5.4三角函数的图像与性质基础训练-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.4 三角函数的图像与性质 基础训练 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．设函数，则（    ） A．在上单调递增，其图象关于直线对称 B．在上单调递增，其图象关于直线对称 C．在上单调递减，其图象关于直线对称 D．在上单调递减，其图象关于直线对称 2．已知函数在区间上至少取得2次最大值，则正整数t的最小值是（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 3．已知函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 4．函数的部分图像大致形状是（    ） A． B． C． D． 5．函数的部分图象如图所示，已知两点之间的距离为4，则的图象的对称中心是 A． B． C． D． 6．已知函数在内不存在对称中心，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 7．已知函数（），若使得在区间上为增函数的整数有且仅有一个，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数为奇函数，则（    ） A．1 B． C．2 D． 9．已知函数f（x）＝cos（2x+φ）（|φ|），若x是f（x）图象的一条对称轴的方程，则下列说法正确的是（　　） A．f（x）图象的一个对称中心（） B．f（x）在[]上是增函数 C．f（x）的图象过点（0,） D．f（x）在[]上是减函数 二、多选题 10．（多选）下列选项中，是函数y＝tan（x＋）的单调递增区间的有（    ） A．（－，） B．（－，） C．（，） D．（，2π） 11．已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．在上单调递增 C．的图象关于直线对称 D．若，则的最小值为 12．已知函数，以下对该函数的说法正确的是（    ） A．最小正周期为 B．在上单调递增 C．为一条对称轴 D．点为一个对称中心 三、填空题 13．方程的解可视为函数的图像与函数的图像的交点的横坐标，方程的实数解的个数为 ． 14．的定义域为 ，单调递增区间为 . 15．已知函数，关于的方程有以下结论： ①当时，方程恒有根； ②当时，方程在内有两个不等实根； ③当时，方程在内最多有个不等实根； ④若方程在内根的个数为正偶数，则所有根之和为． 其中正确的结论是 （填写所有正确结论的番号）． 四、解答题 16．求函数的定义域； 17．如图1，有一块半径为2（单位：）的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形的形状，它的下底是半圆的直径，上底的端点在圆周上.为了求出等腰梯形的周长（单位：）的最大值，小明和小亮两位同学分别给出了如下两种方案： (1)小明的方案：设梯形的腰长为（单位：），请你帮他求与之间的函数关系式，并求出梯形周长的最大值； (2)小亮的方案：如图2，连接，设，请你帮他求与之间的函数关系式，并求出梯形周长的最大值. 18．已知f(α)＝. （1）化简f(α)； （2）若－<α<，且f(α)<，求α的取值范围. 19．已知函数、在区间上都有意义，若存在，对于，恒有，则称函数与在区间上为“度接近”． (1)若，求证：与在上为“1度接近”． (2)若，（其中a，b为常数），且与在[4，8]上为“2度接近”，求实数a，b的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D C C D D A B BC 题号 11 12 答案 BC AD 1．B 【分析】根据题意，先得到，再由余弦函数的单调区间，以及余弦函数的对称轴，即可求出的单调区间，以及对称轴，进而可得出结果. 【详解】因为， 由得， 由得， 即的单调递增区间为；单调递减区间为；所以在上单调递增； 由得；即函数的对称轴为：； 因此其图象关于直线对称. 故选：B. 【点睛】本题主要考查判断三角函数的单调性与对称性，熟记余弦函数的单调性与对称性即可，属于常考题型. 2．C 【分析】先根据三角函数的性质可推断出函数的最小正周期为6，进而推断出，进而求得t的范围，进而求得t的最小值． 【详解】函数的周期T=6， 则，∴， ∴正整数t的最小值是8. 故选：C. 【点睛】本题主要考查三角函数的周期性以及正弦函数的简单性质，属于基础题. 3．D 【分析】将代入，整体对应对称轴即可构造方程求得结果. 【详解】图象关于对称，，解得：. 故选：D. 4．C 【分析】利用函数奇偶性及特殊点、特殊值即可. 【详解】因为定义域为，关于原点对称， ， 所以是偶函数，图像关于轴对称，故排除选项B、D； 当时，令可得或， 所以时，两个相邻的零点为和， 当时，，，， 故排除选项A， 故选：C. 5．C 【分析】根据两点之间的距离求出点的坐标，即可求出函数的解析式，根据正弦函数的性质求出对称中心. 【详解】设，，因为且 可得解得 故 又函数过则 令 解得 所以函数的对称中心为，，结合选项，满足， 故选 【点睛】本题考查三角函数的图象及性质，属于基础题． 6．D 【分析】先由解得，再由得到，令或，解出的取值范围即可. 【详解】因为在内不存在对称中心，故，解得，又，，故，解得，又，所以，或，，故的取值范围为. 故选：D. 7．D 【分析】由已知可得（），可得（），分类讨论，可得当时，由（1），时，，由（2）时，，要使整数有且仅有一个，需，即可得结果 【详解】解：因为在区间上为增函数， 所以可得（）， 可得（）， 当时，满足整数至少有1，2，舍去 当时，由（1），时，， 由（2）时，， 要使整数有且仅有一个，需， 解得， 所以实数的取值范围为， 故选：D 【点睛】此题考查函数的图像特征、单调性的应用，属于中档题 8．A 【分析】由，列出方程，求出的值. 【详解】由题意，函数的定义域为， 因为， 所以， 因为函数为奇函数， 所以， 所以， 所以， 所以. 经验证符合条件. 故选：A. 9．B 【分析】根据题意，利用对称轴求得参数，再对选项进行逐一判断即可. 【详解】因为x是f（x）图象的一条对称轴的方程 故可得， 解得，又因为|φ|， 故可得，. 因为，故错误； 因为，故错误； 令，解得 故的单调增区间可以是，故错误，正确. 故选：B. 【点睛】本题考查由函数性质求解余弦型函数的解析式，以及余弦型函数性质的求解，属综合基础题. 10．BC 【详解】令kπ－<x＋<kπ＋，k∈Z，可得kπ－<x<kπ＋，k∈Z，函数y＝tan （x＋）的单调递增区间为（kπ－，kπ＋），k∈Z，令k＝0，函数y＝tan （x＋）的单调递增区间为（－，），B正确；令k＝1，函数y＝tan （x＋）的单调递增区间为（，），C正确．故选BC. 【考查意图】考查正切函数的单调性． 11．BC 【分析】利用整体思想，结合余弦函数的周期性、对称性、单调性，可得答案. 【详解】对于A，由函数，则，故A错误； 对于B，由，则， 因为函数在上单调递增，所以在上单调递增， 故B正确； 对于C，由，则，因为函数的对称轴为直线，故C正确； 对于D，由，则，令，解得， 因为函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 故，故D错误. 故选：BC. 12．AD 【分析】由正弦的周期公式计算周期可判断A；由正弦函数的单增区间可判断B；令可判断C；令可判断D，进而可得正确选项. 【详解】对于A：由题意可得，故选项A正确； 对于B：令，解得，所以当时，的单调递增区间为，所以在单调递增，在单调递减，故选项B不正确； 对于C：令，可得：，所以不是对称轴，故选项C不正确； 对于D：令，可得：，所以点为的一个对称中心，故选项D正确， 故选：AD. 13．12 【分析】先将原方程化成：，然后画出及的图象，观察交点个数即可． 【详解】解：，当时，显然不成立， 所以，所以原方程化成：，即与交点的横坐标为方程的解， 分别画出及的图象如下所示： 结合图象易知这两个奇函数的图象有12交点． 故答案为：12． 14． 【解析】由函数有意义，则满足，即可求得函数的定义域，再结合正弦函数的性质，即可求得函数的单调增区间，得到答案. 【详解】由题意，函数有意义，则满足，可得， 即函数的定义域为 根据正弦函数的图象与性质，当时，函数在上单调递增. 所以函数的递增区间为. 故答案为：，. 【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象与性质，以及函数的定义域和复合函数的单调性的判定与求解，着重考查运算与求解能力，属于基础题. 15．③④ 【分析】分类讨论可得解析式，进而作出图象；令，可得的两根，结合与交点情况可知只需讨论的根的情况；当时，，与无交点，知①错误；根据确定，结合图象可知方程有两个或三个不等实根，知②错误；分别讨论时的交点情况，可知③正确；由③可知，由方程根的对称关系可求得④正确. 【详解】当时，； 当时，； 由此可得图象如下图所示， 令，则，又， 有两个不等实根，，，， 与图象无交点，只需讨论与图象交点情况， 由，得：； 对于①，当时，，解得： 此时与图象无交点，则方程无根，①错误； 对于②，当时，， 当时，；当时，；又在上单调递增， ，则当时，与在内有三个不同交点；当时，与在内有两个不同交点； 方程在内有两个或三个不等实根，②错误； 对于③，当时，，则； 当时，与在内有个不同交点； 当时，与在内有个不同交点； 当时，与在内有个不同交点； 当时，与在内无交点； 综上所述：当时，方程在内最多有个不等实根，③正确； 对于④，由③知：若方程在内根的个数为正偶数，则， 设个根为， 则，，， ，④正确. 故答案为：③④. 【点睛】思路点睛：本题考查方程根的个数的讨论问题，解决此类问题的基本思路是通过换元法，假设，将所求方程转化为关于的方程；通过对于的取值范围的讨论，采用数形结合的方式确定与的交点个数，进而得到原方程根的个数. 16．. 【分析】由题意得，然后根据正切函数的性质求解即可. 【详解】由，得. 在内满足上述不等式的x的取值范围为. 又的周期为， 所以所求x的范围是. 17．(1)； (2)，且； 【分析】（1）作,垂足为,连接,,继而可求得函数关系，利用二次函数的性质可求得最大值； （2）点作垂直于于点，,及，可求得函数关系，换元后利用二次函数的性质可求得最大值. 【详解】（1）因为， 作,垂足为,连接,    则是直角， 故, 即， 所以， 则， 依题意得，， 故， 其对称轴为， 则时，. （2）过点作垂直于于点， 因为,,    所以， 又, 所以， 所以， 则梯形的周长 ，且， 设， 则， 对称轴为， 所以，即时，. 18．（1）;（2）. 【分析】（1）利用诱导公式、同角三角函数的关系即可进行化简； （2）利用正弦函数的性质即可求解 【详解】（1） （2），即， ’， ，． ， ， 即的取值范围为． 19．(1)证明见解析 (2)，． 【分析】（1）构造函数，化简后利用正弦函数的性质求出其值域，再根据“1度接近”的定义可证得结论； （2）方法一：由题意可得，，即，，然后分，，，，，，讨论的单调性，再结合“2度接近”的定义列不等式求解即可；方法二：由题意得，（*）所以，则，求出的范围，然后分，，讨论的单调性，再结合“2度接近”的定义列不等式求解即可. 【详解】（1）证明：令，， 则， 因为，所以， 所以，即， 所以与在上为“1度接近”． （2）方法一：因为与在[4，8]上为“2度接近”， 所以，， 即， ①当时，函数在[4，8]上单调递增， 所以，， 所以要使（*）式成立，只需满足，即 要使存在，则，即，这与矛盾，故此时不合题意； ②当时，， （i）当时，在[4，a]上单调递减，在[a，8]单调递增，且， 所以，， 所以要使（*）式成立，只需满足，即， 要使存在，则，即，这与矛盾，故此时不合题意； （ii）当时，在[4，a]上单调递减，在[a，8]单调递增，且， 所以，， 所以要使（*）式成立，只需满足，即 要使存在，则，即，这与矛盾，故此时不合题意； （iii）当时，在上递增，在上递减，在[a，8]上递增，，，． 所以，， 所以要使（*）式成立，只需满足，即 要使b存在，则，即， 这与矛盾，故此时不合题意； ③当时，， （i）当时，在上单调递增，在上单调递减 ，， 所以， 所以要使（*）式成立，只需满足，即 要使存在，则，即， 结合条件，解得，此时； （ii）当时，在上单调递增，在上单调递减， ，，， 所以，， 所以要使（*）式成立，只需满足，即， 要使存在，则，即，这与条件矛盾，故此时不合题意； （iii）当时，在[4，8]上单调递增， ， 所以要使（*）式成立，只需满足，即 要使 存在，则，即，这与矛盾，故此时不合题意； 综上得：， 方法二：因为与在[4，8]上为“2度接近”，所以，， 即，（*） 所以，于是，即， 解得或 ①当时，， 在上单调递增，在上单调递减，，， （i）若时， 所以，， 所以要使（*）式成立，只需满足，即 要使存在，则，即， 结合条件，解得，此时； （ii）若时， 所以，， 所以要使（*）式成立，只需满足，即 要使存在，则，即， 与条件 矛盾，不合题意； ②当时，， 此时，所以（*）式成立的必要条件为，即，所以． 即，解得，这与矛盾，故此时不合题意； 综上得：，． 【点睛】关键点点睛：此题考查函数与不等式的综合应用，考查三角函数的性质的应用，考查对函数新定义的理解与应用，解题的关键是正确理解函数与在区间上为“度接近”的定义，然后分类讨论函数的单调性求解即可，考查数学分类思想和数学计算能力，属于难题. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$