专题03二次函数与几何压轴题（5种优选提升练）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（人教版，吉林专用）

专题03二次函数与几何压轴题（5种优选提升练） 二次函数与线段周长问题（共6题） 1．（21-22九年级上·吉林·期末）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，B，C两点的坐标分别为（3，0）和（0，3）． （1）直线BC的解析式为________． （2）求抛物线所对应的函数解析式． （3）①顶点D的坐标为________；②当0≤x≤4时，二次函数的最大值为_______，最小值为__________． （4）若点M是第一象限的抛物线上的点，过点M作x轴的垂线交BC于点N，求线段MN的最大值． 2．（23-24九年级上·吉林·期末）如图，已知抛物线经过原点，与轴上另一交点为，它的对称轴为与轴交于点，直线经过抛物线上一点，且与轴、直线分别交于点、． (1)求的值及该抛物线对应的函数关系式； (2)求证：①；②是的中点； (3)在该抛物线上是否存在一点，使得．若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 3．（21-22九年级上·吉林·期末）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（0，6）和B（﹣2，﹣2）． (1)求c的值，并用含a的代数式表示b； (2)当a＝时． ①求此函数的解析式，并写出当﹣4≤x≤2时，y的最大值和最小值； ②如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的左侧交点为C，作直线AC，D为直线AC下方抛物线上一动点，与AC交于点F，作DM⊥AC于点M．是否存在点D使△DMF的周长最大？若存在，请求出D点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（23-24九年级上·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为．直线与这条抛物线交于A、两点．点在这条抛物线上，点的横坐标为． (1)根据题意，这条抛物线与轴的交点坐标为______． (2)求这条抛物线的表达式． (3)求、两点的坐标． (4)若为直线上一点，且直线轴．设、两点之间的距离为，当随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 5．（22-23九年级上·吉林延边·期末）如图，抛物线经过点，点，与轴交于点，点在射线上运动，过点作直线轴，交抛物线于点，（点在点的左侧）． (1)求该抛物线的解析式和对称轴； (2)若，求点E的坐标； (3)若抛物线的顶点关于直线的对称点为点P，当点P到x轴的距离等于1时，求出所有符合条件的线段的长； (4)以点D为旋转中心，将点B绕点D顺时针旋转得到点，直接写出点落在抛物线上时点D的坐标． 6．（22-23九年级上·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，过点的直线与该抛物线交于另一点，且点的横坐标为．动点在该抛物线上，其横坐标为，且点不与重合．作点关于轴的对称点，过点作轴的垂线交直线于点，以、为一组邻边作矩形． (1)点的坐标为______；直线的解析式为______；抛物线的顶点坐标为______． (2)当抛物线的顶点落在该矩形内部时，求的取值范围． (3)若点在点、点之间运动，当线段的长取最大值时，求出的值，并求出此时矩形的周长． (4)当抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大先减小后增大时，直接写出取值范围． 二次函数与面积问题（共8题） 1．（22-23九年级上·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点、点，点在该抛物线上，其横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)当轴时，求的面积； (3)当点到抛物线的对称轴的距离小于1时，直接写出点的纵坐标的取值范围； (4)若抛物线在点左侧部分（包括点）的最低点的纵坐标为，求的值． 2．（22-23九年级上·吉林长春·期末）如图，已知；抛物线经过点，点，且交x轴于另一点． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线上方的抛物线上有一点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)将线段绕轴上的动点顺时针旋转得到线段，若线段与抛物线只有一个公共点，请直接写出的取值范围． 3．（22-23九年级上·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于，两点，与轴交于点，且．    (1)求直线的表达式； (2)求该二次函数的解析式，并写出函数值随的增大而减小时的取值范围； (3)点是抛物线上的一个动点，设点的横坐标为．当的面积取最大值时，求点的坐标； (4)当时，二次函数的最大值与最小值的差是一个定值，请直接写出的取值范围． 4．（23-24九年级上·吉林松原·期末）在平面直角坐标系中，O为原点，是等腰直角三角形，，顶点，点B在第一象限，矩形的顶点，点D在第二象限．将矩形沿x轴向右平移，得到矩形，点O，C，D，E的对应点分别为．设． (1)如图①，当时，与交于F点，求点的坐标； (2)若矩形与重叠部分的面积为S． ①如图②，当矩形与重叠部分为五边形时，分别与交于点G，与交于点H，与交于点N，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 5．（23-24九年级上·吉林长春·期末）在平面直角坐标系中，抛物线经过点．点是该抛物线上一点，其横坐标为．以为对角线作矩形，轴． (1)求抛物线所对应的函数表达式． (2)当抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而减小时，的取值范围为 ． (3)设抛物线在矩形内部的图象（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为时，求与之间的函数关系式． (4)设这条抛物线的顶点为，的面积为．当时，直接写出的值． 6．（23-24九年级上·吉林长春·期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，点、点、点均在抛物线的图象上，点的横坐标为，点的坐标为．其中． (1)求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标； (2)若点在轴上时，求的值； (3)当抛物线在点与点之间的部分（包括两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为时，求的值； (4)当点在轴下方时，过点作轴于点，连接，若四边形的边和抛物线有两个交点（不包括四边形的顶点），设这两个交点分别是为点、点，当或的面积是面积的一半时，直接写出所有满足条件的的值． 7．（23-24九年级上·吉林长春·期末）已知斜边上的高长为，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边与x轴重合，直角顶点C落在y轴正半轴上，点A的坐标为． (1)求点B的坐标和经过点的抛物线的关系式； (2)如图1，点M为线段上的一个动点（不与点重合），，交线段于点N，，交线段于点P，连接，是否有最大面积？若有，求出的最大面积；若没有，请说明理由； (3)如图2，直线l是经过点C且平行于x轴的一条直线，如果的顶点C在直线l上向右平移m，（2）中的其他条件不变，（2）中的结论还成立吗？请说明理由． 8．（23-24九年级上·吉林长春·期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线经过点，其对称轴为直线上，动点、在该抛物线上，其横坐标分别为、．过点作轴，交该抛物线于点，连结，以为邻边作． (1)求该抛物线对应的函数关系式． (2)当与点重合时，求的面积． (3)当直线将分成面积比为1：3两部分时，求的面积． (4)当与的面积和为的面积的一半时．直接写出的取值范围． 二次函数与特殊三角形问题（共4题） 1．（21-22九年级上·吉林·期末）如图，抛物线y＝ax2+3x+c经过A(﹣1，0)，B(4，0)两点，并且与y轴交于点C． (1)求此抛物线的解析式； (2)直线BC的解析式为 ； (3)若点M是第一象限的抛物线上的点，且横坐标为t，过点M作x轴的垂线交BC于点N，设MN的长为h，求h与t之间的函数关系式及h的最大值； (4)在x轴的负半轴上是否存在点P，使以B，C，P三点为顶点的三角形为等腰三角形？如果存在，请证明；如果不存在，说明理由． 2．（22-23九年级上·吉林·期末）如图，抛物线经过，两点，并且与轴交于点． (1)求此抛物线的解析式； (2)直接写出直线的解析式为___________； (3)若点是第一象限的抛物线上的点，且横坐标为，过点作轴的垂线交于点，设的长为，求与之间的函数关系式及的最大值； (4)在轴的负半轴上是否存在点，使以，，三点为顶点的三角形为等腰三角形？如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，说明理由． 3．（2023·吉林松原·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线(a为常数，且)，此抛物线与y轴交于点A，过点A作y轴的垂线与此抛物线交于点B，点A与点B不重合．    (1)抛物线的对称轴为直线_______； (2)当抛物线经过坐标原点时， ①求此抛物线所对应的二次函数表达式； ②当(m为常数)时，y的最小值为，求m的值； (3)若点P是抛物线对称轴上的点，其纵坐标为，当以点A，B，P三个点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出a的值． 4．（2022·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（，是常数）经过点，点．点在此抛物线上，其横坐标为． (1)求此抛物线的解析式； (2)当点在轴上方时，结合图象，直接写出的取值范围； (3)若此抛物线在点左侧部分（包括点）的最低点的纵坐标为． ①求的值； ②以为边作等腰直角三角形，当点在此抛物线的对称轴上时，直接写出点的坐标． 二次函数与特殊平行四边形问题（共9题） 1．（21-22九年级上·吉林四平·期末）如图，二次函数的图象与x轴相交于点A和点，与y轴相交于点． (1)求二次函数的表达式及A点坐标； (2)D是二次函数图象上位于第三象限内的点，求当△DAC的面积最大时点D的坐标； (3)M是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N，使以点M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（22-23九年级上·吉林长春·期末）在平面直角坐标系中，抛物线（，是常数）经过点，点．点在此抛物线上，其横坐标为． (1)求此抛物线的解析式． (2)若时，，则的取值范围是______． (3)点和点A之间（包括端点）的函数图象称为图象，当图象的最大值和最小值差是5时，求的值． (4)直线与轴交于点，以为边在右侧作正方形．当抛物线与正方形有2个交点时，求的取值范围． 3．（22-23九年级上·吉林长春·期末）平面直角坐标系中，抛物线经过、两点，点A、C在这条抛物线上，它们的横坐标分别为m和． (1)求这条抛物线所对应的函数关系式． (2)当时，y的取值范围是，求t的值． (3)抛物线上A、C两点和它们之间的部分记作图象G，设G的最高点纵坐标与最低点纵坐标之差为h．当点C在对称轴右侧时，求h与m之间的函数关系式． (4)以线段为对角线作矩形，轴．当矩形与抛物线有且只有三个公共点时，设第三个公共点为F，若与矩形的面积之比为，请直接写出m的值． 4．（22-23九年级上·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的两个交点分别为，，顶点为C，与y轴交点为D．点Р是抛物线上一个动点，其横坐标为m． (1)）求抛物线的函数表达式； (2)过点D作垂直抛物线的对称轴于点E，求的值； (3)设抛物线在P、A两点之间的部分图形为G（包含P、A两点），设图像G的最高点与最低点的纵坐标之差为d，当时，求m的取值范围； (4)已知平面内一点Q的坐标为，点M的坐标为，连接、，以、为边构造矩形．当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大，或者y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． 5．（23-24九年级上·吉林长春·期末）在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求此抛物线对应的函数表达式并写出顶点坐标； (2)当时，的取值范围是________； (3)抛物线上有一点，点的横坐标为； ①当点在、两点之间（包括、两点）运动时，抛物线在、两点之间的部分（包括、两点）记为图象，设图象的最高点与最低点的纵坐标之差为，求与之间的函数关系式并写出自变量的取值范围； ②已知点，以为对角线构造矩形且矩形的边与坐标轴平行，当矩形的边与抛物线有3个交点时，直接写出的取值范围． 6．（23-24九年级上·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，点为轴上一点，其纵坐标为，连接，以为边向右作正方形． (1)求的值； (2)设抛物线的顶点为，当点在上时，求的值； (3)当点在抛物线上时，求的值； (4)当抛物线与正方形有两个交点时，直接写出的取值范围． 7．（23-24九年级上·吉林·期末）如图①，在平面直角坐标系中，，等腰直角三角形的顶点的坐标为，点在第四象限，边与轴交于点，点分别是线段的中点，过点的抛物线（为常数）的顶点为. (1)点的坐标为______，用含的代数式表示为______. (2)如图②，点为中点，当抛物线经过点时. ①求该抛物线所对应的函数表达式； ②若点在该抛物线上，点在线段上，当以和为对边的四边形是平行四边形时，求点的坐标. (3)当点在等腰直角三角形的边上或内部，且抛物线与有且只有一个公共点时，直接写出的取值范围. 8．（22-23九年级上·吉林长春·期末）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，顶点为D．点P是抛物线上一动点，其横坐标为m． (1)求该抛物线函数关系式，直接写出顶点D的坐标； (2)当面积为8时，求m的值； (3)当点P在点B右侧时，将抛物线在点P、B两点间的部分记为图象G（包含P、B两点），设图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为d．求d与m之间的函数关系式； (4)点是平面内的一点．当PQ不与坐标轴平行时，以PQ为对角线构造矩形，使矩形各边与坐标轴垂直，当抛物线在矩形内部的部分所对应的函数值y随x的增大而增大或y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． 9．（22-23九年级上·吉林长春·期末）在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数）经过点，． (1)求此抛物线对应的二次函数表达式； (2)当时，求二次函数的最大值和最小值； (3)当时，若二次函数的最大值和最小值的差为3，求的值； (4)点在抛物线上，且点的横坐标为（）．以点为中心，构造正方形，，且轴．当抛物线与正方形的边只有2个交点，且交点的纵坐标之差为1时，直接写出的值． 二次函数与相似三角形问题（共3题） 1．（23-24九年级上·吉林长春·期末）已知：二次函数． (1)求证：该抛物线与轴一定有两个交点； (2)设抛物线与轴的两个交点是、（在原点左边，在原点右边），且，求此时抛物线的解析式； (3)在（2）的前提下，若抛物线与轴交于点，问在轴的正半轴上是否存在点，使和相似？ 2．（23-24九年级上·吉林长春·期末）矩形在直角坐标系中的位置如图所示，A、C两点的坐标分别为、，直线与边相交于点D． (1)若抛物线经过D、A两点，试确定此抛物线的表达式； (2)若以点A为圆心的与直线相切，试求的半径； (3)设（1）中抛物线的对称轴与直线交于点M，在对称轴上是否存在点Q，以Q、O、M为顶点的三角形与相似．若存在，试求出符合条件的Q点的坐标；若不存在，试说明理由． 3．（23-24九年级上·吉林松原·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于和，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的解析式； (2)绕点A旋转的直线与y轴相交于点D，与抛物线相交于点E，且满足时，求直线l的解析式； (3)点P为抛物线上的一点，点Q为抛物线对称轴上的一点，是否存在以点B，C，P，Q为顶点的平行四边形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03二次函数与几何压轴题（5种优选提升练） 二次函数与线段周长问题（共6题） 1．（21-22九年级上·吉林·期末）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，B，C两点的坐标分别为（3，0）和（0，3）． （1）直线BC的解析式为________． （2）求抛物线所对应的函数解析式． （3）①顶点D的坐标为________；②当0≤x≤4时，二次函数的最大值为_______，最小值为__________． （4）若点M是第一象限的抛物线上的点，过点M作x轴的垂线交BC于点N，求线段MN的最大值． 【答案】（1） ；（2） ；（3）① ；②4，-5；（4） 【分析】（1）设直线BC的解析式为 ，把点B（3，0）和C（0，3）代入，即可求解； （2）把点B（3，0）和C（0，3）代入，即可求解； （3）①将抛物线解析式化为顶点式，即可求解； ②根据抛物线的顶点式，可得当 时，有最大值4，再由二次函数的增减性，即可求解； （4）设点 ，则，可得，即可求解． 【详解】解：（1）设直线BC的解析式为 ， 把点B（3，0）和C（0，3）代入得： ， 解得： ， ∴直线BC的解析式为 ； （2）把点B（3，0）和C（0，3）代入得： ， 解得： ， ∴抛物线所对应的函数解析式为 ； （3）①， ∴点 ； ②∵ ， ∴当 时，有最大值4， ∴在直线的左侧时， 随 的增大而增大；在直线的右侧时， 随 的增大而减小， 当 时， ， 当 时， ， ∴当0≤x≤4时，二次函数的最大值为4，最小值为-5； （4）设点 ，则， ∴ ， ∴当 时， 的值最大，最大值为 ． 【点睛】本题主要考查了二次函数和一次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数和一次函数的图象和性质是解题的关键． 2．（23-24九年级上·吉林·期末）如图，已知抛物线经过原点，与轴上另一交点为，它的对称轴为与轴交于点，直线经过抛物线上一点，且与轴、直线分别交于点、． (1)求的值及该抛物线对应的函数关系式； (2)求证：①；②是的中点； (3)在该抛物线上是否存在一点，使得．若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，抛物线的解析式为； (2)①证明见解析，②证明见解析； (3)存在，点的横坐标m为或，理由见解析． 【分析】（1）将B点代入直线解析式得出m的值，然后得出点B的坐标，设，利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）①首先求得E点坐标，然后求得，进而得证； ②分别求得，，进而得到，D是的中点； （3）若，则P点必在线段的垂直平分线上即直线上，可求出直线的解析式，联立抛物线即可求出P点的坐标． 【详解】（1）解：将代入得． 设，将、代入得， ， 抛物线的解析式为． （2）证明：①当时，， ． ， ． ， ， ． ②，， ， 是的中点． （3）存在．由（2）知直线是线段的垂直平分线，所以直线与抛物线的交点即为所求点． 设直线对应的函数关系式为， 将代入得：， 解得：， ∴直线对应的函数关系式为， ， 代入得，， 解得：，． 即点的横坐标为或． 【点睛】此题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式、点的坐标与线段长度的转化，综合性较强，解答本题的关键是注意各知识点的融会贯通以及数形结合的数学思想方法的运用． 3．（21-22九年级上·吉林·期末）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（0，6）和B（﹣2，﹣2）． (1)求c的值，并用含a的代数式表示b； (2)当a＝时． ①求此函数的解析式，并写出当﹣4≤x≤2时，y的最大值和最小值； ②如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的左侧交点为C，作直线AC，D为直线AC下方抛物线上一动点，与AC交于点F，作DM⊥AC于点M．是否存在点D使△DMF的周长最大？若存在，请求出D点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)c=6；b=2a+4 (2)①最小值为−，最大值为20；②D(−3，−)． 【分析】（1）分别把 A（0，6）和B（-2，-2）代入解析式，可得c和b的值． （2）①当a＝时，此函数表达式为y＝x2+x+6，图象开口向上，由顶点坐标公式可知顶点坐标，根据二次函数的性质，当在顶点时函数值最小观察图象结合增减性，当x=2时，y有最大值．②令y=0，得C的坐标，设直线AC的解析式为y=kx+m，把A（0，6），C（-6，0）代入可得直线AC解析式，设D(x，x2+x+6)则F（x，x+6），得FD的值，设△FDM的周长为l，则l＝DF+DM+MF＝，当FD最大时，周长最大，根据二次函数的性质可得最大值． 【详解】（1）把（0，6）代入y=ax2+bx+c， 得c=6． 把（-2，-2）代入y=ax2+bx+6， 得4a-2b+6=-2， ∴b=2a+4． （2）①当a＝时， ∴，且c=6 ∴函数表达式为y＝x2+x+6=，图象开口向上． ∴顶点坐标为， ∵-4≤x≤2， ∴当x＝−时，y的最小值为−． 观察图象结合增减性，当x=2时，y有最大值， 把x=2代入y＝x2+x+6， y的最大值为20． ②∵y＝x2+x+6， 令y=0，则x=-6或x＝−， ∵点C在左侧， ∴C（-6，0） 设直线AC的解析式为y=kx+m， 把A（0，6），C（-6，0）代入y=kx+m，得 解得k=1，m=6， ∴y=x+6 设D(x，x2+x+6)则F（x，x+6） ∴FD＝x+6−(x2+x+6)＝−x2−x， ∵OA=OC=6，∠AOC=90°， ∴∠COA=90°， ∵DF∥AO， ∴∠DFM=∠CAO=45°， DM＝FM＝FD， 设△FDM的周长为l， 则l＝DF+DM+MF＝ 当FD最大时，周长最大， 又∵， 又∵−＜0且-6＜x＜0， ∴x=-3时，FD有最大值，即此刻△FDM周长最大． 把x=-3代入y＝x2+x+6， 得y＝−， ∴D(−3，−)． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解本题要熟练掌握二次函数的性质，求二次函数的解析式、待定系数法，数形结合是解题关键． 4．（23-24九年级上·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为．直线与这条抛物线交于A、两点．点在这条抛物线上，点的横坐标为． (1)根据题意，这条抛物线与轴的交点坐标为______． (2)求这条抛物线的表达式． (3)求、两点的坐标． (4)若为直线上一点，且直线轴．设、两点之间的距离为，当随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)， (4)或 【分析】（1）在二次函数解析式中，令，得，即得抛物线与轴的交点坐标； （2）运用顶点坐标公式建立方程组，求出a、b的值，即可求解； （3）解二次函数解析式与一次函数解析式组成的方程组，即可求解； （4）根据题意可知，，得，再分两种情况：当时，得；当或时，，结合二次函数的性质即可求解． 本题主要考查了二次函数与一次函数综合．熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式，求二次函数图象与y轴交点坐标，求二次函数图象与一次函数图象交点坐标，二次函数的增减性，分类讨论，是解决问题的关键． 【详解】（1）中，当时，． ∴抛物线与轴的交点坐标为． 故答案为：． （2）∵抛物线的顶点为， ∴． 解得，． ∴． （3）， ∴． 解得，． ∴，． ∴，． （4）∵为直线上一点，且直线轴，点的横坐标为， ∴，， ∴． 当时，， ∴， ∴当时，d随m的增大而减小． ∴． 当或时，， ∴． ∴当时，d随m的增大而减小． ∴． 综上，当随的增大而减小时，的取值范围是或． 5．（22-23九年级上·吉林延边·期末）如图，抛物线经过点，点，与轴交于点，点在射线上运动，过点作直线轴，交抛物线于点，（点在点的左侧）． (1)求该抛物线的解析式和对称轴； (2)若，求点E的坐标； (3)若抛物线的顶点关于直线的对称点为点P，当点P到x轴的距离等于1时，求出所有符合条件的线段的长； (4)以点D为旋转中心，将点B绕点D顺时针旋转得到点，直接写出点落在抛物线上时点D的坐标． 【答案】(1)，对称轴为：直线 (2) (3)或 (4)或 【分析】（1）将和的坐标代入到解析式求解出解析式，再将其转化为顶点式； （2）令，可得，则，进而可得，最后根据二次函数的对称性求解即可； （3）根据二次函数的顶点式可得其顶点坐标，再根据题意分两种情况讨论即可； （4）设，根据旋转的性质得出，代入二次函数解析式，即可求解． 【详解】（1）将点，点代入到解析式得， 解得， ∴ ， ∴其对称轴为：直线； （2）令得，， ∴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴，代入得， ∴； （3）∵， ∴其顶点坐标为 ①当时，， 即， 解得，， ， ②当时，， 即， 解得，， ， 综上所述，或． （4）解：如图所示，当在轴正半轴时，过点作轴于点，设，， 依题意， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当在轴的负半轴时，设，， 同理可得，， ∵在抛物线上， ∴， 解得：或， ∴或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质和一元二次方程的应用，旋转的性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 6．（22-23九年级上·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，过点的直线与该抛物线交于另一点，且点的横坐标为．动点在该抛物线上，其横坐标为，且点不与重合．作点关于轴的对称点，过点作轴的垂线交直线于点，以、为一组邻边作矩形． (1)点的坐标为______；直线的解析式为______；抛物线的顶点坐标为______． (2)当抛物线的顶点落在该矩形内部时，求的取值范围． (3)若点在点、点之间运动，当线段的长取最大值时，求出的值，并求出此时矩形的周长． (4)当抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大先减小后增大时，直接写出取值范围． 【答案】(1)；； (2) (3)；矩形的周长为 (4) 【分析】（1）根据题意求得抛物线与轴的交点即可，将点代入直线解析式求得，将抛物线化为顶点式，即可求解； （2）根据题意，画出图形，当的横坐标大于顶点的横坐标即可求解； （3）根据题意，画出图形，表示出的长度，根据二次函数的性质求得最值，进而即可求解； （4）根据题意，可知当点在点的右侧时，符合题意，据此即可求解． 【详解】（1）解：由，令， 则， 解得：， ∴， 将点代入，即， 解得：， ∴一次函数解析式为， 由 ∴顶点坐标为    ； 故答案为：；；； （2）解：设抛物线顶点为，则， ∵的横坐标为，则的横坐标为， ∴的横坐标也为， 当落在矩形内部时， ∴ （3）解：如图，点在点、点之间运动， ∵的横坐标为，则， ∵在上，∴， ∴， ∴当时，线段的长取最大值， 此时，， ∴矩形的周长为； （4）解：如图， 依题意，当点在点的右侧时，矩形内部的点的纵坐标随的增大先减小后增大 ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，线段最值问题，矩形的性质，数形结合是解题的关键． 二次函数与面积问题（共8题） 1．（22-23九年级上·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点、点，点在该抛物线上，其横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)当轴时，求的面积； (3)当点到抛物线的对称轴的距离小于1时，直接写出点的纵坐标的取值范围； (4)若抛物线在点左侧部分（包括点）的最低点的纵坐标为，求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)6或 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）求出当时，的值，然后利用三角形的面积公式求解； （3）抛物线，函数有最小值，利用函数的对称性求出抛物线与轴交点坐标为，，到对称轴的距离为1，即可求出纵坐标的取值范围； （4）根据，得出抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线．进行分类讨论当时，当时，求解一元二次方程． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点、点， 解得 ∴拋物线的解析式为． （2）解：当时，即， 解得：， ； （3）解：∵抛物线， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，函数有最小值， ∵点，对称轴为直线， ∴抛物线与轴交点坐标为，，到对称轴的距离为1， ∴点的纵坐标的取值范围是． （4）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． 当时，抛物线顶点为最低点， ∴，解得； 当时，点为最低点，将代入中，得， ∴， 解得（舍），． 综上所述，的值为6或． 【点睛】本题考查了二次函数的图像及性质、带待定系数法、一元二次方程求解，解题的关键是利用数形结合的思想进行求解． 2．（22-23九年级上·吉林长春·期末）如图，已知；抛物线经过点，点，且交x轴于另一点． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线上方的抛物线上有一点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)将线段绕轴上的动点顺时针旋转得到线段，若线段与抛物线只有一个公共点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)面积最大值为2，的坐标为 (3)或 【分析】（1）将点，点代入解析式，待定系数法求解析式即可求解； （2）过点作轴，与交于点，求得直线的解析式为：，则可设，则，然后表示出的面积，根据二次函数的性质即可求解； （3）根据题意，分别求得，在抛物线上时的的值，结合函数图像即可求解． 【详解】（1）解：把两点坐标代入 得， 解得 ∴抛物线的解析式为， （2）过点作轴，与交于点，如图1， 设直线的解析式为：，点，点 ∴， 解得：， 直线的解析式为： 则可设，则， ， ∴， ∴当时，面积最大，其最大值为．此时的坐标为； （3）①当点在抛物线上， 此时如图， ∴ 则 解得：或 ②当在抛物线上时， ∴ ∴ 解得：或 综上所述，或 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，待定系数法求解析式，面积问题，线段问题，数形结合是解题的关键． 3．（22-23九年级上·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于，两点，与轴交于点，且．    (1)求直线的表达式； (2)求该二次函数的解析式，并写出函数值随的增大而减小时的取值范围； (3)点是抛物线上的一个动点，设点的横坐标为．当的面积取最大值时，求点的坐标； (4)当时，二次函数的最大值与最小值的差是一个定值，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【分析】（1）先求出点、点的坐标，再用待定系数法即可求出直线的解析式； （2）先求出点的坐标，再根据待定系数法即可求出二次函数的解析式，将二次函数化为顶点式，根据二次函数的性质即可得到函数值随的增大而减小时的取值范围； （3）过点作轴交于点，点的横坐标为，，则，，从而表示出，根据二次函数的性质即可得到答案； （4）分三种情况讨论：①当时，，有最大值0，，有最小值；②当时，，有最小值，，有最大值0；③当时，，有最小值，，有最大值；即可得到答案． 【详解】（1）解：令，则， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ； （2）解：， ， ， 将，代入， ， 解得， ， ，， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 函数值随的增大而减小时的取值范围为； （3）解：过点作轴交于点，   点的横坐标为， ，则， ， 由（1）得，， ， ， 当时，的面积有最大值，此时； （4）解：当时，二次函数的最大值与最小值的差是一个定值， ， 抛物线的对称轴为直线， ①当时，，有最大值0，，有最小值， ，此时二次函数的最大值与最小值的差随的变化而变化； ②当时，，有最小值，，有最大值0， ，此时二次函数的最大值与最小值的差是一个定值； ③当时，，有最小值，，有最大值， ，此时二次函数的最大值与最小值的差随的变化而变化； 综上所述：时，二次函数的最大值与最小值的差是一个定值． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式、待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质、二次函数综合—面积问题，熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合与分类讨论的思想解题，是解此题的关键． 4．（23-24九年级上·吉林松原·期末）在平面直角坐标系中，O为原点，是等腰直角三角形，，顶点，点B在第一象限，矩形的顶点，点D在第二象限．将矩形沿x轴向右平移，得到矩形，点O，C，D，E的对应点分别为．设． (1)如图①，当时，与交于F点，求点的坐标； (2)若矩形与重叠部分的面积为S． ①如图②，当矩形与重叠部分为五边形时，分别与交于点G，与交于点H，与交于点N，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)点的坐标，点的坐标 (2)①的取值范围是；② 【分析】（1）由，可得点C坐标，根据是等腰直角三角形可证是等腰直角三角形，从而可得，即可求得结果； （2）①过点G作于M，根据平移的性质可得，由，可证与均为等腰直角三角形，可得，再根据，即可得出结果； ②根据时，矩形与重叠部分为等腰直角三角形，当时，矩形与重叠部分为五边形，分别进行计算即可． 【详解】（1）解：由点，得， 由已知矩形平移得，，，， 又是等腰直角三角形，得， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴点的坐标，点的坐标； （2）解：①由平移知，，，， 如图，过点G作于M， ∴， ∴， 由， 得， ∴与均为等腰直角三角形， 又， ∴， ∴， ∴， ， 其中的取值范围是； ②∵时，矩形与重叠部分为等腰直角三角形， ∴， 当时，矩形与重叠部分为五边形， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查平移的性质、平面直角坐标系与图形、等腰直角三角形的性质及求二次函数解析式，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 5．（23-24九年级上·吉林长春·期末）在平面直角坐标系中，抛物线经过点．点是该抛物线上一点，其横坐标为．以为对角线作矩形，轴． (1)求抛物线所对应的函数表达式． (2)当抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而减小时，的取值范围为 ． (3)设抛物线在矩形内部的图象（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为时，求与之间的函数关系式． (4)设这条抛物线的顶点为，的面积为．当时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)且 (3) (4)0或3 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到矩形的性质、一次函数的性质、面积的计算，数形结合和分类求解是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）当点在点的右侧时，抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而减小，即可求解； （3）当或时，则．当时，则，即可求解； （4）由，即可求解． 【详解】（1）抛物线经过点， ， 解得， 该抛物线对应的函数表达式； （2）如下图，点关于抛物线对称轴的对称点为点，    当点在点的右侧时，抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而减小， 即且， 故答案为：且． （3）当或时， 则． 当时， 则， 即； （4）如上图，过点作轴交于点， 设点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 则点， 则， 解得：或． 6．（23-24九年级上·吉林长春·期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，点、点、点均在抛物线的图象上，点的横坐标为，点的坐标为．其中． (1)求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标； (2)若点在轴上时，求的值； (3)当抛物线在点与点之间的部分（包括两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为时，求的值； (4)当点在轴下方时，过点作轴于点，连接，若四边形的边和抛物线有两个交点（不包括四边形的顶点），设这两个交点分别是为点、点，当或的面积是面积的一半时，直接写出所有满足条件的的值． 【答案】(1)，； (2) (3)或； (4)或或． 【分析】（1）将点、点代入抛物线解析式，利用待定系数法求解即可，再将其化为顶点式，即可得到顶点坐标； （2）由题意可知，点的坐标为，代入抛物线解析式中，即可求出的值； （3）由题意可得，点在抛物线右侧，求出时的自变量值，进而分两种情况讨论：①当时；②当时，分别求出的值即可； （4）根据题意分两种情况讨论：①当点在点的左侧时；②当点在点与原点之间时，根据或的面积是面积的一半，分别得到或或，列方程求解即可． 【详解】（1）解：点、点在抛物线的图象上， ，解得：， 抛物线的函数表达式为， ， 顶点坐标为 （2）解：点在轴上，横坐标为， 点的坐标为， 点在抛物线的图象上， ， 整理得：， 解得：， ， 的值为； （3）解：， ， 点在抛物线对称轴的右侧， 令，则， 解得：，， ①当时，此时， 由题意得：， 解得：； ②当时，此时， 由题意得：， 整理得：， 解得：， ， ， 综上所述，的值为或； （4）解：令，则，解得：， 点在轴下方，点的横坐标为，， ， 解得：， 点在抛物线的对称轴右侧， 点关于对称轴的对称点的横坐标为， 令与抛物线的交点为，则的横坐标为， 点的坐标为，， 点在轴的负半轴， ①如图，当点在点的左侧时，则，即， 此时与抛物线有交点，记为点，则， 或的面积是面积的一半， 或， 或， 当时，则， 解得：； 当时，则， 解得：； ②如图，当点在点与原点之间时，此时与抛物线有交点，即为点，    当时，同①理得：； 当时，此时，即点为中点， 点的横坐标为， 设点， ， ， ， 解得：， ， ， ， 综上可知，满足条件的的值为或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式，三角形面积，一元二次方程的应用等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是解题关键． 7．（23-24九年级上·吉林长春·期末）已知斜边上的高长为，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边与x轴重合，直角顶点C落在y轴正半轴上，点A的坐标为． (1)求点B的坐标和经过点的抛物线的关系式； (2)如图1，点M为线段上的一个动点（不与点重合），，交线段于点N，，交线段于点P，连接，是否有最大面积？若有，求出的最大面积；若没有，请说明理由； (3)如图2，直线l是经过点C且平行于x轴的一条直线，如果的顶点C在直线l上向右平移m，（2）中的其他条件不变，（2）中的结论还成立吗？请说明理由． 【答案】(1)点B的坐标为； (2)有最大面积，当时，△MNP的面积有最大值为 (3)（2）中的结论仍然成立，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用，勾股定理，在解题时要注意把二次函数的图象和性质与相似三角形的性质相结合是本题的关键. （1）本题须先证出,从而得出点的坐标,再把点的坐标代入即可求出抛物线的解析式. （2）本题须先根据,得出,再表示出的长,然后代入四边形的面积为,从而得出,即可求出面积的最大值为. （3）本题须先根据相似三角形的性质得出则的面积,然后求出面积的最大值即可得出正确结论. 【详解】（1）解：，， ， ． ，， ， ，即点B的坐标为． 设经过点的拋物线的解析式为， 将点代入，得： ． （2）由勾股定理可得：，． ，，， 四边形MNCP为矩形． ， ． 设，则，， ． 当时，的面积有最大值为． （3）（2）中的结论仍然成立，理由如下： ， ． 由，，得，， 则，． 设，则， ． 当，即时，△MNP面积有最大值为， 所以（2）中的结论仍然成立 8．（23-24九年级上·吉林长春·期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线经过点，其对称轴为直线上，动点、在该抛物线上，其横坐标分别为、．过点作轴，交该抛物线于点，连结，以为邻边作． (1)求该抛物线对应的函数关系式． (2)当与点重合时，求的面积． (3)当直线将分成面积比为1：3两部分时，求的面积． (4)当与的面积和为的面积的一半时．直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)2或6 (4)或 【分析】（1）由待定系数法，得，再求出即可； （2）求出各点的坐标，当与点重合时，，求出的值，再根据三角形的面积公式即可； （3）设对称轴与交于点，设的边上的高为，则，，则点或点在直线上，再分别计算即可； （4）依题意，得与的高之和等于的高，再列不等式即可． 【详解】（1）解：抛物线，为常数）的对称轴为直线，且经过点， ， 解得， 抛物线对应的函数表达式为； （2）解：如图，抛物线的对称轴为直线， ， 当与点重合时， ， 解得：，即 ， （3）解：设对称轴与交于点，设的边上的高为，则，，则点或点在直线上， 当点在直线时，如图，， 解得，即， ， ； 当点在直线时，如图， ，由平行四边对边相等并由平移知识，得， ，解得，， , 故的面积为2或6 （4）当与的面积和为的面积的一半时 则与的高之和等于的高，点关于直线的对称点为，如图两种情况 依题意，得，或， 解得或 【点睛】本题主要考查了待定系数法求抛物线解析式、抛物线与三角形面积问题、抛物线与平行四边形面积问题、抛物线与不等式问题，解题的关键是利用数形结合思想对问题进行分类讨论． 二次函数与特殊三角形问题（共4题） 1．（21-22九年级上·吉林·期末）如图，抛物线y＝ax2+3x+c经过A(﹣1，0)，B(4，0)两点，并且与y轴交于点C． (1)求此抛物线的解析式； (2)直线BC的解析式为 ； (3)若点M是第一象限的抛物线上的点，且横坐标为t，过点M作x轴的垂线交BC于点N，设MN的长为h，求h与t之间的函数关系式及h的最大值； (4)在x轴的负半轴上是否存在点P，使以B，C，P三点为顶点的三角形为等腰三角形？如果存在，请证明；如果不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)h与t之间的函数关系式为：，h的最大值为4 (4)在x轴的负半轴上存在点或，使以B，C，P三点为顶点的三角形为等腰三角形，理由见解析 【分析】（1）把A(﹣1，0)，B(4，0) 代入抛物线解析式，即可求解； （2）根据抛物线解析式求出点C的坐标，再利用待定系数法，即可求解； （3）根据题意可得点，点，从而得到，再根据二次函数的性质，即可求解； （4）分三种情况：当PC=BC时，当PB=BC时，当PC=PB时，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线y＝ax2+3x+c经过A(﹣1，0)，B(4，0)两点， ∴， 解得： ， ∴抛物线的解析式为； （2）解：当时，， ∴点， 设直线BC的解析式为， 把点B(4，0)，代入得： ， 解得：， ∴直线BC的解析式为； （3）解：如图， ∵点M是第一象限的抛物线上的点，且横坐标为t， ∴点， ∵MN⊥x轴， ∴点， ∴， ∴， ∴当时，h的值最大，最大值为4； （4）解：在x轴的负半轴上存在点P，使以B，C，P三点为顶点的三角形为等腰三角形，理由如下： 当PC=BC时， ∵OC⊥BP， ∴OP=OB， ∵点B(4，0)，点P在x轴的负半轴上， ∴点； 当PB=BC时， ∵B(4，0)，， ∴OC=4，OB=4， ∴， ∴， ∵点P在x轴的负半轴上， ∴点； 当PC=PB时，点P位于BC的垂直平分线上， ∵OB=OC=4， ∴点O位于BC的垂直平分线上， ∴此时点P与点O重合，不合题意，舍去； 综上所述，在x轴的负半轴上存在点或，使以B，C，P三点为顶点的三角形为等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了求二次函数和一次函数的解析式，二次函数的图象和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，二次函数的图象和性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 2．（22-23九年级上·吉林·期末）如图，抛物线经过，两点，并且与轴交于点． (1)求此抛物线的解析式； (2)直接写出直线的解析式为___________； (3)若点是第一象限的抛物线上的点，且横坐标为，过点作轴的垂线交于点，设的长为，求与之间的函数关系式及的最大值； (4)在轴的负半轴上是否存在点，使以，，三点为顶点的三角形为等腰三角形？如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，当时，最大值为 (4)存在，或 【分析】（1）把，代入抛物线解析式，即可求解； （2）根据抛物线解析式求出点的坐标，再利用待定系数法，即可求解； （3）根据题意可得点，点，从而得到，再根据二次函数的性质，即可求解； （4）分三种情况：当时，当时，当时，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线经过，两点， ， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：当时，， 点， 设直线的解析式为， 把点，代入得：， 解得：， 直线的解析式为； （3）解：如图， 点是第一象限的抛物线上的点，且横坐标为， 点， 轴， 点， ， ， 当时，h的值最大，最大值为4； （4）解：在轴的负半轴上存在点，使以，，三点为顶点的三角形为等腰三角形，理由如下： 当时， ， ， 点，点在轴的负半轴上， 点； 当时， 点，， ，， ， ， 点在轴的负半轴上， 点； 当时，点位于的垂直平分线上， ， 点位于的垂直平分线上， 此时点与点重合，不合题意，舍去； 综上所述，在轴的负半轴上存在点或，使以，，三点为顶点的三角形为等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了求二次函数和一次函数的解析式，二次函数的图象和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，二次函数的图象和性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 3．（2023·吉林松原·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线(a为常数，且)，此抛物线与y轴交于点A，过点A作y轴的垂线与此抛物线交于点B，点A与点B不重合．    (1)抛物线的对称轴为直线_______； (2)当抛物线经过坐标原点时， ①求此抛物线所对应的二次函数表达式； ②当(m为常数)时，y的最小值为，求m的值； (3)若点P是抛物线对称轴上的点，其纵坐标为，当以点A，B，P三个点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出a的值． 【答案】(1)2 (2)①；②或3 (3)或3 【分析】（1）根据对称轴公式求对称轴即可； （2）①由抛物线经过坐标原点可得，从而得到二次函数的解析式； ②分，，三种情况，根据二次函数的增减性求解即可； （3）由以点A，B，P三个点为顶点的三角形是等腰直角三角形可知点P是直角顶点，根据点A、B的坐标求得点P的坐标为，由题意可知点P的坐标为，从而得到，从而得解． 【详解】（1）解：依题意得∶ 抛物线的对称轴为直线 故答案为：2； （2）解：①∵抛物线经过坐标原点， ，解得， 抛物线的解析式为． ②当，即时， 此时开口向上，在上，y随着x的增大而减小， ∴当时，y取最小值，即 解得(不合题意，舍去)，； 当，即时， 此时对称轴处取最小值， ∴当时，y的最小值为，不存在最小值为的情况； 当时，此时开口向上，在上，y随着x的增大而增大， ∴当时，y取最小值，即， 解得，(不合题意，舍去)． 综上所述，m的值为或3． （3）解：∵以点A，B，P三个点为顶点的三角形是等腰直角三角形，点P是抛物线对称轴上的点， ∴点P是直角顶点，(否则点P在直线或y轴上，不合题意) 设与对称轴的交点为Q，则根据对称性可知点Q是的中点． 作出图形如下：    令，解得， ∴ 又令，解得 ∴ ∴， 又∵点Q是的中点， ∴ ∵点A，B，P三个点为顶点的三角形是等腰直角三角形，点P是直角顶点， ∴， ∴ 又∵点P是抛物线对称轴上的点，其纵坐标为， ∴点P的坐标为， ∴， 解得：或3 即a的值为或3． 【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，二次函数与几何综合等知识，掌握相关知识和分类讨论思想是解题的关键． 4．（2022·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（，是常数）经过点，点．点在此抛物线上，其横坐标为． (1)求此抛物线的解析式； (2)当点在轴上方时，结合图象，直接写出的取值范围； (3)若此抛物线在点左侧部分（包括点）的最低点的纵坐标为． ①求的值； ②以为边作等腰直角三角形，当点在此抛物线的对称轴上时，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)①或3；②或或 【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可得； （2）先根据抛物线的解析式求出此抛物线与轴的另一个交点坐标为，再画出函数图象，由此即可得； （3）①先求出抛物线的对称轴和顶点坐标、以及点的坐标，再分和两种情况，分别画出函数图象，利用函数的增减性求解即可得； ②设点的坐标为，分和两种情况，分别根据等腰直角三角形的定义建立方程组，解方程组即可得． 【详解】（1）解：将点代入得：， 解得， 则此抛物线的解析式为． （2）解：对于二次函数， 当时，，解得或， 则此抛物线与轴的另一个交点坐标为， 画出函数图象如下： 则当点在轴上方时，的取值范围为或． （3）解：①二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，， 即， （Ⅰ）如图，当时， 当时，随的增大而减小， 则此时点即为最低点， 所以， 解得或（不符题设，舍去）； （Ⅱ）如图，当时， 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， 则此时抛物线的顶点即为最低点， 所以， 解得，符合题设， 综上，的值为或3； ②设点的坐标为， 由题意，分以下两种情况： （Ⅰ）如图，当时，设对称轴直线与轴的交点为点， 则在等腰中，只能是， 垂直平分，且， （等腰三角形的三线合一）， ， 解得， 则此时点的坐标为或； （Ⅱ）当时， 由（3）①可知，此时， 则点， ， ， ， 当时，是等腰直角三角形， 则，即， 方程组无解， 所以此时不存在符合条件的点； 当时，是等腰直角三角形， 则，即， 解得， 所以此时点的坐标为； 当时，是等腰直角三角形， 则，即， 方程组无解， 所以此时不存在符合条件的点； 综上，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了二次函数的几何应用、等腰直角三角形、一元二次方程的应用等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 二次函数与特殊平行四边形问题（共9题） 1．（21-22九年级上·吉林四平·期末）如图，二次函数的图象与x轴相交于点A和点，与y轴相交于点． (1)求二次函数的表达式及A点坐标； (2)D是二次函数图象上位于第三象限内的点，求当△DAC的面积最大时点D的坐标； (3)M是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N，使以点M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，A点坐标为 (2)当△DAC的面积最大时点D的坐标为 (3)存在，满足条件的点N的坐标为或或 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）如图1中连接AD，CD．由△DAC的面积最大，即点D到直线AC的距离取得大．过点D作x轴的垂线交AC于点G，设点D的坐标为（x，x2+2x-3），则G（x，-x-3），推出DG=-x-3-（x2+2x-3）=-x-3-x2-2x+3=-x2-3x，利用二次函数的性质求解即可； （3）分两种情形：OB是平行四边形的边或对角线分别求解即可． 【详解】（1）解：因为点，在抛物线上 所以： 解得： ∴二次函数的解析式为： 当时， 解得：， ∵   ∴A点坐标为． （2）解：如图1，连接AD，CD. ∵点D到直线AC的距离取得最大， ∴此时△DAC的面积最大． 由A(－3，0)，C(0，－3)，得直线AC的解析式为y＝－x－3. 过点D作x轴的垂线交AC于点G，设D(x，x2＋2x－3)，则G(x，－x－3). ∵点D在第三象限， ∴－3＜x＜0，DG＝－x－3－(x2＋2x－3)＝－x2－3x， ∴S△ACD＝DG·OA＝ (－x2－3x)×3＝－x2－x＝－＋， ∴当x＝－时，S△ACD最大，此时D， ∴点D到直线AC的距离取得最大值时，D． （3）解：点N的坐标为(－2，－3)或(0，－3)或(2，5)， 如图2，当OB是平行四边形的边时，OB＝MN＝1，OB∥MN， 可得N(－2，－3)或N′(0，－3)； 当OB为对角线时，点N″的横坐标为2， 当x＝2时，y＝4＋4－3＝5， ∴N″(2，5). 综上所述，满足条件的点N的坐标为(－2，－3)或(0，－3)或(2，5) ． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数的最值等知识点，利用二次函数的性质和数形结合的思想是解答本题的关键． 2．（22-23九年级上·吉林长春·期末）在平面直角坐标系中，抛物线（，是常数）经过点，点．点在此抛物线上，其横坐标为． (1)求此抛物线的解析式． (2)若时，，则的取值范围是______． (3)点和点A之间（包括端点）的函数图象称为图象，当图象的最大值和最小值差是5时，求的值． (4)直线与轴交于点，以为边在右侧作正方形．当抛物线与正方形有2个交点时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或或 【分析】（1）用待定系数法求抛物线解析式即可； （2）先求出抛物线的顶点坐标和对称轴，根据函数的增减性，结合时，，求出b的范围即可； （3）分三种情况：点P在顶点右侧，点P在顶点与点A之间，点P在点A左侧三种情况进行讨论，分别求出m的值即可； （4）分三种情况：，，三种情况进行讨论，分别求出符合题意的m的取值范围即可． 【详解】（1）解：把点，点代入抛物线解析式得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：， ∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线， 把代入得：， 解得：，， ∵时，， ∴时，函数能够取得最小值， ∴， 故答案为：． （3）解：当点P在顶点右侧，即时，函数能够取最小值， ∵图象的最大值和最小值差是5， ∴此时点P的纵坐标，即点P坐标为， 把代入得： ， 解得：，（舍去）； 当点P在顶点与点A之间，即时，图象G的最大值和最小值差不可能是5； 当点P在点A左侧，即时，函数的最小值为0， ∵图象的最大值和最小值差是5， ∴此时点P的纵坐标，即点P坐标为， 把代入得： ， 解得：，（舍去）； 综上分析可知，或． （4）解：∵函数的图象一定或点B，点B为正方形的一个顶点， ∴抛物线与正方形一定有一个交点为B， ∴要使抛物线与正方形有2个交点，再使抛物线与正方形有1个交点即可； ∵直线与轴交于点， ∴点C的坐标为， 过点B做轴，交抛物线于一点M，如图所示： 把代入得：， 解得：，， ∴点的坐标为， ∴， ①当点C在点B的下方，即时，正方形的边长正好为4时，点E与点M重合，， 即边在直线上， ∵顶点坐标为， ∴此时顶点坐标正好在边上， ∴此时抛物线与正方形有3个交点，不符合题意； 当正方形的边长大于4，即时，正方形的边与抛物线交于、两点，符合题意； 当正方形的边长小于4，即时，正方形的边长为，要使正方形与抛物线有2个交点则：， 解得：， 即当时，正方形与抛物线有2个交点； ②当点C在点B的上方，即时， 正方形的边长正好为4时，点E与点M重合，，此时抛物线与正方形正好有2个交点，符合题意； 正方形的边长小于4时，正方形与抛物线只有一个交点B，不符合题意； 正方形的边长大于4时，正方形与抛物线有3个交点，不符合题意； ③当时，点B与点C重合，此时正方形不存在，不符合题意； 综上分析可知，当或或时，抛物线与正方形有2个交点． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求抛物线的解析式，抛物线的图象和性质，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 3．（22-23九年级上·吉林长春·期末）平面直角坐标系中，抛物线经过、两点，点A、C在这条抛物线上，它们的横坐标分别为m和． (1)求这条抛物线所对应的函数关系式． (2)当时，y的取值范围是，求t的值． (3)抛物线上A、C两点和它们之间的部分记作图象G，设G的最高点纵坐标与最低点纵坐标之差为h．当点C在对称轴右侧时，求h与m之间的函数关系式． (4)以线段为对角线作矩形，轴．当矩形与抛物线有且只有三个公共点时，设第三个公共点为F，若与矩形的面积之比为，请直接写出m的值． 【答案】(1) (2)或3.5 (3) (4)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）将二次函数化为顶点式，确定最小值及对称轴，结合题意得出在对称轴的左侧，y随x值的增大而减小，或者，两种情况建立方程求解即可； （3）先求出当A、C两点恰好关于对称时，，然后分三种情况分析当时，点A离对称轴较点C离对称轴远，当时，点C离对称轴较点A离对称轴远，当时，点C离对称轴较点A离对称轴远，依次求解即可确定函数解析式； （4）结合（3）分三种情况讨论：当及时，矩形与抛物线有且只有两个公共点，不符题意，当，当，分别作出相应图象，结合面积比及二次函数的基本性质求解即可． 【详解】（1）解：将点、代入，得， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：， ∴抛物线的最低点顶点为，最小的函数值为，对称轴为， ∵当时，y的取值范围是， 若，即在对称轴的左侧，y随x值的增大而减小， ∴当时，，当时，， 解得：或（舍去）， 若时，当时，，当时，， ∴，解得： ∴或3.5； （3）解：当A、C两点恰好关于对称时， ， 解得：， ∵点C在对称轴右侧时， ∴，即， ∴当时，点A离对称轴较点C离对称轴远， ∴，， ∴； 当时，点C离对称轴较点A离对称轴远， ∴，， ∴； 当时，点C离对称轴较点A离对称轴远， ∴，， ∴； 综上可得：； （4）解：结合（3）分类讨论为： 当及时，矩形与抛物线有且只有两个公共点，不符题意，如图所示（作出了的情况，其他两种情况与此类似）： 不符合题意， 当，如图所示： ∵矩形，轴， ∴， ∵与矩形的面积之比为， ∴， ∴点F为CD的中点， ∵， ∴， ∵点C的横坐标为， ∴点F的横坐标为，纵坐标与点C的纵坐标相等， ∴点C，F关于对称， ∴， 解得：； 当，如图所示： ∵矩形，轴， ∴， ∵与矩形的面积之比为， ∴， ∴点F为AB的中点， ∵， ∴， ∵点A的横坐标为， ∴点F的横坐标为，纵坐标与点A的纵坐标相等， ∴点A，F关于对称， ∴， 解得：； 综上可得或． 【点睛】题目主要考查二次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，动点问题确定相应函数解析式，矩形的性质等，理解题意，进行分类讨论，作出相应图象是解题关键及难点． 4．（22-23九年级上·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的两个交点分别为，，顶点为C，与y轴交点为D．点Р是抛物线上一个动点，其横坐标为m． (1)）求抛物线的函数表达式； (2)过点D作垂直抛物线的对称轴于点E，求的值； (3)设抛物线在P、A两点之间的部分图形为G（包含P、A两点），设图像G的最高点与最低点的纵坐标之差为d，当时，求m的取值范围； (4)已知平面内一点Q的坐标为，点M的坐标为，连接、，以、为边构造矩形．当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大，或者y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）先求C、D的坐标，从而求出，，最后根据正切的定义求解即可； （3）分析图形G，分P在A的左侧；P在A、C之间；P在C的右侧，且点P在x轴的上方；P在C的右侧，且点P在x轴的下方，讨论即可； （4）根据函数值y随x的增大而增大，或者y随x的增大而减小，指的是在抛物线的对称轴同一侧，列出不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴的两个交点分别为，， ∴， 解得， ∴抛物线的函数表达式； （2）解：∵， ∴， 当时，， ∴， ∴，， ∴； （3）解：当时，， ∵， ∴， 解得或（不符合题意，舍去） 当时，， ∴（不符合题意，舍去）； 当时，（不符合题意，舍去）； 当时，， ∵， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）； 综上，当或时，； （4）解：由题意，知：或， 解得或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图像与性质，解不等式组，正切的定义等知识，解题的关键是注意分类讨论． 5．（23-24九年级上·吉林长春·期末）在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求此抛物线对应的函数表达式并写出顶点坐标； (2)当时，的取值范围是________； (3)抛物线上有一点，点的横坐标为； ①当点在、两点之间（包括、两点）运动时，抛物线在、两点之间的部分（包括、两点）记为图象，设图象的最高点与最低点的纵坐标之差为，求与之间的函数关系式并写出自变量的取值范围； ②已知点，以为对角线构造矩形且矩形的边与坐标轴平行，当矩形的边与抛物线有3个交点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2) (3)①，②或 【分析】（1）把代入，求出m的值即可； （2）易得当时，该函数有最大值4，根据二次函数增减性，得出当时，在取值范围内有最小值，即可解答； （3）①先求出，，然后进行分类讨论：当时，点P在对称轴左边，，当时，点P在对称轴右边，，即可解答；②根据，，为矩形对角线，得出矩形的中线在直线上，然后根据题意，画出图形，进行分类讨论即可． 【详解】（1）解：把代入得： ， 解得：， ∴此抛物线对应的函数表达式为， ∵， ∴顶点坐标为； （2）解：∵，， ∴当时，该函数有最大值4， ∵， ∴当时，在取值范围内有最小值， ∴当时，的取值范围是， 故答案为：； （3）解：①∵， ∴当时，， 即抛物线与x轴交点坐标为， ∴， ∵点的横坐标为， ∴， ∵， ∴该二次函数对称轴为直线， 当时，点P在对称轴左边，， 当时，点P在对称轴右边，， 综上：； ②∵，，为矩形对角线， ∴矩形的中心在直线上， Ⅰ．当点P在点A左边，即时， 如图所示：矩形与抛物线有4个交点，不符合题意； Ⅱ．当点P与点A重合时，即时，矩形不存在， Ⅲ．当点P在点A右边，在抛物线对称轴左边时，即时， 如图所示：矩形与抛物线有3个交点，符合题意； Ⅳ． 当点P在直线和直线之间时，即当时， 如图所示：矩形与抛物线有2个交点，不符合题意； Ⅴ．当点P在直线上时，矩形不存在，不符合题意； Ⅵ． 当点P在直线右侧，点B左侧时，即当时， 如图所示：矩形与抛物线有1个交点，不符合题意； Ⅶ．当点P在点B右侧，点N在点A左侧时， ， 解得：时， 如图所示：矩形与抛物线有2个交点，不符合题意； Ⅷ．当点N与点A重合时， ， 解得：， 如图所示，此时矩形与抛物线有3个交点，符合题意； Ⅸ．当点N在点A左边时， ， 解得：， 如图所示，矩形与抛物线有4个交点，不符合题意； 综上：或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，矩形的性质，以及具有分类讨论的思想． 6．（23-24九年级上·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，点为轴上一点，其纵坐标为，连接，以为边向右作正方形． (1)求的值； (2)设抛物线的顶点为，当点在上时，求的值； (3)当点在抛物线上时，求的值； (4)当抛物线与正方形有两个交点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)；； 【分析】（1）根据题意，将代入表达式解方程即可得出结论； （2）根据题意作出图像，结合图像得出关于的方程求解即可； （3）结合题意，分两种情况讨论：当时；当时，作出相应图像求解即可； （4）根据（3）中的求解情况，分三类求解即可得出结论． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于点， ∴把点代入得； （2）如图①所示： ， ∴顶点的坐标为．              ∵点在上，且点的坐标为， ． （3）如图②所示： 当时，由得． ∵四边形为正方形， ． ∴点的坐标为． ∵点在抛物线上， ∴把点代入，得， 解得（舍去），．              如图③所示： 当时，由得． ∵四边形为正方形，． ∴点的坐标为． ∵点在抛物线上， ∴把点代入 得，解得（舍去），． 综上可知：当点在抛物线上时，或． （4）分三种情况讨论： 根据①中，抛物线的顶点为P，当点P在上时，抛物线与正方形刚好有3个交点，此时，如图所示： 显然，当时，抛物线与正方形只有2个交点； 根据②中，当，点C在抛物线上时，抛物线与正方形刚好有3个交点，此时，如图所示： 显然，当时，点C在抛物线上方，抛物线与正方形只有2个交点； ，当，，解得或，即正方形边长为，如图所示： 显然，当时，抛物线与正方形只有2个交点， 综上所述，当抛物线与正方形有两个交点时，或或． 【点睛】本题考查二次函数综合，难度较大，尤其是分类讨论比较繁琐，涉及到待定系数法求解析式、图形与抛物线交点变化问题，读懂题意，根据要求准确作出相应图像是解决问题的关键． 7．（23-24九年级上·吉林·期末）如图①，在平面直角坐标系中，，等腰直角三角形的顶点的坐标为，点在第四象限，边与轴交于点，点分别是线段的中点，过点的抛物线（为常数）的顶点为. (1)点的坐标为______，用含的代数式表示为______. (2)如图②，点为中点，当抛物线经过点时. ①求该抛物线所对应的函数表达式； ②若点在该抛物线上，点在线段上，当以和为对边的四边形是平行四边形时，求点的坐标. (3)当点在等腰直角三角形的边上或内部，且抛物线与有且只有一个公共点时，直接写出的取值范围. 【答案】(1)； (2)①②点的坐标为或 (3)或或 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，中点坐标公式，平行四边形的判定和性质，平移思想，分类思想. （1）根据中点坐标公式解答即可；把代入解析式变形解答即可. （2）①根据，，是等腰直角三角形，得到，，，得到,， 结合点为中点，得到，代入解析式，结合计算即可. ②根据，得到的解析式为；根据点点为中点，得到， 设，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，分点向左平移1的单位和向右平移1个单位，计算即可. （3）分抛物线经过原点，抛物线的顶点在M处和抛物线在中点的右侧和得左侧或上面求解即可. 【详解】（1）∵，等腰直角三角形的顶点的坐标为，点分别是线段的中点， ∴， ∴， 解得， 故答案为：；. （2）①∵，，是等腰直角三角形， ∴，，， ∴,， ∵点为中点， ∴， 代入解析式得， ∵， 解得， 故抛物线的解析式为. ②设的解析式为； 把代入解析式为，得， 解得， 故的解析式为； ∵点为中点，，， ∴， ∵，，点F在线段上， 设， 当点R向左平移1个单位长度得到M时， 根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，只需将点F向左平移1个单位长度，得到,此时四边形是平行四边形； ∵点E在抛物线上， ∴， 解得(舍去), 故点； 当点M向右平移1个单位长度得到R时， 根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，只需将点F向右平移1个单位长度，得到,此时四边形是平行四边形； ∵点E在抛物线上， ∴， 解得(舍去), 故点； 综上所述，符合条件的点E的坐标为或. （3）当经过原点时， ， ∵， ∴， 此时顶点为原点，也在抛物线上，符合题意； 故； ∵， ∴抛物线的顶点， 当抛物线的顶点在M上时，也是符合题意的， 此时即； ∵，， ∴它们的中点， ∵点在等腰直角三角形的边上或内部，且抛物线与有且只有一个公共点， ∴抛物线的对称轴， ∴， 解得； 综上所述，符合题意的m取值为或或. 8．（22-23九年级上·吉林长春·期末）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，顶点为D．点P是抛物线上一动点，其横坐标为m． (1)求该抛物线函数关系式，直接写出顶点D的坐标； (2)当面积为8时，求m的值； (3)当点P在点B右侧时，将抛物线在点P、B两点间的部分记为图象G（包含P、B两点），设图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为d．求d与m之间的函数关系式； (4)点是平面内的一点．当PQ不与坐标轴平行时，以PQ为对角线构造矩形，使矩形各边与坐标轴垂直，当抛物线在矩形内部的部分所对应的函数值y随x的增大而增大或y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)，点 (2)或或 (3)当时，或当时，． (4)或 【分析】（1）根据待定系数法，将点和点代入函数关系式，求得未知系数b和c，得出二次函数解析式，然后把一般式转化为顶点式，即可得出顶点D的坐标； （2）点P是抛物线上一动点，其横坐标为m，则其纵坐标为．那么，解出m即可． （3）画草图，根据图象分情况讨论，当时，点B纵坐标比点P纵坐标大；当时，点P纵坐标比点B纵坐标大．分别列式即可． （4）根据函数值y随x的增大而增大或y随x的增大而减小，指的是在抛物线对称轴同一侧，列出不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：将点和点代入抛物线中，得 ， 解得， 则函数关系式为， 即， ∴点． （2）解：点P是抛物线上一动点，其横坐标为m，则其纵坐标为．那么 ， 即， ∴或， ∴或或． （3）解：当时， ， 即； 当时， ， 即； 综上所述，当时，或当时，． （4）解：根据题意，得 抛物线的对称轴为，那么 或， 解得或． 【点睛】此题主要考查了待定系数法求一元二次函数解析式，二次函数的图象及性质，解不等式组等知识，解题关键是注意分类讨论． 9．（22-23九年级上·吉林长春·期末）在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数）经过点，． (1)求此抛物线对应的二次函数表达式； (2)当时，求二次函数的最大值和最小值； (3)当时，若二次函数的最大值和最小值的差为3，求的值； (4)点在抛物线上，且点的横坐标为（）．以点为中心，构造正方形，，且轴．当抛物线与正方形的边只有2个交点，且交点的纵坐标之差为1时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)最大值为4，最小值为0 (3)或2 (4) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先把抛物线解析式化为顶点式，进而求出抛物线的对称轴，从而得到二次函数的最大值，再分别求出时，；当时，，即可求出对应的最小值； （3）分别求出当时，当时，当时，当时二次函数对应的最大值和最小值，再根据最大值和最小值的差为3进行求解即可； （4）根据题意分三种情况讨论：当点A在y轴左侧，当点A在y轴右侧且在对称轴左侧，当点A在对称轴右侧，根据正方形的性质以及点的坐标位置，即可求解． 【详解】（1）解；∵抛物线（、为常数）经过点，， ∴， ∴， ∴抛物线对应的二次函数解析式为； （2）解：∵抛物线解析式为，， ∴当时，y最大，最大为4，当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小， 当时，；当时，； ∴当时，二次函数的最大值为4，最小值为0； （3）解：当，即时， ∵， ∴当时，； 当时，； ∵二次函数的最大值和最小值的差为3， ∴， 解得； 当，即时， ∴当时，； 当时，； ∵二次函数的最大值和最小值的差为3， ∴， ∴ 解得（都不符合题意，舍去）； 当，即时， ∴当时，； 当时，； ∵二次函数的最大值和最小值的差为3， ∴， ∴ 解得（都不符合题意，舍去）； 当时， 当时，； 当时，； ∵二次函数的最大值和最小值的差为3， ∴， 解得； 综上所述，t的值为或2； （4）解：①如图1所示，当点A在y轴左侧时，设正方形与抛物线的交点分别为， ∵交点的纵坐标之差为1， ∴时， ∴， ∵A是正方形的中心， ∴ ∴， ∴； ②如图2所示，当点在抛物线对称轴左侧，轴右侧时， ∵ ∴， ∴， ∵交点的纵坐标之差为， ∴E的纵坐标为， ∵E的横坐标为， ∴ ∵E在抛物线上， ∴， ∴， 此时无解； ③如图3所示，当点在抛物线对称轴左侧，轴右侧时， 同理可得，， ∵交点的纵坐标之差为， ∴， 解得， ∴， ∴此种情况不符合题意； ④如图4所示，当在抛物线对称轴的右侧时， ∴， ∴， ∴， 解得（不符合题意舍去）； ⑤如图5所示，当在抛物线对称轴的右侧时， 同理可证此种情况不成立； 综上所述，． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，二次函数的对称性，正方形的性质，掌握二次函数图像的性质是解题的关键． 二次函数与相似三角形问题（共3题） 1．（23-24九年级上·吉林长春·期末）已知：二次函数． (1)求证：该抛物线与轴一定有两个交点； (2)设抛物线与轴的两个交点是、（在原点左边，在原点右边），且，求此时抛物线的解析式； (3)在（2）的前提下，若抛物线与轴交于点，问在轴的正半轴上是否存在点，使和相似？ 【答案】(1)证明见解析 (2)； (3)存在．点的坐标为或． 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，相似三角形的性质和判定， （1）由，即可求解； （2）由，即可求解； （3）首先求出，，，然后分和两种情况，分别根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵， 故抛物线与x轴一定有两个交点； （2）解：令， 解得：， 则， 解得：（舍去）或， 故抛物线的解析式为：； （3）解：存在，理由： 由抛物线的解析式知，点， 令，即， 解得，， ∵抛物线与轴的两个交点是、（在原点左边，在原点右边）， ∴，， ∴， ∵ ∴， 当时， ∴，即， 解得， ∴； 当时， ∴，即， 解得：， ∴． 综上所述，点D的坐标为：或． 2．（23-24九年级上·吉林长春·期末）矩形在直角坐标系中的位置如图所示，A、C两点的坐标分别为、，直线与边相交于点D． (1)若抛物线经过D、A两点，试确定此抛物线的表达式； (2)若以点A为圆心的与直线相切，试求的半径； (3)设（1）中抛物线的对称轴与直线交于点M，在对称轴上是否存在点Q，以Q、O、M为顶点的三角形与相似．若存在，试求出符合条件的Q点的坐标；若不存在，试说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，Q的坐标为或 【分析】（1）已知直线与交于点，把代入可得点D的坐标；如图抛物线经过、两点，把已知坐标代入解析式得出a，b的值即可； （2）由可得，设，则，由勾股定理得，从而可求出，即可得圆的半径； （3）证明以及后推出得出符合条件的坐标． 【详解】（1）由题知，线与交于点， 把代入中得，， ∴； ∵抛物线经过、两点， ，分别代入中，得 解得 ． ∴抛物线的解析式为； （2）∵， ∴， 设与切于H，则，如图， 设则， 由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴当直线OD与相切时，． （3）如图2：抛物线的对称轴与x轴交于点，符合条件． ∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴该点坐标为． 过点O作的垂线交抛物线的对称轴于点， ∵对称轴平行于y轴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． ∴， ∵点位于第四象限， ∴． 因此，符合条件的点有两个，分别是，． 【点睛】本题考查函数性质与坐标关系，待定系数法，切线的性质，三角函数以及勾股定理等知识，最后一问探究点的存在性问题，几何图形形式问题和直角三角形性质． 3．（23-24九年级上·吉林松原·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于和，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的解析式； (2)绕点A旋转的直线与y轴相交于点D，与抛物线相交于点E，且满足时，求直线l的解析式； (3)点P为抛物线上的一点，点Q为抛物线对称轴上的一点，是否存在以点B，C，P，Q为顶点的平行四边形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或y (3)存在，点P的坐标为或或 【分析】（1）把和代入求得a，b即可； （2）分两种情况：①当点D、E在点A的异侧时，过点E作轴于点F，可证，由，即得，从而点E的坐标为，用待定系数法即得直线l的解析式为；②当点D、E在点A的同侧时，过点E作轴于点F，同理可得点E的坐标为，直线l的解析式为； （3）抛物线对称轴为直线，设，，又，，分三种情况：①以为对角线，则的中点重合，可解得，②以为对角线，；③以为对角线，． 【详解】（1）∵抛物线经过点和点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）①当点D、E在点A的异侧时，过点E作轴于点F，如图： ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点F与点E的横坐标为， ∴点E的纵坐标为， ∴点E的坐标为， ∵直线过点和点， ∴， 解得： ∴直线l的解析式为； ②当点D、E在点A的同侧时，过点E作轴于点F，如图： ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点F与点E的横坐标为， ∴点E的纵坐标为， ∴点E的坐标为， ∵直线过点和点， ∴， 解得， ∴直线l的解析式为y， 综上所述：直线l的解析式为或； （3）存在以点B，C，P，Q为顶点的平行四边形，理由如下： 抛物线对称轴为直线， 设， 又，， ①以为对角线，则的中点重合， ∴，解得， ∴， ②以为对角线， ∴， 解得， ∴； ③以为对角线， ∴， 解得， ∴， 综上所述，P的坐标为或或． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、二次函数图象与性质，旋转变换、平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标列方程解决问题． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$