精品解析：广东省实验中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

广东实验中学2024-2025学年（上）高一级期中考试 数学 本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.开考前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、班级、考号等相关信息填写在答题卡指定区域内. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题：p：的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称命题的否定判断即可. 【详解】命题，的否定为，. 故选：C. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式化简集合，再根据补集和交集运算求解即可. 【详解】因为，可得， 即集合，可得， 又因为，解得，即集合， 所以. 故选：D. 3. 已知是偶函数，若方程有且仅有两实根，，那么（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析函数关于直线对称，根据对称性即可得结果. 【详解】若是偶函数，则， 可知函数关于直线对称， 若方程有且仅有两实根，，根据对称性可得. 故选：C. 4. 若幂函数在上单调递增，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】利用幂函数的定义求得的值，再利用幂函数的单调性检验即可得解. 【详解】因为是幂函数， 所以，解得或， 当时，，则在上单调递减，不满足题意； 当时，，则在上单调递增，满足题意； 综上，. 故选：D. 5. 已知，则的最小值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】变形后运用基本不等式计算即可. 【详解】解：因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：A 6. “函数的定义域为”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知：在上恒成立，进而可得，结合包含关系分析充分、必要条件即可. 【详解】若函数的定义域为，则在上恒成立， 则，解得， 又因为是的真子集， 所以“函数的定义域为”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 7. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出的零点个数可排除A；求出的定义域可排除C；根据时函数值的正负可排除D. 【详解】令，得，所以只有1个零点， 即函数的图象与轴只有1个交点，故A错误； 由，得， 所以的定义域为，故C错误； 当时，，故D错误. 故选：B. 8. 已知函数，若方程有且仅有一根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别讨论及，根据的值，确定实数的取值范围. 【详解】若，则， 而当时，当时，所以无解； 若，则或， 其中有一根为，则由题意知无解， 而当时，当时，所以的值域为， 从而，解得，所以. 综上，的取值范围是， 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分. 9. 如下四个结论中，正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系以及集合间的基本关系以及空集的定义判断即可. 【详解】元素与集合的关系以及集合间的基本关系可知 正确，错误，正确，错误， 故选：AC. 10. 下列判断正确的有（ ） A. B. C. 若，，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】结合幂函数单调性判断A，结合指数函数单调性判断B，根据不等式性质判断CD. 【详解】对于A，因为在上单调递增，，所以，故A错误； 对于B，，因为在上单调递增，，所以，故B正确； 对于C，因为，所以，又因为，根据不等式的性质，所以，故C正确； 对于D，因为，所以，根据不等式性质，故D正确， 故选：BCD. 11. 悬链线是指两端固定的一条均匀、柔软的链条，在重力的作用下所呈现的曲线形状，例如悬索桥、电线等都自然呈现这一形状.数学家和物理学家计算发现，悬链线是不同于抛物线的一类曲线，在特定的坐标系下，其函数解析式可以表示为（其中a，b是非零常数，无理数），对于函数，以下结论正确的是（ ） A. 是为奇函数的充要条件 B. 是为偶函数的必要不充分条件 C. 若，则为单调函数 D. 若，则存在最大值或最小值 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据奇偶函数的定义、充分条件和必要条件的判定方法可判断AB；利用导数，分类讨论函数的单调性，结合极值点与最值的定义可判断CD. 【详解】对于A，因为函数定义域为R关于原点对称， 当时，， 故函数为奇函数，即充分性成立； 当函数为奇函数时，， 因为，，故，即必要性成立； 所以是函数为奇函数的充要条件，故A正确； 对于B，因为函数定义域为R关于原点对称， 当时，，故函数为偶函数，即充分性成立； 当函数为偶函数时，，故， 即，由于的任意性，不一定为0，故，即必要性成立； 所以是函数为偶函数的充要条件，故B错误； 对于C，因为，所以，又， 若，则恒成立，则为单调递增函数， 若，则恒成立，则为单调递减函数， 故当时，函数为单调函数，故C正确； 对于D，，因为，所以， 令得， 若，当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 则函数存在唯一的极小值，则该极小值为的最小值； 若，当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 则函数存在唯一的极大值，则该极大值为的最大值； 所以当时，存在最大值或最小值，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题CD选项的解决关键是，结合的符号，分类讨论的正负情况，利用导数研究的性质，从而得解. 三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的图象恒过定点__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据分析求解即可. 【详解】令，解得，此时， 所以函数的图象恒过定点. 故答案为：. 13. 已知关于的不等式的解集为，则的最小值是______. 【答案】 【解析】 【分析】分析可知的两根为，利用韦达定理可得，代入利用基本不等式求最值. 【详解】由题意可知：的两根为， 显然，则， 可得，且， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是. 故答案为：. 14. 定义在上的偶函数满足：对任意的有，则满足的的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】易得函数在上单调递减，再根据函数的奇偶性和单调性解不等式即可. 【详解】因为对任意的有， 所以函数在上单调递减， 又是定义在上的偶函数，且， 所以，即，解得， 所以满足的的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，，. （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式化简集合，进而求交集； （2）分析可知，分类讨论集合A是否为空集，结合交集列式求解即可. 【小问1详解】 对于，解得或，可得集合； 对于，可得，解得，可得集合； 所以. 【小问2详解】 若，则，可知， 当，即时，则，符合题意； 当，即时，则，可得，解得； 综上所述，实数的取值范围是. 16. 已知函数. （1）若，求实数的值； （2）判断的奇偶性，并说明理由； （3）求证：函数在上单调递增. 【答案】（1） （2） 为奇函数. 证明如下：的定义域关于原点对称， ，， 所以为奇函数. （3） 任取，，且， 则. 因为， 所以，，又， 所以，即， 所以在上单调递增. 【解析】 【分析】（1）由，解方程即可； （2）利用函数的奇偶性定义证明； （3）利用函数的单调性定义证明. 【小问1详解】 解：因为，所以， 整理得，解得. 经检验，是原方程的根. 所以实数的值为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 17. 已知函数，，. （1）若的解集为，求在上的最大值和最小值； （2）若，求不等式的解集. 【答案】（1）最小值为，最大值为 （2） 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）分析可知的两根为1，2，且，利用韦达定理可得，结合二次函数性质求最值即可； （2）分析可得，分类讨论最高项系数的符号以及两根的大小，解不等式即可. 【小问1详解】 若的解集为， 可知的两根为1，2，且， 则，解得，所以， 又因为的图象开口向上，对称轴为， 根据二次函数图象的对称性可知： 在上的最大值为，最小值. 【小问2详解】 因为，即，可得. 不等式等价于，即. 若，则不等式等价于，解得； 若，则，解得； 若，则，解得或； 若，则，解得或. 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 18. 定义在上的函数满足，且. （1）求； （2）证明：； （3）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）2 （2） 法一：由（1）知当时，； 又由题意，当时，； 而当时，，， 令，可得，所以. 综上所述，，. 法二：， 若存在使，则有，这与题设矛盾， 所以，. （3） 【解析】 【分析】（1）由，令求解； （2）法一：由（1）知当时，，再根据时，判断时即可；法二：由，再排除不存在使即可； （3）令，方法，再结合（2）的结论，令，将问题转化为对任意，恒成立求解. 【小问1详解】 解：由，令，得， 因为不恒为0，所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 在条件式中令，可得， 又由（2）知，，所以. 令，则对任意，，即恒成立. 记，，取时，有最大值1， 所以的取值范围为. 【点睛】思路点睛：本题第三问基本思路是先得到，再令，将问题转化为对任意，恒成立，令，求得其最大值而得解. 19. 已知函数，. （1）讨论函数的单调性（无须证明）； （2）若方程有三个互异实根，，. （i）求实数的取值范围； （ii）求的取值范围. 【答案】（1） 若，在上单调递增； 若，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 若，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. （2）（i）（ii） 【解析】 【分析】（1）分别在结合分段函数以及二次函数单调性求解即可； （2）（i）分别根据结合有三个互异实根求解即可，（ii）设，结合（i）根据二次函数的性质求解. 【小问1详解】 . 若，则，在上单调递增； 若，则，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增； 若，则，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 （i）若，最多一根，不合题意； 若，有三个互异实根， 整理得，解得且， 若，有三个互异实根， 整理得，解得， 综上所述，实数的取值范围是， （ii）不妨设.由（i）知不合题意. 若，则，， 所以， 因为且，所以，所以； 若，则，，所以， 因为，所以，所以. 综上所述，的取值范围是. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东实验中学2024-2025学年（上）高一级期中考试 数学 本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.开考前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、班级、考号等相关信息填写在答题卡指定区域内. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题：p：的否定为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知是偶函数，若方程有且仅有两实根，，那么（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 4. 若幂函数在上单调递增，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 已知，则的最小值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. “函数的定义域为”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若方程有且仅有一根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分. 9. 如下四个结论中，正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 下列判断正确的有（ ） A. B. C. 若，，则 D. 若，则 11. 悬链线是指两端固定的一条均匀、柔软的链条，在重力的作用下所呈现的曲线形状，例如悬索桥、电线等都自然呈现这一形状.数学家和物理学家计算发现，悬链线是不同于抛物线的一类曲线，在特定的坐标系下，其函数解析式可以表示为（其中a，b是非零常数，无理数），对于函数，以下结论正确的是（ ） A. 是为奇函数的充要条件 B. 是为偶函数的必要不充分条件 C. 若，则为单调函数 D. 若，则存在最大值或最小值 三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的图象恒过定点__________. 13. 已知关于的不等式的解集为，则的最小值是______. 14. 定义在上的偶函数满足：对任意的有，则满足的的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，，. （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知函数. （1）若，求实数的值； （2）判断的奇偶性，并说明理由； （3）求证：函数在上单调递增. 17. 已知函数，，. （1）若的解集为，求在上的最大值和最小值； （2）若，求不等式的解集. 18. 定义在上的函数满足，且. （1）求； （2）证明：； （3）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知函数，. （1）讨论函数的单调性（无须证明）； （2）若方程有三个互异实根，，. （i）求实数的取值范围； （ii）求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $