lg 2-lg 1, 以上99个式子累加得a100-a1=lg 100, 所以a100=lg 100+1=3. 解析: 新知应用 新知应用 当n=1时,a1=2满足上式. 如果用表示第n个月的兔子的总对数,可以看出 这是一个由递推公式给出的数列,称为斐波那契数列. 已知数列{an}的前n项和公式Sn,求通项公式an的步骤: (1)当n=1时,a1=S1. (2)当n≥2时,根据Sn写出Sn-1,化简an=Sn-Sn-1. (3)如果a1也满足当n≥2时,an=Sn-Sn-1的通项公式,那么数列{an}的通项公式为an=Sn-Sn-1;如果a1不满足当n≥2时,an=Sn-Sn-1的通项公式,那么数列{an}的通项公式要分段表示为 an= 变式1: 若数列{an}满足an+1-an=lg,且a1=1,则数列{an}的第100项为 A.2 B.3 C.1+lg 99 D.2+lg 99 因为an+1-an=lg=lg =lg(n+1)-lg n, ∵an+1=an,a1=2, ∴an≠0,∴=, ∴an= … a1= … 2=(n≥2). 变式2: 设在数列{an}中,a1=2,an+1=an,则an=_. $$