专题01 三角形（7基础题型+3提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学上学期期末真题分类汇编（鲁教版）

专题01 三角形 经典基础题 题型01三角形中的三条重要线段 题型02三角形的三边关系 题型03三角形全等的性质与判断 题型04三角形的稳定性 题型05尺规作图问题 题型06确定三角形的条件 题型07三角形全等的应用 优选提升提 题型01线段的最值问题 题型02分类讨论思想的应用 题型03探究性问题 三角形中的三条重要线段 1．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，是 边上的中线，CE是AB边上的高，若，，则的长度为（    ）． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查三角形中线的性质，三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．根据中线的性质求出的面积，再利用面积公式进行求解即可． 【详解】解：∵是边上的中线，， ∴， ∴； 故选：A． 2．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，的面积为36，，点D为边上一点，过点D分别作于E，于F，若，则长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查与三角形的高有关的计算，连接，根据，列出方程进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵于E，于F， ∴， ∵的面积为36，，， ∴， ∴． 3．（23-24八年级上·山东德州·期末）如图，是的中线，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了中线的定义，中线与面积的关系．熟练掌握中线的定义，中线与面积的关系是解题的关键． 根据中线的定义，中线与面积的关系求解作答即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴，， ∴B正确，故符合要求； 故选：B． 4．（21-22七年级下·山东青岛·期末）如图，是的边上的中线，是的边上的中线，是的边上的中线，若的面积是32，则阴影部分的面积是（　　）    A．9 B．12 C．18 D．20 【答案】B 【分析】利用中线等分三角形的面积进行求解即可． 【详解】解：∵是的边上的中线， ∴， ∵是的边上的中线， ∴， 又∵是的边上的中线，则是的边上的中线， ∴，， 则， 故选：B． 【点睛】本题考查了中线的性质，清晰明确三角形之间的等量关系，进行等量代换是解题的关键． 5．（19-20八年级上·山东日照·期末）对于任意三角形的高，下列说法不正确的是（　　） A．锐角三角形的三条高交于一点 B．直角三角形只有一条高 C．三角形三条高的交点不一定在三角形内 D．钝角三角形有两条高在三角形的外部 【答案】B 【分析】根据三角形的高的概念，通过具体作高，发现：任意一个三角形都有三条高，其中锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形有两条高即三角形的两条直角边，一条在内部；钝角三角形有两条高在三角形的外部，一条在内部，据此解答即可． 【详解】解：A、锐角三角形的三条高交于一点，说法正确，故本选项不符合题意； B、直角三角形有三条高，说法错误，故本选项符合题意； C、三角形三条高的交点不一定在三角形内，说法正确，故本选项不符合题意； D、钝角三角形有两条高在三角形的外部，说法正确，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，注意不同形状的三角形的高的位置． 三角形的三边关系 1．（23-24七年级下·山东聊城·期末）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（    ） A．4，5，6 B．2，3，5 C．5，5，11 D．7，8，15 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系的运用，三角形的两边差小于第三边，三角形两边之和大于第三边．运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 【详解】解：A.由4、5、6可得，，故能组成三角形； B.由2、3、5可得，，故不能组成三角形； C.由5、5、11可得，，故不能组成三角形； D.由7、8、15可得，，故不能组成三角形； 故选：A． 2．（23-24七年级下·山东·期末）以，，，四根木条中的三根组成三角形，可以构成的三角形的个数是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求解，掌握三角形三边关系定理是解题的关键． 【详解】从、、、这四根木条中任取根，共有种不同的取法，分别为： 、、， ∵， ∴以、、可以组成三角形； 、、， ∵， ∴以、、可以组成三角形； 、、， ∵， ∴以、、不可以组成三角形； 、、， ∵， ∴以、、可以组成三角形； 综上可知：能构成三角形的个数为个， 故选：． 3．（23-24七年级下·山东枣庄·期末）若三角形的三边长分别是2，7，，则的取值可能是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形三边之间的关系，解题的关键是掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．根据三角形三边之间的关系即可进行解答． 【详解】解：∵三角形的三边长分别是2，7，， ∴，即， ∴的取值可能是6， 故选：A． 4．（23-24八年级上·山东日照·期末）已知中，其中有两边长是2和5，且的第三边长是偶数，则此三角形的周长为（    ） A．11 B．12 C．13 D．11或13 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形三边的关系，根据三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边求出第三边的取值范围，再由第三边长是偶数求出第三边的长，最后根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：∵中，其中有两边长是2和5， ∴第三边长，即第三边长， 又∵第三边长为偶数， ∴第三边长为4或6， ∴该三角形的周长为或， 故选：D． 5．（23-24七年级上·山东威海·期末）若，，为的三条边，且，满足，第三条边为整数，则的周长最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】本题考查了非负数的性质，三角形三条边的关系，熟练掌握三角形三条边的关系是解答本题的关键．先根据非负数的性质求出，的值，然后根据三角形三条边的关系求出c的取值范围，进而可求出的周长． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长最小值为． 故选B． 6．（22-23八年级上·山东日照·期末）已知，，是一个三角形的三边长，化简：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形三边的关系得到吗，据此化简绝对值即可． 【详解】解：∵，，是一个三角形的三边长， ∴， ∴ ， ， 故选A． 【点睛】本题主要考查了三角形三边的关系，化简绝对值，整式的加减计算，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 三角形全等的性质与判断 1．（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，已知，，则的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定，即可． 【详解】解：在和中， ， ∴． 故选：A． 2．（18-19七年级下·山东济南·期末）如图，中，，高、相交于点，连接并延长交于点，则图中全等的直角三角形共有（        ） A．4对 B．5对 C．对 D．7对 【答案】C 【分析】首先根据等腰三角形得到∠ABC=∠ACB，证明△BCE≌△CBD，得到BE=CD，可证△OBE≌△OCD，同时得到AE=AD,再证明△ABD≌△ACF，得到EO=DO,证明△OAE≌△OAD得到∠BAF=∠CAF ,证得△ABF≌△ACF，△OBF≌△OCF，故可求解. 【详解】∵，∴∠ABC=∠ACB ∵高、相交于点，∴∠BEC=∠CDB，又BC=CB, ∴△BCE≌△CBD（AAS）， ∴BE=CD，∴AE=AD ∴△ABD≌△ACF（SAS）， 又∠BOE=∠COD,∴△OBE≌△OCD（AAS），∴EO=DO ∴△OAE≌△OAD（SSS） ∴∠BAF=∠CAF , ∴△ABF≌△ACF（SAS）， ∴BF=CF ∴△OBF≌△OCF（SSS） 故有6对全等的直角三角形 故选C 【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理. 3．（23-24八年级上·山东济宁·期末）如图，，添加一个条件使，下列选项中不能作为添加条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法：、、、、依次对各选项分析即可判断． 【详解】解：A．∵，，∴若添加，根据可判定； B．∵，，∴若添加，根据可判定； C．∵，，∴若添加，根据可判定； D．∵，，∴若添加，无法判定； 故选D． 4．（20-21八年级上·山东济南·期末）如图所示，∠C＝∠D＝90°，添加下列条件①AC＝AD；②∠ABC＝∠ABD；③∠BAC＝∠BAD；④BC＝BD，能判定Rt△ABC与Rt△ABD 全等的条件的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据已知条件与全等三角形的判定定理即可分别判断求解． 【详解】∵∠C＝∠D＝90°，AB=AB， ∴①AC＝AD，可用HL判定Rt△ABC与Rt△ABD全等； ②∠ABC＝∠ABD，可用AAS判定Rt△ABC与Rt△ABD全等； ③∠BAC＝∠BAD，可用AAS判定Rt△ABC与Rt△ABD全等； ④BC＝BD，可用HL判定Rt△ABC与Rt△ABD全等； 故选：D． 【点睛】此题主要考查全等三角形的判定，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理． 5．（2020·山东淄博·七上期末）如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（     ） A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED 【答案】B 【分析】根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵△ABC≌△ADE， ∴AC＝AE，AB＝AD，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， 即∠BAD＝∠CAE． 故A，C，D选项错误，B选项正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 6．（23-24七年级上·山东威海·期末）如图，，，若，则 °． 【答案】25 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的性质．由可得，推出，最后根据直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：， ， ， 即， ， ， ， 故答案为：． 7．（23-24七年级上·山东泰安·期末）已知中，，直线l经过点A．如图，点D，E分别在直线l上，点B，C位于l的同一侧，若，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，准确看图与熟练记住三角形全等的判定方法是解题关键．由，，，求出即可求解． 【详解】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 8．（20-21七年级下·山东威海·期末）已知：点在的边上，，平分，求证：． 【答案】见解析 【分析】延长AD至E，使AD=DE，连接BE，证明△ADC≌△EDB，得到AC=BE，再通过证明AB=BE，进而证明AB=AC． 【详解】证明:如图，延长AD至E，使AD=DE，连接BE， 在△ADC和△EDB中 （对顶角相等） ∴△ADC≌△EDB， ∴AC=BE，∠CAD=∠BED， ∵平分， ∴∠CAD=∠BAD， ∴∠BAD=∠BED， ∴AB=BE， ∴AB=AC 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义．倍长中线法构造全等三角形△ADC和△EDB是解题的关键． 三角形的稳定性 1．（23-24七年级下·山东青岛·期末）将空调安装到墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的数学原理是（   ） A．三角形具有稳定性 B．对顶角相等 C．垂线段最短 D．两点之间线段最短 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，正确理解三角形的稳定性是解题的关键．． 根据三角形具有稳定性即可求解． 【详解】解：钉在墙上的方法是构造三角形支架，这种方法应用的数学知识是：三角形具有稳定性． 故选：A． 2．（18-19七年级下·山东枣庄·期末）如图，要使四边形木架（用四根木条钉成）不变形，至少要再钉上的木条的根数为（    ） A．一条 B．两条 C．三条 D．四条 【答案】A 【分析】根据三角形具有稳定性可得结论． 【详解】根据三角形的稳定性可得：至少要再钉上1根木条（过四边形的对角线钉上1根木条）． 故选A． 【点睛】本题考查了三角形具有稳定性，掌握三角形具有稳定性，而四边形不具有稳定性是解答本题的关键． 3．（23-24八年级下·山东潍坊·期末）下列生活中的做法与其运用的数学原理对应正确的是（    ） A．如图①、工人师傅在砌墙时，先在两端各固定一点，中间拉紧一条细线，然后沿着细线砌墙就能砌直（两点确定一条直线） B．如图②、把弯曲的公路改直，就能缩短路程（垂线段最短） C．如图③，工人师傅砌门时，常用木条固定长方形门框（三角形具有稳定性） D．如图④，车轱辘设计为圆形（圆上的点到圆心的距离相等） 【答案】ACD 【分析】本题主要考查了直线的性质，线段公理等知识，三角形的稳定性以及圆的认识，将实际问题数学化是解决问题的关键．A选项可根据公理“两点确定一条直线”进行判断；B选项可根据线段的性质即可判断；C选项可根据三角形的稳定性判断；D选项可根据圆的性质进行判断． 【详解】解：A、工人师傅在砌墙时，先在两端各固定一点，中间拉紧一条细线，然后沿着细线砌墙就能砌直（两点确定一条直线），做法与其运用的数学原理相对应，符合题意； B、把弯曲的公路改直，就能缩短路程（垂线段最短），做法与其运用的数学原理不对应，其蕴含的数学原理是两点之间线段最短，不符合题意； C、工人师傅砌门时，常用木条固定长方形门框（三角形具有稳定性），做法与其运用的数学原理相对应，符合题意； D、车轱辘设计为圆形（圆上的点到圆心的距离相等），做法与其运用的数学原理相对应，符合题意； 故选：ACD． 尺规作图问题 1．（11-12八年级下·山东烟台·期末）如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，其依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了作图—基本作图，全等三角形的判定．由作法易得，，，根据可得到三角形全等． 【详解】解：由作法易得，，，依据可判定， 故选：B． 2．（22-23六年级下·山东威海·期末）如图，已知，用尺规作图如下： ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交于点M，交于点N ②以点N为圆心，为半径画弧，交已画的弧于点C ③作射线 那么下列角的关系不正确的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由作图可知：，推出射线是的角平分线，由此即可判断； 【详解】解：由作图可知：， ∴射线是的角平分线， 故A、C、D正确， 故选：B． 【点睛】本题考查作图﹣基本作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型． 3．（22-23六年级下·山东济南·期末）如图，用尺规作出，所作痕迹（    ）    A．以点为圆心，以长为半径的弧 B．以点为圆心，以长为半径的弧 C．以点为圆心，以长为半径的弧 D．以点为圆心，以长为半径的弧 【答案】D 【分析】根据作一个角等于已知角的作法进行解答即可． 【详解】解：作的作法，由图可知， ①以点为圆心，以任意长为半径画弧，分别交射线、于点，； ②以点为圆心，以为半径画弧，交射线于点； ③以点为圆心，以为半径画弧，交前弧于点，作射线即可得出，则． 故选：D． 【点睛】本题主要考查的是尺规作图，熟知作一个角等于已知角的基本步骤是解答本题的关键． 4．（23-24六年级下·山东烟台·期末）如图，点B在上，点C在外，连接，． (1)利用尺规，过点B作射线，使；（保留画图痕迹，作出所有符合条件的射线，不必写作法；不同的射线可用，，…来分别表示） (2)在（1）的条件下，若，请求出的度数． 【答案】(1)见解析； (2)或． 【分析】（1）利用平行线的判定定理，作，注意射线包括两条； （2）利用平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图所示：射线和就是所要求做的射线. （2）解：当时，， 所以 当时，， 综上所述：为或． 【点睛】本题考查射线的定义，作一个角等于已知角，平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，注意射线有两条． 确定三角形的条件 1．（22-23八年级上·山东临沂·期末）根据下列已知条件．能唯一画出的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．， 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：A．由，则不能画出三角形，故不符合题意； B．不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一的一个三角形，故不符合题意； C．符合全等三角形的判定定理“”，能画出唯一的一个三角形，故符合题意； D．不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一的一个三角形，故不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了构成三角形的条件，全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键． 2．（18-19八年级上·山东菏泽·期末）根据下列已知条件，能够画出唯一△ABC的是（  ） A．AB=5，BC=6，∠A=70° B．AB=5，BC=6，AC=13 C．∠A=50°，∠B=80°，AB=8 D．∠A=40°，∠B=50°，∠C=90° 【答案】C 【分析】利用三角形的三边关系以及三角形的性质对每个选项一一判断即可. 【详解】A.∠A不是AB、BC的夹角，画出的△ABC不唯一； B.5+6＜13，不能构成三角形； C.AB为∠A、∠B的夹边，能画出唯一的△ABC； D.△ABC的边长不一定，不能画出唯一的△ABC. 故选C. 【点睛】本题主要考查三角形的画法，利用三角形的三边关系进行判断是解题的关键. 三角形全等的应用 1．（18-19七年级下·山东潍坊·期末）如图，是一个测量工件内槽宽的工具，点既是的中点，也是的中点，若测得，则该内槽的宽为 ． 【答案】5 【分析】利用“SAS”证明△OAB≌△OA′B′，从而得到A′B′＝AB＝5cm． 【详解】解：如图，在△OAB和△OA′B′中 ， ∴△OAB≌△OA′B′（SAS）， ∴A′B′＝AB＝5（cm）． 故答案为5． 【点睛】本题考查了全等三角形的应用：一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，根据示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键． 2．（18-19七年级下·山东青岛·期末）如图，有两个长度相等的滑梯和，，则当 °时，可以得出左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等. 【答案】63° 【分析】根据全等三角形的性质即可得到∠BCA即可求解. 【详解】由题意得∠BAC=∠EDF=90°，BC=EF， 若∠BCA，可得△BAC≌EDF，则AC=DF， 故∠BCA=90°- 故填：63°. 【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理. 3．（18-19七年级下·山东济南·期末）如图，要在湖两岸两点之间修建一座观赏桥，由于条件限制，无法直接测量、两点间的距离，于是小明想出来这样一种做法：在的垂线上取两点、，使米，再定出的垂线，使三点在一条直线上，这时测得米，则 米. 【答案】50 【分析】根据题意可证△ABC≌△EDC，故可求解. 【详解】∵，三点在一条直线上 ∴∠ACB=∠ECD, 又∠ABC=∠EDC=90° ∴△ABC≌△EDC（ASA） ∴AB=ED=50米 故填50 【点睛】此题主要考查全等三角形的应用，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质. 4．（16-17七年级下·山东滨州·期末）如图，有一条两岸平行的河流，一数学实践活动小组在无法涉水过河情况下，成功测得河的宽度，他们的做法如下： ①正对河流对岸的一颗树A，在河的一岸选定一点B； ②沿河岸直走15步恰好到达一树C处，继续前行15步到达D处； ③自D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处时，停止行走； ④测得DE的长就是河宽． 请你运用所学知识说明他们做法是正确的． 【答案】说明见解析． 【分析】根据AB⊥BD，ED⊥BD可知∠ABC=∠EDC，再由BC=DC，∠ACB=∠ECD可得出△ABE≌△EDC，由全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：∵AB⊥BD，ED⊥BD， ∴∠ABC=∠EDC=90°． 在△ABC与△EDC中， ， ∴△ABC≌△EDC（ASA）， ∴DE=AB，即测得DE的长就是河宽． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的对应边相等是解答此题的关键． 线段的最值问题 1．（23-24八年级上·山东临沂·期末）如图，在中，是中点，垂直平分，交边于点，交边于点，在上确定一点，使最大，则这个最大值为（    ） A．10 B．5 C．13 D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形三边关系．延长交直线于P，在上任取一点不与点P重合，连接，，根据三角形三边关系证明此时，最大，最大值等于长即可求解． 【详解】解：如图，延长交直线于P，在上任取一点不与点P重合，连接，， ∵，， ∴， ∴此时，最大，最大值等于长， ∵D是中点， ∴， ∴最大值， 故选：B． 2．（21-22七年级下·山东聊城·期末）如右图，已知AM是的中线，点P是AC边上一动点，若的面积为10，，则MP的最小值为（    ） A．5 B．4 C．2.5 D．1.25 【答案】C 【分析】先利用中线求三角形ACM的面积，再求AC边上的高，根据垂线段最短得到答案． 【详解】解：∵AM是△ABC的中线， ∴ ==5， ∴点M到AC的距离为：÷4=2.5， 根据垂线段最短， 则MP的最小值2.5． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的面积，结合面积公式和中线特点是解题的关键． 分类讨论思想的应用 1．（21-22七年级下·山东泰安·期末）等腰三角形的周长为40cm，其中一边长18cm，则其腰长为（    ） A．18cm或11cm B．18cm C．11cm D．以上都不对 【答案】A 【分析】分为两种情况：18cm是等腰三角形的腰或18cm是等腰三角形的底边，然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形． 【详解】解：若18cm为等腰三角形的腰长，则底边长为40-18-18=4（cm），此时三角形的三边长分别为18cm，18cm，4cm，符合三角形的三边关系； 若18cm为等腰三角形的底边，则腰长为（40-18）÷2=11（cm），此时三角形的三边长分别为11cm，11cm，18cm，符合三角形的三边关系； ∴该等腰三角形的腰长为18cm或11cm， 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 2．（19-20七年级下·山东青岛·期末）已知的高为，，，则的度数是 ． 【答案】90°或40°． 【分析】画出图形可知有两种情况：∠BAC＝∠BAD＋∠CAD和∠BAC＝∠BAD−∠CAD． 【详解】：如图： ∠BAC＝∠BAD＋∠CAD＝65°＋25°＝90°； 如图： ∠BAC＝∠BAD−∠CAD＝65°−25°＝40°． 故答案为：90°或40°． 【点睛】本题考查了三角形的高线的概念：可能在三角形内部，也可能在三角形的外部．注意本题要分两种情况讨论． 3．（18-19七年级下·山东济南·期末）如果一个等腰三角形的两边长分别为4和7，那么该等腰三角形的周长为（        ） A．15 B．18 C．15或18 D．无法计算 【答案】C 【分析】根据等腰三角形得到第三边为4或7，根据周长的定义即可求解. 【详解】∵一个等腰三角形的两边长分别为4和7， ∴第三边为4或7， ∵4+4＞7,4+7＞7， 故都可组成三角形， 则周长为15或18    ，故选C. 【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是熟知三角形的三边关系. 探究性问题 1．（18-19七年级下·山东青岛·期末）问题解决：如图1，中，为边上的中线，则______. 问题探究： （1）如图2，分别是的中线，与相等吗？ 解：中，由问题解决的结论可得，，. ∴ ∴ 即. （2）图2中，仿照（1）的方法，试说明. （3）如图3，，，分别是的中线，则______，______，______. 问题拓展： （1）如图4，分别为四边形的边的中点，请直接写出阴影部分的面积与四边形的面积之间的数量关系：______. （2）如图5，分别为四边形的边的中点；请直接写出阴影部分的面积与四边形的面积之间的数量关系：______. 【答案】问题解决：（1）（2）见解析；（3），，； 问题拓展：（1）；（2）； 【分析】问题解决：（1）根据中线平方面积即可求解； （2）根据，分别减去△BOC的面积即可求解； （3）根据中线的性质得到各小三角形的面积都相等，即可求解； 问题拓展：（1）连接BD，根据问题解决（1）的结论即可求解； （2）连接BD，根据问题解决（2）的结论即可求解. 【详解】问题解决：（1）∵中，为边上的中线， ∴. （2）解：中，由问题解决的结论可得，，. ∴ ∴ 即. （3）∵，，分别是的中线， 由（2）可得 ∴，，. 问题拓展：（1）如图，连接BD，由问题解决（1）的结论得,, ∴ （2）如图连接BD，根据问题解决（2）的结论得 ,, ∴ 【点睛】此题主要考查中线的性质，解题的关键是熟知三角形中线平分面积. 2．（21-22八年级上·山东日照·期末）已知△ABC中，AB=AC，直线l经过点A． 　　 　　 (1)若∠BAC=90°，分别过点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．当点B，C位于直线l的同侧时（如图1）， 易得△ABD≌△CAE．如图2，若点B、C在直线l的异侧，其它条件不变，结论△ABD≌△CAE是否依然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． (2)如图3，点D，E分别在直线l上，点B，C位于l的同一侧，若∠CEA=∠ADB=∠BAC，求证：AD=CE． 【答案】(1)成立，证明见解析 (2)见解析 【分析】（1）由∠BDA=∠AEC=90°，再求出∠ ABD=∠CAE，由AB=AC，即可证明 （2）由∠ CAE+∠ CAB+∠ BAD=180°，∠ CAE+∠ CEA+∠ ACE=180°，∠ CAB=∠ CEA，求出△ABD ≌ △CAE(AAS)即可求解 【详解】（1）成立．证明如下： ∵BD⊥ l，CE⊥ l， ∴ ∠ BDA=∠ AEC=90°， ∴ ∠ BAD+∠ ABD=90°． ∵ ∠ BAC=90°， ∴ ∠ BAD+∠ CAE=90°， ∴ ∠ ABD=∠ CAE． 在△ABD与△CAE中， ， ∴ △ABD ≌△ CAE (AAS) （2）∵∠ CAE+∠ CAB+∠ BAD=180°，∠ CAE+∠ CEA+∠ ACE=180°， 又∵∠ CAB=∠ CEA， ∴ ∠ BAD =∠ ACE． 在△ABD与△CAE中， ，∠CEA=∠ADB， ∴ △ABD ≌ △CAE (AAS)， ∴AD=CE． 【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，准确看图与熟练记住三角形全等的判定方法是解题关键． 3．（17-18八年级·山东临沂·期末）已知：如图所示，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过点B、C作经过点A的直线l的垂线段BD、CE，垂足分别D、E． （1）求证：DE=BD+CE． （2）如果过点A的直线经过∠BAC的内部，那么上述结论还成立吗？请画出图形，直接给出你的结论（不用证明）． 【答案】（1）见解析；（2）上述结论不成立． 【详解】试题分析：（1）由垂线的定义和角的互余关系得出由AAS证明≌，得出对应边相等 由 即可得出结论； （2）由垂线的定义和角的互余关系得出 由AAS证明≌，得出对应边相等由 之间的和差关系，即可得出结论． 试题解析：(1)∵∠BAC=， ∴∠BAD+∠CAE=， ∵BD⊥l，CE⊥l， ∴∠ADB=∠CEA=， ∴∠BAD+∠ABD=， ∴∠ABD=∠CAE. 在△ABD和△CAE中， ∴△ABD≌△CAE(AAS)， ∴BD=AE，AD=CE， ∵AD+AE=DE， ∴BD+CE=DE； (2)上述结论不成立， 如图所示，BD=DE+CE. 证明：∵∠BAC=， ∴∠BAD+∠CAE=， ∵BD⊥l，CE⊥l， ∴∠ADB=∠CEA=， ∴∠BAD+∠ABD=， ∴∠ABD=∠CAE. 在△ABD和△CAE中， ∴△ABD≌△CAE(AAS)， ∴BD=AE，AD=CE， ∵AD+DE=AE， ∴BD=DE+CE. 如图所示，CE=DE+BD， 证明：证明：∵∠BAC=， ∴∠BAD+∠CAE=， ∵BD⊥l，CE⊥l， ∴∠ADB=∠CEA=， ∴∠BAD+∠ABD=， ∴∠ABD=∠CAE. 在△ABD和△CAE中， ∴△ABD≌△CAE(AAS)， ∴BD=AE，AD=CE， ∵AE+DE=AD， ∴CE=DE+BD. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 三角形 经典基础题 题型01三角形中的三条重要线段 题型02三角形的三边关系 题型03三角形全等的性质与判断 题型04三角形的稳定性 题型05尺规作图问题 题型06确定三角形的条件 题型07三角形全等的应用 优选提升提 题型01线段的最值问题 题型02分类讨论思想的应用 题型03探究性问题 三角形中的三条重要线段 1．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，是 边上的中线，CE是AB边上的高，若，，则的长度为（    ）． A．5 B．6 C．7 D．8 2．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，的面积为36，，点D为边上一点，过点D分别作于E，于F，若，则长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 3．（23-24八年级上·山东德州·期末）如图，是的中线，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（21-22七年级下·山东青岛·期末）如图，是的边上的中线，是的边上的中线，是的边上的中线，若的面积是32，则阴影部分的面积是（　　）    A．9 B．12 C．18 D．20 5．（19-20八年级上·山东日照·期末）对于任意三角形的高，下列说法不正确的是（　　） A．锐角三角形的三条高交于一点 B．直角三角形只有一条高 C．三角形三条高的交点不一定在三角形内 D．钝角三角形有两条高在三角形的外部 三角形的三边关系 1．（23-24七年级下·山东聊城·期末）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（    ） A．4，5，6 B．2，3，5 C．5，5，11 D．7，8，15 2．（23-24七年级下·山东·期末）以，，，四根木条中的三根组成三角形，可以构成的三角形的个数是（      ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·山东枣庄·期末）若三角形的三边长分别是2，7，，则的取值可能是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 4．（23-24八年级上·山东日照·期末）已知中，其中有两边长是2和5，且的第三边长是偶数，则此三角形的周长为（    ） A．11 B．12 C．13 D．11或13 5．（23-24七年级上·山东威海·期末）若，，为的三条边，且，满足，第三条边为整数，则的周长最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 6．（22-23八年级上·山东日照·期末）已知，，是一个三角形的三边长，化简：（    ） A． B． C． D． 三角形全等的性质与判断 1．（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，已知，，则的依据是（    ） A． B． C． D． 2．（18-19七年级下·山东济南·期末）如图，中，，高、相交于点，连接并延长交于点，则图中全等的直角三角形共有（        ） A．4对 B．5对 C．对 D．7对 3．（23-24八年级上·山东济宁·期末）如图，，添加一个条件使，下列选项中不能作为添加条件的是（    ） A． B． C． D． 4．（20-21八年级上·山东济南·期末）如图所示，∠C＝∠D＝90°，添加下列条件①AC＝AD；②∠ABC＝∠ABD；③∠BAC＝∠BAD；④BC＝BD，能判定Rt△ABC与Rt△ABD 全等的条件的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2020·山东淄博·七上期末）如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（     ） A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED 6．（23-24七年级上·山东威海·期末）如图，，，若，则 °． 7．（23-24七年级上·山东泰安·期末）已知中，，直线l经过点A．如图，点D，E分别在直线l上，点B，C位于l的同一侧，若，求证：． 三角形的稳定性 1．（23-24七年级下·山东青岛·期末）将空调安装到墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的数学原理是（   ） A．三角形具有稳定性 B．对顶角相等 C．垂线段最短 D．两点之间线段最短 2．（18-19七年级下·山东枣庄·期末）如图，要使四边形木架（用四根木条钉成）不变形，至少要再钉上的木条的根数为（    ） A．一条 B．两条 C．三条 D．四条 3．（23-24八年级下·山东潍坊·期末）下列生活中的做法与其运用的数学原理对应正确的是（    ） A．如图①、工人师傅在砌墙时，先在两端各固定一点，中间拉紧一条细线，然后沿着细线砌墙就能砌直（两点确定一条直线） B．如图②、把弯曲的公路改直，就能缩短路程（垂线段最短） C．如图③，工人师傅砌门时，常用木条固定长方形门框（三角形具有稳定性） D．如图④，车轱辘设计为圆形（圆上的点到圆心的距离相等） 尺规作图问题 1．（11-12八年级下·山东烟台·期末）如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，其依据是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23六年级下·山东威海·期末）如图，已知，用尺规作图如下： ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交于点M，交于点N ②以点N为圆心，为半径画弧，交已画的弧于点C ③作射线 那么下列角的关系不正确的是（　　）    A． B． C． D． 3．（22-23六年级下·山东济南·期末）如图，用尺规作出，所作痕迹（    ）    A．以点为圆心，以长为半径的弧 B．以点为圆心，以长为半径的弧 C．以点为圆心，以长为半径的弧 D．以点为圆心，以长为半径的弧 4．（23-24六年级下·山东烟台·期末）如图，点B在上，点C在外，连接，． (1)利用尺规，过点B作射线，使；（保留画图痕迹，作出所有符合条件的射线，不必写作法；不同的射线可用，，…来分别表示） (2)在（1）的条件下，若，请求出的度数． 确定三角形的条件 1．（22-23八年级上·山东临沂·期末）根据下列已知条件．能唯一画出的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．， 2．（18-19八年级上·山东菏泽·期末）根据下列已知条件，能够画出唯一△ABC的是（  ） A．AB=5，BC=6，∠A=70° B．AB=5，BC=6，AC=13 C．∠A=50°，∠B=80°，AB=8 D．∠A=40°，∠B=50°，∠C=90° 三角形全等的应用 1．（18-19七年级下·山东潍坊·期末）如图，是一个测量工件内槽宽的工具，点既是的中点，也是的中点，若测得，则该内槽的宽为 ． 2．（18-19七年级下·山东青岛·期末）如图，有两个长度相等的滑梯和，，则当 °时，可以得出左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等. 3．（18-19七年级下·山东济南·期末）如图，要在湖两岸两点之间修建一座观赏桥，由于条件限制，无法直接测量、两点间的距离，于是小明想出来这样一种做法：在的垂线上取两点、，使米，再定出的垂线，使三点在一条直线上，这时测得米，则 米. 4．（16-17七年级下·山东滨州·期末）如图，有一条两岸平行的河流，一数学实践活动小组在无法涉水过河情况下，成功测得河的宽度，他们的做法如下： ①正对河流对岸的一颗树A，在河的一岸选定一点B； ②沿河岸直走15步恰好到达一树C处，继续前行15步到达D处； ③自D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处时，停止行走； ④测得DE的长就是河宽． 请你运用所学知识说明他们做法是正确的． 线段的最值问题 1．（23-24八年级上·山东临沂·期末）如图，在中，是中点，垂直平分，交边于点，交边于点，在上确定一点，使最大，则这个最大值为（    ） A．10 B．5 C．13 D． 2．（21-22七年级下·山东聊城·期末）如右图，已知AM是的中线，点P是AC边上一动点，若的面积为10，，则MP的最小值为（    ） A．5 B．4 C．2.5 D．1.25 分类讨论思想的应用 1．（21-22七年级下·山东泰安·期末）等腰三角形的周长为40cm，其中一边长18cm，则其腰长为（    ） A．18cm或11cm B．18cm C．11cm D．以上都不对 2．（19-20七年级下·山东青岛·期末）已知的高为，，，则的度数是 ． 3．（18-19七年级下·山东济南·期末）如果一个等腰三角形的两边长分别为4和7，那么该等腰三角形的周长为（        ） A．15 B．18 C．15或18 D．无法计算 探究性问题 1．（18-19七年级下·山东青岛·期末）问题解决：如图1，中，为边上的中线，则______. 问题探究： （1）如图2，分别是的中线，与相等吗？ 解：中，由问题解决的结论可得，，. ∴ ∴ 即. （2）图2中，仿照（1）的方法，试说明. （3）如图3，，，分别是的中线，则______，______，______. 问题拓展： （1）如图4，分别为四边形的边的中点，请直接写出阴影部分的面积与四边形的面积之间的数量关系：______. （2）如图5，分别为四边形的边的中点；请直接写出阴影部分的面积与四边形的面积之间的数量关系：______. 2．（21-22八年级上·山东日照·期末）已知△ABC中，AB=AC，直线l经过点A． 　　 　　 (1)若∠BAC=90°，分别过点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．当点B，C位于直线l的同侧时（如图1）， 易得△ABD≌△CAE．如图2，若点B、C在直线l的异侧，其它条件不变，结论△ABD≌△CAE是否依然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． (2)如图3，点D，E分别在直线l上，点B，C位于l的同一侧，若∠CEA=∠ADB=∠BAC，求证：AD=CE． 3．（17-18八年级·山东临沂·期末）已知：如图所示，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过点B、C作经过点A的直线l的垂线段BD、CE，垂足分别D、E． （1）求证：DE=BD+CE． （2）如果过点A的直线经过∠BAC的内部，那么上述结论还成立吗？请画出图形，直接给出你的结论（不用证明）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 $$