热点06 指对数函数的图象及性质-2024-2025学年高一数学重难热点提升精讲与过关测试（人教A版2019必修第一册）

热点06 指对数函数的图象及性质 考点1 指数函数的定义 一般地，函数且)叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为 温馨提示：指数函数解析式的3个特征： （1）底数为大于0且不等于1的常数．（2）自变量的位置在指数上，且的系数是1. （3）的系数是1. 考点2 指数函数的图象和性质 1.指数函数的图形及性质 图象 性质 定义域 值域 定点 过定点 单调性 是R上的增函数 是R上的增函数 温馨提示：（1）当时，指数函数的图象是“上升”的；当时，指数函数的图象是“下降”的． （2）指数函数且)的图象恒过点，只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数且)的大致图象． 2．图象位置关系 底数的大小决定了图象相对位置的高低． （1）在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，“底大图高”．作出直线，与图象的交点从上至下即为底数从大到小的排列顺序． （2）在轴左侧，图象正好相反．如图所示的指数函数的底数的大小关系为. 考点3对数函数的定义 函数，且)叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是． 温馨提示：（1）对数函数是由指数函数反解后将互换得到的． （2）无论是指数函数还是对数函数，都有其底数，且 考点4对数函数的图象及性质 1.对数函数的图象及性质 图象 性质 定义域 值域 定点 过定点 单调性 是上的增函数 是上的增函数 2．当底数不同时对数函数图象的变化规律 作直线与所给图象相交，交点的横坐标即为对数的底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可得. 考点5反函数 指数函数，且和对数函数，且)互为反函数． 热点一 指对数函数的概念判断 例1．下列函数中， 是指数函数． ①；②；③；④；⑤（是常数）；⑥． 例2．若函数是对数函数，则 ． 变式1-1．下列函数是对数函数的是（      ） A． B． C． D． 变式1-2．已知指数函数的图象经过点，则（    ） A． B． C．2 D．4 变式1-3．若函数为对数函数，则（ ） A． B． C． D． 热点二 求指对数函数的解析式 例3．已知函数的图象过定点，函数也经过点，则的值为 ． 例4．已知为对数函数，，则 ， ． 变式2-1．如果指数函数且的图象经过点，求实数的值. 变式2-2．点和B(n，2)在同一个对数函数图象上，则n= . 变式2-3．已知函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式与定义域； （2）函数的图象能否由的图象平移变换得到. 热点三 指对数函数的定义域 例5．函数的定义域是（    ） A．R B． C． D．且 例6．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 变式3-1．函数的定义域是（    ） A． B． C． D．且 变式3-2．已知函数f(x)的定义域为[－2，2]，则函数g(x)＝f(2x)＋的定义域为 ． 变式3-3．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 热点四 指对数函数的值域 例7．已知实数满足，则的取值范围是 . 例8．若定义运算，则函数的值域是 . 变式4-1．函数的值域为 ． 变式4-2．已知函数的值域为，则实数的取值范围是 . 变式4-3．已知幂函数在上单调递增. (1)求m的值，并确定的解析式； (2)，求的定义域和值域. 热点五 指对数函数的图象 例9．函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 例10．（多选）在同一直角坐标系中，函数，可能的图象是（    ） A． B． C． D． 变式5-1．（多选）若函数的图象过第一，三，四象限，则（    ） A． B． C． D． 变式5-2．（多选）函数与的大致图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．     变式5-3．（多选）已知函数与的图象关于坐标原点对称，则函数与的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 热点六 指对数函数的定点问题 例11．已知幂函数的图象不经过第二象限，并且函数（且）恒过定点的纵坐标为，则 例12．函数（且）的图像恒过定点 ． 变式6-1．已知曲线且过定点，若且，则的最小值为 . 变式6-2．函数且的图象恒过定点 变式6-3．已知函数的图象恒过定点，若点也在函数的图象上，则 热点七 指对数函数的单调性问题 例13．求函数的值域和单调区间 例14．已知函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式7-1．函数的单调递增区间为 ． 变式7-2．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式7-3．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 热点八 指对幂比较大小 例15．已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 例16．已知定义在R上的函数为偶函数，且在区间上是增函数，记，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 变式8-1．已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 变式8-2．已知定义在上的函数，若，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 变式8-3．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 热点九 指对数函数解不等式 例17．不等式与不等式 解集相同，则 . 例18．已知函数为奇函数. (1)求a的值； (2)求满足的x的取值范围. 变式9-1．已知集合，.若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是 . 变式9-2．已知，且，函数是指数函数，且． (1)求和的值； (2)求的解集． 变式9-3．已知函数. (1)求的定义域； (2)求关于的不等式的解集. 热点十 指对数函数的综合应用 例19．若直线与函数的图象有两个公共点，则的取值范围是 ． 例20．若关于的函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式10-1．（多选）已知，下列选项正确的是（    ） A．当时，函数的值域为 B．若函数在上单调递增，则的取值范围是 C．若，则 D． 变式10-2．若集合时，，均有恒成立，则的最大值为（   ） A．1 B．4 C．16 D．64 变式10-3．已知幂函数在上单调递减，函数，对任意，总存在，使得，则的取值范围为 ． 一、单选题 1．（2023-24高一下·新疆伊犁·期中）函数，且的图象经过点，则（    ） A． B． C． D．9 2．（2023-24高一上·广东深圳·期末）集合，集合，则（ ） A． B． C． D． 3．（2023-24高一上·四川成都·阶段练习）我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数性质，也常用函数解析式来琢磨函数的图象特征，函数与且在同一坐标系中的图象大致是（    ） A． B． C． D． 4．（2023-24高三上·甘肃酒泉·阶段练习）函数满足对任意，都有成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2023-24高三上·浙江·期中）已知函数，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 6．（2023-24高一上·山东济宁·期中）已知幂函数在上单调递增，函数时，总存在使得，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2023-24高三上·云南玉溪·阶段练习）若，则下列不等关系一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·全国·模拟预测）设函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2023-24高二下·辽宁本溪·期末）对于函数，则（    ） A．与具有相同的最小值 B．与在上具有相同的单调性 C．与都是轴对称图形 D．与在上具有相反的单调性 10．（2023-24高一上·福建厦门·期中）若函数同时满足：①对于定义域上的任意，恒有 ②对于定义域上任意，当 时，恒有 ，则称函数为“ 函数”，下列函数中的“ 函数” （        ） A． B． C． D． 11．（2023-24高三上·江苏盐城·开学考试）已知函数，则以下说法正确的是（    ） A．，使得为偶函数 B．若的定义域为，则 C．若在区间上单调递增，则的取值取值范围是 D．若的值域是，则 三、填空题 12．（2023-24高二上·广东汕头·期中）已知函数，，（，且）．则函数是 函数（奇偶性：奇或偶或非奇非偶）． 13．（2023-24高一上·江苏南通·期中）已知函数为上的偶函数，对任意，当时，均有成立，若，则实数的取值范围为 ． 14．（2023-24高一上·四川德阳·期中）已知实数，且满足，则的取值范围 . 四、解答题 15．（2023-24高一上·山西朔州·期末）已知函数. (1)证明：函数是奇函数； (2)解不等式. 16．（2023-24高一下·广西南宁·期末）已知函数（且）的图象经过点，函数的图象经过点． (1)求的值； (2)求函数的单调递增区间． 17．（2023-24高一上·安徽安庆·期末）已知幂函数是定义在R上的偶函数． (1)求函数的解析式； (2)当时，求函数的最值，并求对应的自变量的值． 18．（2023-24高一上·江西九江·期末）设函数. (1)若不等式有解，求实数的取值范围； (2)设，求在上的最小值，并求此时的值. 19．（2023-24高一上·辽宁沈阳·期末）已知函数.若当点在函数图象上运动时，对应的点在函数图象上运动，则称函数是函数的“伴随”函数. (1)解关于x的不等式； (2)若对任意的，的图象总在其“伴随”函数图象的下方，求a的取值范围； (3)设函数，.当时，求的最大值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点06 指对数函数的图象及性质 考点1 指数函数的定义 一般地，函数且)叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为 温馨提示：指数函数解析式的3个特征： （1）底数为大于0且不等于1的常数．（2）自变量的位置在指数上，且的系数是1. （3）的系数是1. 考点2 指数函数的图象和性质 1.指数函数的图形及性质 图象 性质 定义域 值域 定点 过定点 单调性 是R上的增函数 是R上的增函数 温馨提示：（1）当时，指数函数的图象是“上升”的；当时，指数函数的图象是“下降”的． （2）指数函数且)的图象恒过点，只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数且)的大致图象． 2．图象位置关系 底数的大小决定了图象相对位置的高低． （1）在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，“底大图高”．作出直线，与图象的交点从上至下即为底数从大到小的排列顺序． （2）在轴左侧，图象正好相反．如图所示的指数函数的底数的大小关系为. 考点3对数函数的定义 函数，且)叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是． 温馨提示：（1）对数函数是由指数函数反解后将互换得到的． （2）无论是指数函数还是对数函数，都有其底数，且 考点4对数函数的图象及性质 1.对数函数的图象及性质 图象 性质 定义域 值域 定点 过定点 单调性 是上的增函数 是上的增函数 2．当底数不同时对数函数图象的变化规律 作直线与所给图象相交，交点的横坐标即为对数的底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可得. 考点5反函数 指数函数，且和对数函数，且)互为反函数． 热点一 指对数函数的概念判断 例1．下列函数中， 是指数函数． ①；②；③；④；⑤（是常数）；⑥． 【答案】① 【详解】根据指数函数的定义形如：(其中为常数，且)，则①为指数函数， 中正负不确定，故其余的都不是指数函数. 故答案为：① 例2．若函数是对数函数，则 ． 【答案】 【详解】由对数函数的定义可知，解得. 故答案为：. 变式1-1．下列函数是对数函数的是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：对数函数（且），其中为常数，为自变量． 对于选项A，符合对数函数定义； 对于选项B，真数部分是，不是自变量，故它不是对数函数； 对于选项C，底数是变量，不是常数，故它不是对数函数； 对于选项D，底数是变量，不是常数，故它不是对数函数． 故选：A． 变式1-2．已知指数函数的图象经过点，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【详解】由指数函数的图象经过点，得，解得， 所以. 故选：A 变式1-3．若函数为对数函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可知：函数为对数函数 所以或，又且 所以 故选：B 热点二 求指对数函数的解析式 例3．已知函数的图象过定点，函数也经过点，则的值为 ． 【答案】 【详解】令x﹣2＝0，得x＝2，y＝a0+1＝2， ∴定点A（2，2）， 把点A（2，2）代入函数y＝logmx，得：logm2＝2， ∴m2＝2，即m， 又∵m＞0且m≠1， ∴m， 故答案为． 【点睛】本题主要考查了求指数函数过定点坐标，是基础题． 例4．已知为对数函数，，则 ， ． 【答案】 【详解】设且，则，即，解得， 所以， 所以． 故答案为：， 变式2-1．如果指数函数且的图象经过点，求实数的值. 【答案】 【详解】，又且，. 变式2-2．点和B(n，2)在同一个对数函数图象上，则n= . 【答案】 【解析】先设对数函数为f(x)=logax(a>0，且a≠1)，然后把A点坐标代入可求出a的值，再把点B的坐标代入对数函数中可求出n 【详解】设对数函数为f(x)=logax(a>0，且a≠1). 则由题意可得f(8)=，即loga8=，所以，即a=. 所以，故由B(n，2)在函数图象上可得， 所以n=. 故答案为： 【点睛】此题主要考查利用待定系数法求对数函数的解析式，考查对数的运算，属于基础题. 变式2-3．已知函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式与定义域； （2）函数的图象能否由的图象平移变换得到. 【答案】（1），定义域为；（2）可以. 【解析】（1）把点代入，求出，即得解析式.令，求出的取值范围，即得定义域； （2）根据对数的运算性质可得，故可以由的图象平移得到. 【详解】（1）由图可知是上的两点，将其代入函数表达式 可得，即，解得. ∴的解析式为. ∵有意义需满足，∴. ∴的定义域为. （2）∵， ∴的图象是由的图象向右平移个单位，再向上平移个单位得到的. 故可以由的图象平移得到. 【点睛】本题考查求对数型函数解析式和图象变换，属于基础题. 热点三 指对数函数的定义域 例5．函数的定义域是（    ） A．R B． C． D．且 【答案】C 【详解】由题意可知：要有意义，可得， 所以函数的定义域是. 故选：C. 例6．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，解得或， 所以函数的定义域为. 故选：B. 变式3-1．函数的定义域是（    ） A． B． C． D．且 【答案】D 【详解】要使有意义，则应有， 解得且. 故选：D. 变式3-2．已知函数f(x)的定义域为[－2，2]，则函数g(x)＝f(2x)＋的定义域为 ． 【答案】[－1，0] 【详解】由条件可知，函数的定义域需满足，解得－1≤x≤0，所以函数g(x)的定义域是[－1，0]. 变式3-3．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，解得，所以的定义域是． 故选：D． 热点四 指对数函数的值域 例7．已知实数满足，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】∵，， ∴， ∴， 由得，即， ∵，在上为减函数， ∴， ∴的取值范围是. 故答案为：. 例8．若定义运算，则函数的值域是 . 【答案】 【详解】依题意，由，得，即，解得， 由解得，因此， 显然函数在上单调递减，取值集合为，在上单调递增，取值集合是， 所以函数的值域为. 故答案为： 变式4-1．函数的值域为 ． 【答案】 【详解】因为当时，， 当时，， 所以函数的值域为， 故答案为： 变式4-2．已知函数的值域为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】①当时， 当时，在上递增，则， 当时，， ∵时，； 时，，即， ∴当时，， 因为的值域为， 所以，得，所以． ②当时， 当时，在上递增，则， 当时，，则，在上递增， 所以， 因为的值域为， 所以，得， 在同一直角坐标系中作出和的图象，如图所示， 由图可知，当时，， 所以当时，不等式成立， 综上，，即实数的取值范围. 故答案为：． 变式4-3．已知幂函数在上单调递增. (1)求m的值，并确定的解析式； (2)，求的定义域和值域. 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）因为函数为幂函数, 则，解得或. 当时，在上单调递增，满足条件. 当时，在上单调递减，不满足条件. 综上所述， （2）由(1)知， 由解得， 所以的定义域为. 设，则， 此时的值域，就是函数的值域. 在区间上是增函数，所以； 所以函数的值域为. 热点五 指对数函数的图象 例9．函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，，故A、B、C错误； 当时，若，则， 且在上单调递增，D选项不符合； 当时，在上单调递减， 若，则，D选项符合； 故函数的图象可能是D. 故选：D. 例10．（多选）在同一直角坐标系中，函数，可能的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】由题意，且， 的定义域为，的定义域为. 当时，， 函数在上单调递减，且过； 在上单调递减，且过， 所以函数，可能的图象是D； 当时，， 函数在上单调递增，且过； 在上单调递减，且过， 所以函数，可能的图象是B； 当时，， 函数在上单调递增，且过； ，其图象是直线，选项中没有符合要求的； 当时，， 函数在上单调递增，且过； 在上单调递增，且过， 所以函数，可能的图象是A. 综上，函数，可能的图象是ABD. 故选：ABD. 变式5-1．（多选）若函数的图象过第一，三，四象限，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】由题意可知：函数大致图象如下图所示， 若，则的图象必过第二象限，不符合题意，所以． 当时，要使的图象过第一、三、四象限，，解得． 故选：BC． 变式5-2．（多选）函数与的大致图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．     【答案】AC 【详解】对于A，当时，单调递增，与轴交于正半轴， 在上单调递增，故选项A符合题意． 对于B选项，由指数函数的图象可知，由一次函数的图象可知，则，故选项不符合题意． 对于C，当时，单调递减，与轴交于正半轴， 在上单调递减，C选项符合题意． 对于D选项，由一次函数图象可知，解得，则D选项不符合题意． 故选：AC. 变式5-3．（多选）已知函数与的图象关于坐标原点对称，则函数与的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】在函数的图象上任取点，则点在的图象上， 即，于是对任意成立，则， 当时，函数是R上的减函数，，则是上的增函数，C符合，D不符合； 当时，函数是R上的增函数，，则是上的减函数，A符合，B不符合. 故选：AC 热点六 指对数函数的定点问题 例11．已知幂函数的图象不经过第二象限，并且函数（且）恒过定点的纵坐标为，则 【答案】8 【详解】幂函数， ，解得或， 当时，不经过第二象限；当时，经过第二象限， ， 又函数（且）恒过定点，所以， . 故答案为：8. 例12．函数（且）的图像恒过定点 ． 【答案】 【详解】因为函数（且）， 令，此时，则， 所以函数图像恒过定点， 故答案为：. 变式6-1．已知曲线且过定点，若且，则的最小值为 . 【答案】16 【详解】根据指数型函数定点问题，求，再结合基本不等式求最值. 因为且过定点， 则，， 若且， 则 ， 当且仅当 且，即， 时取等号． 所以的最小值为16. 故答案为：16 变式6-2．函数且的图象恒过定点 【答案】 【详解】因为函数且，，即函数恒过点. 故答案为：. 变式6-3．已知函数的图象恒过定点，若点也在函数的图象上，则 【答案】/ 【详解】，当时，，故， ，解得. 故答案为：. 热点七 指对数函数的单调性问题 例13．求函数的值域和单调区间 【答案】答案见解析 【详解】令，则在上单调递增，且恒成立， 则， 对于，其开口向上，对称轴为， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以，则的值域为， 又当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的值域为，单调递减区间为，单调递增区间为. 例14．已知函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为在上单调递减， 则对任意的恒成立，可得且； 且开口向下，对称轴， 当时，则对称轴，可知在内单调递减， 且在定义域内单调递减，所以在上单调递增，不合题意； 当时，因为在定义域内单调递增，可知在内单调递减， 则，解得； 综上所述：的取值范围是. 故选：C. 变式7-1．函数的单调递增区间为 ． 【答案】 【详解】由,解得, 要求函数的单调递增区间， 则应求函数的单调递减区间， 易知函数的单调递减区间为， 结合定义域可得函数的单调递增区间为. 故答案为:. 变式7-2．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：因为函数在上单调递增， 所以，解得， 故选：A 变式7-3．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为为上的单调减函数，根据复合函数单调性可知，在单调递减， 故，解得. 故选：D. 热点八 指对幂比较大小 例15．已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，，， 所以. 故选：C 例16．已知定义在R上的函数为偶函数，且在区间上是增函数，记，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由函数为R上的偶函数，且在上是增函数， 则该函数在上为减函数，且有， 则，，， 因为，，， 即，由于函数在上为减函数， 所以，可得. 故选：C 变式8-1．已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， ， ，且. 所以. 故选：A 变式8-2．已知定义在上的函数，若，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为均是在上的单调增函数， 则在上也单调递增， 因为，，即，， 则，则，即， 故选：A. 变式8-3．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，，， 所以，所以. 故选：A. 热点九 指对数函数解不等式 例17．不等式与不等式 解集相同，则 . 【答案】 【详解】， 在上单调递增, ，即， ， . 故答案为： 例18．已知函数为奇函数. (1)求a的值； (2)求满足的x的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为函数为奇函数，所以， 则， 即， 则. （2）由（1）知，， 由，解得，即函数的定义域为， 由，， 即， 即， 即， 则，解得， 又，则， 即x的取值范围为. 变式9-1．已知集合，.若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】解不等式即解， 因为是减函数，所以即，解得或， 所以或， 解不等式即解， 因为是增函数，所以，解得， 所以. 因为“”是“”的必要不充分条件，所以集合B是集合A的真子集， 所以. 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 变式9-2．已知，且，函数是指数函数，且． (1)求和的值； (2)求的解集． 【答案】(1)，； (2) 【详解】（1）因为函数是指数函数， 所以，又，故解得，则， 又，则（负值舍去）． （2），它是定义在R上的减函数， 不等式化为， 所以，解得． 所以不等式的解集为． 变式9-3．已知函数. (1)求的定义域； (2)求关于的不等式的解集. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，解得， 所以的定义域为. （2）. 不等式可化为. 因为是增函数，所以 解得，故. 故不等式的解集为. 热点十 指对数函数的综合应用 例19．若直线与函数的图象有两个公共点，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为函数为定义在R上的增函数，且， 所以， 在同一坐标系作出直线与函数的图象如图所示， 由图可得，所以. 所以满足题意的的取值范围是. 故答案为：. 例20．若关于的函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，，且对任意， ，① 且，② 对于①，，结合，得. 若，由②知对任意，矛盾； 若，由②知对任意，即， 则，得， 综上，当时，对任意，①②同时成立. 故选：C 变式10-1．（多选）已知，下列选项正确的是（    ） A．当时，函数的值域为 B．若函数在上单调递增，则的取值范围是 C．若，则 D． 【答案】BD 【详解】对于A，当时，， 当时，， 当时，， 因为函数在上单调递增， 所以在上单调递增， 则， 综上所述，函数的值域为，故A错误； 对于B，由A知，函数在上单调递增， 要使函数在上单调递增，则，解得， 则的取值范围是，故B正确； 对于C，因为，恒成立， 由A知，函数在上单调递增， 所以，即为， 即恒成立，所以，故C错误； 对于D，因为，所以，故D正确. 故选：BD. 变式10-2．若集合时，，均有恒成立，则的最大值为（   ） A．1 B．4 C．16 D．64 【答案】B 【详解】要使不等式恒成立，则恒成立， 当取得最大值，时，取得最大值， 即恒成立，因为函数和都是增函数，所以函数是增函数， 当时，，所以的最大值为4. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键是变形不等式为，再根据函数的单调性，分析条件中的数据，代入. 变式10-3．已知幂函数在上单调递减，函数，对任意，总存在，使得，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由为幂函数，故，解得或， 当时，，在上单调递增，不符； 当时，，在上单调递减，符合要求； 故，且， 由题意可得在上的值域为在上的值域的子集， 当时，， 当，，令， 由函数在上单调递减，在上单调递增， 则时，， 则， 则有，解得. 故答案为：. 一、单选题 1．（2023-24高一下·新疆伊犁·期中）函数，且的图象经过点，则（    ） A． B． C． D．9 【答案】D 【详解】由题意可知，，，且，得， 所以，. 故选：D 2．（2023-24高一上·广东深圳·期末）集合，集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，，所以. 故选：B. 3．（2023-24高一上·四川成都·阶段练习）我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数性质，也常用函数解析式来琢磨函数的图象特征，函数与且在同一坐标系中的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，由指数函数的图象，可得，则，即函数在其定义域上单调递减，故A错误； 对于B，由指数函数的图象，可得，则，即函数在其定义域上单调递增，故B错误； 对于C，由指数函数的图象，可得，则，即函数在其定义域上单调递减，故C正确； 对于D，由指数函数的图象，可得，则，即函数在上单调递减，故D错误； 故选：C. 4．（2023-24高三上·甘肃酒泉·阶段练习）函数满足对任意，都有成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对任意都有成立， 与异号， 根据函数单调性的定义，可知在上是单调递减函数， 函数， ，解得． 故选：C 5．（2023-24高三上·浙江·期中）已知函数，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可得或，又为增函数， 所以解得或，故解集为. 故选：D. 6．（2023-24高一上·山东济宁·期中）已知幂函数在上单调递增，函数时，总存在使得，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由已知，得或．当时，，当时，． 又在单调递增，， 在上的值域为在上的值域为， 因为函数时，总存在使得， 是的子集， ，即． 故选：B． 7．（2023-24高三上·云南玉溪·阶段练习）若，则下列不等关系一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 则， 由，得，， 作函数的图象，同时作出， 如上图，变换的值可以发现，，均能够成立，不可能成立. 故选：B. 8．（2024·全国·模拟预测）设函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】易知，故，，在上恒成立， 等价于不等式即在上恒成立， 故，（点拨：当时，函数在上单调递增， 则，所以）， 故，即，又，故． 故实数的取值范围是． 故选：B 二、多选题 9．（2023-24高二下·辽宁本溪·期末）对于函数，则（    ） A．与具有相同的最小值 B．与在上具有相同的单调性 C．与都是轴对称图形 D．与在上具有相反的单调性 【答案】AC 【详解】A选项，在同一坐标系中，作出函数，的图像如图所示， 由图可知与的最小值都为1，A项正确； B选项，在上单调递增，在上不单调，B项错误； C选项，的图像关于直线对称，的图像关于直线对称，C项正确； D选项，与在上均单调递减，D项错误. 故选：AC 10．（2023-24高一上·福建厦门·期中）若函数同时满足：①对于定义域上的任意，恒有 ②对于定义域上任意，当 时，恒有 ，则称函数为“ 函数”，下列函数中的“ 函数” （        ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】由于，所以是奇函数； 由于对于定义域上任意，当 时，恒有， 所以在上单调递增. A选项，是偶函数，不符合题意. B选项，是奇函数，且在上单调递增，符合题意. C选项，， 所以是奇函数，且在上单调递增，符合题意. D选项，是偶函数，不符合题意. 故选：BC 11．（2023-24高三上·江苏盐城·开学考试）已知函数，则以下说法正确的是（    ） A．，使得为偶函数 B．若的定义域为，则 C．若在区间上单调递增，则的取值取值范围是 D．若的值域是，则 【答案】ABD 【详解】对于A，在中，取，则， 此时函数的定义域为，且，即为偶函数，故A正确； 对于B，因的定义域为，则恒成立， 即，解得，故B正确； 对于C，令，因在定义域上单调递减， 故要使函数在区间上单调递增，则需使在上单调递减且恒大于0， 故有解得，故C错误； 对于D，因的值域是，即， 由复合函数的单调性可知，此时， 由知， 解得，即故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．（2023-24高二上·广东汕头·期中）已知函数，，（，且）．则函数是 函数（奇偶性：奇或偶或非奇非偶）． 【答案】奇 【详解】由题设，其定义域为， 由， 所以是奇函数. 故答案为：奇 13．（2023-24高一上·江苏南通·期中）已知函数为上的偶函数，对任意，当时，均有成立，若，则实数的取值范围为 ． 【答案】或 【详解】由任意，均有成立，得在上单调递减， 又函数为上的偶函数，则在上单调递增， 不等式 ，则， 即或，解得或， 所以实数的取值范围为或. 故答案为：或 【点睛】思路点睛：解涉及奇偶性的函数不等式，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则. 14．（2023-24高一上·四川德阳·期中）已知实数，且满足，则的取值范围 . 【答案】 【详解】由，化简为：， 设，则在上递增， 因为，所以，且， 所以，得， 所以，又，所以在单调递减， 所以， 故答案为： 四、解答题 15．（2023-24高一上·山西朔州·期末）已知函数. (1)证明：函数是奇函数； (2)解不等式. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：由函数， 可得，且的定义域为， 因为， 所以函数是定义域上的奇函数. （2）解：根据指数函数的性质，可得为减函数，则也为减函数， 所以函数是奇函数且是减函数， 由不等式，可得， 所以，即，解得或， 解得不等式的解集为. 16．（2023-24高一下·广西南宁·期末）已知函数（且）的图象经过点，函数的图象经过点． (1)求的值； (2)求函数的单调递增区间． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）由函数的图象经过点，得，① 由函数的图象经过点，得， 即，② 解①②得（舍去）． （2）由（1）知， 因为， 所以函数的定义域为R，再根据复合函数单调性知其在上单调递增， 所以函数的单调递增区间为． 17．（2023-24高一上·安徽安庆·期末）已知幂函数是定义在R上的偶函数． (1)求函数的解析式； (2)当时，求函数的最值，并求对应的自变量的值． 【答案】(1) (2)当时，函数的最小值为；当时，函数的最大值为7 【详解】（1）根据题意可得，即， 所以，解得， 又函数是定义在R上的偶函数， 所以，即函数的解析式为． （2）由（1）可知 因，所以， 所以当，即，函数的最小值为； 当时，，函数的最大值为7． 18．（2023-24高一上·江西九江·期末）设函数. (1)若不等式有解，求实数的取值范围； (2)设，求在上的最小值，并求此时的值. 【答案】(1)； (2)，. 【详解】（1）不等式有解，即有解， 而，则，当且仅当，即时取等号， 所以实数的取值范围是. （2）函数，则， 令，则，显然函数在上都递增， 则函数在上单调递增， 函数，，显然函数在上单调递减，在上单调递增， 因此当时，，此时，解得， 所以在上的最小值是，此时. 19．（2023-24高一上·辽宁沈阳·期末）已知函数.若当点在函数图象上运动时，对应的点在函数图象上运动，则称函数是函数的“伴随”函数. (1)解关于x的不等式； (2)若对任意的，的图象总在其“伴随”函数图象的下方，求a的取值范围； (3)设函数，.当时，求的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）依题意得，则，所以，所以原不等式的解集为 （2）由题意得，所以，所以的“伴随”函数为. 依题意，对任意的，的图象总在其“伴随”函数图象的下方，即当时，恒成立① 由，对任意的总成立，结合题设条件有，在此条件下， ①等价于当时，恒成立，即，即. 设，要使当时，恒成立 只需，即成立，解得，即，且， 即a的取值范围是. （3）由（2）可得当时，在区间上，， 即 设，则，令，则 所以， 因为（当且仅当时，等号成立），可得，当时，等号成立， 满足，则t的最大值为， 所以的最大值是 2 学科网（北京）股份有限公司 $$