专题08几何计算中的四种规律问题（四种技巧精讲精练+过关检测）-2024-2025学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（苏科版2024）

专题08几何计算中的四种规律问题（四种技巧精讲精练+过关检测） 题型01线段的计数 【典例分析】 【例1-1】（23-24七年级上·云南昆明）如图所示图形中，共有（ ）条线段．    A．10 B．12 C．15 D．30 【例1-2】（23-24七年级上·四川成都）图中，共有 条线段． 【例1-3】（23-24七年级上·山东枣庄·阶段练习）四点如图所示，按要求做出图形（不写做法）并回答问题． (1)连接交于点O，并作直线与射线； (2)写出图形中出现的线段（至少写出6条）． 【变式演练】 【变式1-1】（22-23七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）如图，线段AD上有两点B，C，则图中共有线段（   ） A．三条 B．四条 C．五条 D．六条 【变式1-2】（23-24七年级上·安徽淮南·期末）一条直线上有40个不重合的点， 一共有 条线段． 【变式1-3】（23-24七年级上·江苏镇江·期末）如图，点C在线段上，点D是线段的中点，且，． (1)图中共有____________条线段； (2)求的长； (3)若点E在线段上，且，则的长为____________． 题型02直线的计数 【典例分析】 【例2-1】（七年级上·云南丽江·期末）直线上有一点C，直线外有一点D，则A、B、C、D四点确定的直线有（    ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【例2-2】（2024七年级上·全国·专题练习）棋盘上有黑、白两色棋子若干，如果两颗棋子连成的直线上只有颜色相同的棋子，我们就称“同棋共线”．如图所示，图中“同棋共线”的直线共有 条． 【例2-3】（23-24七年级上·全国·课堂例题）如图所示：    (1)试验观察： 如果每过两点可以画一条直线，那么： 第①组最多可以画___________条直线； 第②组最多可以画___________条直线； 第③组最多可以画___________条直线． (2)探索归纳： 如果平面上有个点，且每3个点均不在同一条直线上，那么最多可以画多少条直线（用含n的式子表示）？ (3)解决问题： 某校七年级共有6个班进行足球比赛，准备进行单循环赛（即每两队之间赛一场），预计全部赛完共需多少场比赛． 【变式演练】 【变式2-1】（23-24七年级上·福建龙岩·期末）如图，棋盘上有黑、白两色棋子若干，找出所有“三颗颜色相同的棋子在同一直线上”的直线，这样的直线共有（　　） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【变式2-2】（22-23七年级上·甘肃酒泉·期末）素养提升： 如果平面上有个点，且每3个点均不在1条直线上，那么最多画 条直线． 能否通过以上发现，解决问题：某班45名同学在毕业的一次聚会中，若每两人握1次手问好，那么一共要握 次手． 【变式2-3】（22-23七年级上·全国·单元测试）如图，平面内有、、三点，过其中任意两点画直线，有如下两种情况：    (1)若平面内有四个点、、、，过其中任意两点画直线，有多少种情况？请画图说明； (2)若平面内有个点，过其中任意两点画直线，最多可以画多少条直线？ (3)若平面内有个点，过其中任意两点画直线，最多可以画多少条直线？（直接写出结果） 题型03角的计数 【典例分析】 【例3-1】（2022七年级上·浙江·专题练习）如图，总共有 个角． 【例3-2】（22-23七年级上·全国·单元测试）如图，以点为端点引条射线时，共有 个角；以点为端点引条射线时，共有 个角以点为端点引条射线时，共有 个角用含的代数式表示．    【例3-3】（20-21七年级上·全国·课后作业）已知：如图，在∠AOB的内部从O点引3条射线OC，OD，OE，图中共有多少个角？若在∠AOB的内部，从O点引出4条，5条，6条，…，n条不同的射线，可以分别得到多少个不同的角？ 【变式演练】 【变式3-1】如图，从点O出发的五条射线，可以组成 个角． 【变式3-2】（22-23七年级上·河北石家庄·期末）如图，图①中有1个角，图②中有3个不同角，图③中有6个不同角，…，按此规律下去图⑥中有不同角的个数为 ．    【变式3-3】（23-24七年级上·全国·课堂例题）观察图，完成下列问题：    (1)如图①，内部有一条射线，则图中有 个角； (2)如图②，内部有两条射线，，则图中有___________个角； (3)如果内部有10条射线，那么图中有________________个角． 题型04直线切平面的个数 【典例分析】 【例4-1】（22-23七年级·浙江嘉兴·阶段练习）若平面内互不重合的条直线只有个交点，则平面被分成了（    ）个部分． A．或 B． C．或 D． 【例4-2】（23-24七年级上·河南郑州·开学考试）【计数原理】平面上有8条直线，最多能把平面分成 个部分． 【例4-3】（22-23七年级·全国·课后作业）先阅读，然后解答． 问题：两条直线将平面分成几部分？ 解：如图①，两条直线平行时，它们将平面分成三部分； 如图②，两条直线不平行时，它们将平面分成四部分． 根据上述内容，解答下面的问题． (1)上面问题的解题过程应用了________的数学思想（填“转化”“分类讨论”“整体处理”或“数形结合”）； (2)三条直线将平面分成几部分？ 【变式演练】 【变式4-1】（2023七年级上·全国·专题练习）平面上的三条直线最多可将平面分成（　　）部分． A．3 B．6 C．7 D．9 【变式4-2】观察图形找出规律，并解答问题． （1）5条直线相交，最多有 个交点，平面最多被分成 块； （2）n条直线相交，最多有 个交点，平面最多被分成 块． 【变式4-3】（2022七年级上·江苏·专题练习）平面上有n条直线，其中没有两条直线互相平行（即每两条直线都相交），也没有三条或三条以上的直线通过同一点．试求： (1)这n条直线共有多少个交点？ (2)这n条直线把平面分割为多少块区域？ 一、单选题 1．（22-23七年级·山东聊城）在∠AOB的内部从顶点O引出3条射线，则图中共有角的个数是（    ） A．9个 B．10个 C．11个 D．12个 2．（七年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，图中共有几条线段（       ） A．4条 B．5条 C．6条 D．7条 3．（23-24七年级·全国·单元测试）平面内6条直线两两相交，但仅有3条通过同一点，则截得不重叠线段共（　　） A．24条 B．21条 C．33条 D．36条 二、填空题 4．（2022七年级上·浙江·专题练习）如图中共有 个角，分别是 ． 5．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，网格纸中有七个黑点和六个白点，经过同色的三点可以画 条直线． 6．（24-25七年级上·北京海淀·期中）、、、、是圆上的个点，在这些点之间连接线段，规则如下： 连线规则 任意两点之间至多有一条线段； 任意三点之间至多有两条线段． 如图．已连接线段，，，． （1）若想增加一条新的线段，共有 种连线方式； （2）至多可以增加 条线段． 三、解答题 7．（21-22六年级下·全国·单元测试）平面上有五个点，过其中任意两点画一条直线，最多能得到多少条直线？请画出图形． 分析：五个点有四种不同的关系：①五个点在同一条直线上；②有四个点在同一条直线上；③有三个点在同一条直线上；④五个点中任意三个点都不在同一条直线上． 8．（23-24七年级上·安徽阜阳·期末）如图，在平面内有A，B，C三点．（不写作法，保留作图痕迹） (1)画直线，射线，线段； (2)在线段上任取一点D（不与点A，C重合），连接，并延长至点E，使； (3)数一数，此时图中线段共有_________条． 9．（七年级上·河南许昌·期末）观察表格： 1条直线 0个交点 平面分成（1+1）块 2条直线 1个交点 平面分成（1+1+2）块 3条直线 （1+2）个交点 平面分成（1+1+2+3）块 4条直线 （1+2+3）个交点 平面分成（1+1+2+3+4）块 根据表格中的规律解答问题： （1）5条直线两两相交，有　 　个交点，平面被分成　 　块； （2）n条直线两两相交，有　 　个交点，平面被分成　 　块； （3）应用发现的规律解决问题：一张圆饼切10刀（不许重叠），最多可得到　 　块饼． 10．（22-23七年级上·全国·单元测试）阅读材料并填空． 【问题】 在一条直线上有个点，每两个点确定一条线段，一共有多少条线段？ 【探究】 当有个点时，有条线段； 当有个点时，有条线段； 当有个点时，有条线段； 当有个点时，有____条线段；… 当有个点时，从这些点中任意取一点，以这个点为端点和其余各点能组成条线段，这样总共有条线段，在这些线段中每条线段都重复了一次，所以一条直线上有个点时，一共有______条线段． 【应用】 平面内有个点，且任意三个点不在同一直线上，过这些点作直线，一共能作出_____条不同的直线． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08几何计算中的四种规律问题（四种技巧精讲精练+过关检测） 题型01线段的计数 【典例分析】 【例1-1】（23-24七年级上·云南昆明）如图所示图形中，共有（ ）条线段．    A．10 B．12 C．15 D．30 【答案】A 【分析】根据线段的定义即可获得答案． 【详解】解：该图形中，线段有，共计10条． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了线段数量的知识，数量掌握线段的定义是解题关键． 【例1-2】（23-24七年级上·四川成都）图中，共有 条线段． 【答案】15 【分析】本题考查了线段的数量问题． 线段有两个端点，而两个端点间的距离就是这条线段的长度，据此数出两个端点之间的线段即可． 【详解】解：图中共有6个端点，则共有线段（条）． 故答案为：15． 【例1-3】（23-24七年级上·山东枣庄·阶段练习）四点如图所示，按要求做出图形（不写做法）并回答问题． (1)连接交于点O，并作直线与射线； (2)写出图形中出现的线段（至少写出6条）． 【答案】(1)画图见解析 (2)线段 【分析】本题考查了作图—复杂作图、直线、射线、线段等知识， （1）根据直线、射线、线段的定义作图即可； （2）根据线段的定义可得答案. 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：图形中出现的线段有： 【变式演练】 【变式1-1】（22-23七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）如图，线段AD上有两点B，C，则图中共有线段（   ） A．三条 B．四条 C．五条 D．六条 【答案】D 【分析】由图知，线段有、、、、、． 【详解】解：有图得，图中的线段有：、、、、、，一共条， 故选：D． 【点睛】本题考查了线段，线段是直线的一部分，可用一个小写字母表示或用两个表示端点的字母表示． 【变式1-2】（23-24七年级上·安徽淮南·期末）一条直线上有40个不重合的点， 一共有 条线段． 【答案】780 【分析】本题主要考查了线段条数问题，熟练掌握线段条数公式是解题关键．在一条直线上有个不重合的点，则线段的条数的公式为，据此求解即可． 【详解】解：一条直线上有40个不重合的点， 则一共有条线段． 故答案为：780． 【变式1-3】（23-24七年级上·江苏镇江·期末）如图，点C在线段上，点D是线段的中点，且，． (1)图中共有____________条线段； (2)求的长； (3)若点E在线段上，且，则的长为____________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）本题考查线段的定义，分别计算以、、为起点向右的线段条数，再将所有的条数加起来，即可解题． （2）本题考查线段中点的特点，以及线段的和差，根据题意得到，，再根据，求得，即可得到的长． （3）本题考查线段的和差，由（2）得到的长，根据，即可解题． 【详解】（1）解：由图知，以为起点向右的线段条数为3条，以为起点向右的线段条数为2条，以为起点向右的线段条数为1条， 图中共有条线段． 故答案为：． （2）解：点D是线段的中点， ， ，， ， ， ． （3）解：由（2）知，， 点E在线段上，且， ， 故答案为：． 题型02直线的计数 【典例分析】 【例2-1】（七年级上·云南丽江·期末）直线上有一点C，直线外有一点D，则A、B、C、D四点确定的直线有（    ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】C 【分析】本题主要考查两点确定一条直线，根据两点确定一条直线画出图形即可求解． 【详解】解：如图所示，则A、B、C、D四点能确定的直线有四条． 故选：C． 【例2-2】（2024七年级上·全国·专题练习）棋盘上有黑、白两色棋子若干，如果两颗棋子连成的直线上只有颜色相同的棋子，我们就称“同棋共线”．如图所示，图中“同棋共线”的直线共有 条． 【答案】10 【分析】本题考查了直线，掌握同棋共线是解题的关键． 分两类去数，白棋共线的条数，黑棋共线的条数，相加即可． 【详解】解：∵白棋共线的线有6条，黑棋共线的线有4条， ∴同棋共线的线共有10条． 故答案为：10． 【例2-3】（23-24七年级上·全国·课堂例题）如图所示：    (1)试验观察： 如果每过两点可以画一条直线，那么： 第①组最多可以画___________条直线； 第②组最多可以画___________条直线； 第③组最多可以画___________条直线． (2)探索归纳： 如果平面上有个点，且每3个点均不在同一条直线上，那么最多可以画多少条直线（用含n的式子表示）？ (3)解决问题： 某校七年级共有6个班进行足球比赛，准备进行单循环赛（即每两队之间赛一场），预计全部赛完共需多少场比赛． 【答案】(1)3，6，10 (2)条 (3)15场 【分析】（1）根据图形画出直线即可； （2）根据上面得到的规律用代数式表示即可； （3）将代入即可求解． 【详解】（1）解：根据图形得，如图，    如果每过两点可以画一条直线，那么： 第①组最多可以画3条直线； 第②组最多可以画6条直线； 第③组最多可以画10条直线， 故答案为：3，6，10； （2）解：由题意可得，最多可以画出条直线； （3）解：由题意可得， 当时，（场）， 答：预计全部赛完共需15场比赛． 【点睛】本题考查图形的变化类问题，解题的关键是仔细的观察图形并找到其中的规律． 【变式演练】 【变式2-1】（23-24七年级上·福建龙岩·期末）如图，棋盘上有黑、白两色棋子若干，找出所有“三颗颜色相同的棋子在同一直线上”的直线，这样的直线共有（　　） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】B 【分析】本题考查了直线、射线、线段．根据题意可以画出适合条件的几种情况，从而可以解答本题． 【详解】如下图所示：则所有三颗颜色相同的棋并且在同一直线上的直线共有3条：倾斜的三颗黑色的，水平的三颗白色的，右上角的白子到左下角的白子． 故选B． 【变式2-2】（22-23七年级上·甘肃酒泉·期末）素养提升： 如果平面上有个点，且每3个点均不在1条直线上，那么最多画 条直线． 能否通过以上发现，解决问题：某班45名同学在毕业的一次聚会中，若每两人握1次手问好，那么一共要握 次手． 【答案】 990 【分析】本题主要考查规律型图形的变化类，根据每一个点可以与其他个点分别连接生成条直线，去掉重复的即可得到个点（每3个点均不在1条直线上），最多画（条直线．根据每一个人可以与其他44握手一次，每人44次，即可求解． 【详解】∵每一个点可以与其他个点连接生成条直线， ∴个点最多画直线数量为 ∵某班45名同学在毕业的一次聚会中，若每两人握1次手问好，则每一个人可以与其他44握手一次，每人44次， ∴45人一共要握手（次． 故答案为：，990． 【变式2-3】（22-23七年级上·全国·单元测试）如图，平面内有、、三点，过其中任意两点画直线，有如下两种情况：    (1)若平面内有四个点、、、，过其中任意两点画直线，有多少种情况？请画图说明； (2)若平面内有个点，过其中任意两点画直线，最多可以画多少条直线？ (3)若平面内有个点，过其中任意两点画直线，最多可以画多少条直线？（直接写出结果） 【答案】(1)见解析 (2)15条 (3)条 【分析】（1）分四个点在同一直线上，三个点在同一直线上，任意三点不共线，三种情况画图即可； （2）2个点可以画条直线，3个点过其中任意两点画直线可以最多画条直线，4个点过其中任意两点画直线可以最多画条直线，由此得到规律求解即可； （3）根据（2）所得规律即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，一共有三种情况；    （2）解：2个点可以画条直线， 3个点过其中任意两点画直线可以最多画条直线， 4个点过其中任意两点画直线可以最多画条直线， …… ∴可以得到规律，n个点过其中任意两点画直线最多画条直线， ∴6个点过其中任意两点画直线最多画条直线； （3）解：由（2）得n个点过其中任意两点画直线最多画条直线． 【点睛】本题主要考查了图形类的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． 题型03角的计数 【典例分析】 【例3-1】（2022七年级上·浙江·专题练习）如图，总共有 个角． 【答案】10 【分析】根据图形分别表示出所有角即可． 【详解】解：图中的角有：，，，，，，，，，共有10个角． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了角的概念，正确会表示角，做到不重不漏是关键． 【例3-2】（22-23七年级上·全国·单元测试）如图，以点为端点引条射线时，共有 个角；以点为端点引条射线时，共有 个角以点为端点引条射线时，共有 个角用含的代数式表示．    【答案】 3 6 【分析】有公共顶点的n条射线，可构成个角，依据规律解答即可． 【详解】解：以点为端点引条射线时，共有个角；； 以点为端点引条射线时，共有6个角；； 以点为端点引5条射线时，共有个10角；； …… 以点为端点引条射线时，共有个角； 故答案为：3，6，． 【点睛】本题考查的是角的概念，掌握其规律是解题的关键：有公共顶点的n条射线，可构成个角． 【例3-3】（20-21七年级上·全国·课后作业）已知：如图，在∠AOB的内部从O点引3条射线OC，OD，OE，图中共有多少个角？若在∠AOB的内部，从O点引出4条，5条，6条，…，n条不同的射线，可以分别得到多少个不同的角？ 【答案】角的个数分别为10，15，21，28，…，． 【分析】1、在锐角∠AOB的内部以O为顶点作3条射线,由此你能得到以O为顶点的射线共有多少条吗? 2、根据以一条射线为边,以其余n+1条射线为另一边可作n+1个角,相信你能求得5条射线共多少个锐角； 3、由于任意两射线所得的角都多计一次,所以当在∠AOB的内部从O点引3条射线共有个角； 4、结合作3条射线得到的角的个数,可以推出以O为顶点共有n条射线时,得到的角的个数为，继而将n=5、6、7代入即可． 【详解】解：顺时针数，与射线OA构成的角有4个，与射线OC构成的角有3个，与射线OD构成的角有2个，与射线OE构成的角有1个，故共有角4＋3＋2＋1＝10(个). 类似地，引4条射线有角5＋4＋3＋2＋1＝15(个)，引5条射线有角6＋5＋4＋3＋2＋1＝21(个)，引6条射线有角7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝28(个)，…，以此类推，引n条射线有角(n＋1)＋n＋(n－1)＋…＋2＋1＝ (个) ． 【点睛】本题中,根据以点O为顶点的射线有n+2条,再求这n+2条射线可形成的角的个数.要求同学们能够准确利用题目中的已知信息,灵活运用所学知识进行解答.本题还可以采用顺序枚举法进行解答,按一定顺序,把所有元素一一列举出来,要做到不重不漏,适合元素(射线)个数较少情况,如果图中有n条射线这时无法逐一列举,可用规律归纳法. 【变式演练】 【变式3-1】如图，从点O出发的五条射线，可以组成 个角． 【答案】10 【分析】由一条射线为边可以得到4个角，共5条射线，考虑重复计算即可求解． 【详解】解：由一条射线为边可以得到4个角，共5条射线， ∴共4×5÷2=10个角． 故答案为：10 【点睛】本题考查了如何求角的数量问题，可以根据详解计算，注意在计算过程中每个角计算了两次，故要除以2，本题也可以按照顺序依次写出来求解． 【变式3-2】（22-23七年级上·河北石家庄·期末）如图，图①中有1个角，图②中有3个不同角，图③中有6个不同角，…，按此规律下去图⑥中有不同角的个数为 ．    【答案】21 【分析】根据前3个图中角的个数，抽象概括出第个图中角的个数为：，进而求出图⑥中不同角的个数即可． 【详解】解：图①中有个角； 图②中有个不同角； 图③中有个不同角； ∴第个图中有个不同角， ∴图⑥中有不同角的个数为； 故答案为：21． 【点睛】本题考查图形中的数字规律．根据已有图形，抽象概括出相应的数字规律，是解题的关键 【变式3-3】（23-24七年级上·全国·课堂例题）观察图，完成下列问题：    (1)如图①，内部有一条射线，则图中有 个角； (2)如图②，内部有两条射线，，则图中有___________个角； (3)如果内部有10条射线，那么图中有________________个角． 【答案】(1)3 (2)6 (3)66 【分析】（1）根据图①直接数出即可； （2）根据图②直接数出即可； （3）在图②的基础上看增加的角的个数即得画3条射线时角的个数；依此规律可得在∠AOB内部画n条射线时角的个数． 【详解】（1）解：图①中有，，共3个， 故答案为：3． （2）解：在内部画2条射线，，则图中有、、、、、， 共个不同的角； 故答案为：6． （3）解：按逆时针方向，以射线为角的始边，则题图①中分别以射线为角的终边共有两个角：，；以射线为始边，射线为终边有一个角：，所以题图①中角的个数是； 同理，题图②中角的个数是； 经过观察，可以发现角内部射线的条数总比第一个加数小1， ∴当内部有10条射线时，角的个数是：． 【点睛】本题考查了射线、线段和角的基本知识以及规律探求问题，注重类比、找到解题的规律和方法是解答的关键． 题型04直线切平面的个数 【典例分析】 【例4-1】（22-23七年级·浙江嘉兴·阶段练习）若平面内互不重合的条直线只有个交点，则平面被分成了（    ）个部分． A．或 B． C．或 D． 【答案】C 【分析】根据题意画出图形即可． 【详解】如图，    所以，平面内互不重合的条直线只有个交点，则平面被分成了或个部分， 故选：． 【点睛】此题考查了相交线，关键是根据直线交点个数的问题，找出规律，解决问题 【例4-2】（23-24七年级上·河南郑州·开学考试）【计数原理】平面上有8条直线，最多能把平面分成 个部分． 【答案】 【分析】本题考查的是简单的规律探究，先例举1条直线最多将平面分成2个部分；而，2条直线最多将平面分成4个部分；而，3条直线最多将平面分成7个部分；而，再总结归纳可得答案． 【详解】解：如图所示，    1条直线最多将平面分成2个部分；而， 2条直线最多将平面分成4个部分；而， 3条直线最多将平面分成7个部分；而， 平面上有8条直线，最多能把平面分成； 故答案为： 【例4-3】（22-23七年级·全国·课后作业）先阅读，然后解答． 问题：两条直线将平面分成几部分？ 解：如图①，两条直线平行时，它们将平面分成三部分； 如图②，两条直线不平行时，它们将平面分成四部分． 根据上述内容，解答下面的问题． (1)上面问题的解题过程应用了________的数学思想（填“转化”“分类讨论”“整体处理”或“数形结合”）； (2)三条直线将平面分成几部分？ 【答案】(1)分类讨论 (2)四或六或七 【详解】（1）分类讨论 （2）由答图①②③④可知，三条直线可以将平面分成四或六或七部分． 【变式演练】 【变式4-1】（2023七年级上·全国·专题练习）平面上的三条直线最多可将平面分成（　　）部分． A．3 B．6 C．7 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查直线、线段、射线，熟练掌握直线的相关知识是解题的关键；因此此题可根据题意进行分类求解即可． 【详解】解：任意画三条直线，相交的情况有四种可能： 1、三直线平行，将平面分成4部分； 2、三条直线相交同一点，将平面分成6部分； 3、两直线平行被第三直线所截，将平面分成6部分； 4、两直线相交得到一个交点，又被第三直线所截，将平面分成7部分； 故任意三条直线最多把平面分成7个部分． 故选：C． 【变式4-2】观察图形找出规律，并解答问题． （1）5条直线相交，最多有 个交点，平面最多被分成 块； （2）n条直线相交，最多有 个交点，平面最多被分成 块． 【答案】 10； 16； ； [1＋] 【分析】本题考查了直线、射线和线段，要知道从一般到具体的探究方法，并找到规律． （1）根据每两条直线就有一个交点，可以列举出所有情况后再求解； （2）根据列举的数值得出规律，再根据规律解题． 【详解】（1）如图，任意画2条直线，它们最多有1个交点； 任意画3条直线，它们最多有3个交点； 任意画4条直线（只画交点个数最多的情况），最多有6个交点； 5条直线最多有10个交点； n条直线最多有个交点． （2）一条直线可以把平面分成两部分，两条直线最多可以把平面分成4部分，三条直线最多可以把平面分成7部分，四条直线最多可以把平面分成11部分，可以发现，两条直线时多了2部分，三条直线比原来多了3部分，四条直线时比原来多了4部分，…，n条时比原来多了n部分． 因为，， ，， ，， ，， … ，， 以上式子相加整理得，． 当时，， 故答案为：10，16，，． 【变式4-3】（2022七年级上·江苏·专题练习）平面上有n条直线，其中没有两条直线互相平行（即每两条直线都相交），也没有三条或三条以上的直线通过同一点．试求： (1)这n条直线共有多少个交点？ (2)这n条直线把平面分割为多少块区域？ 【答案】(1)n条直线，共有个交点 (2)n条直线，将平面分成个区域 【分析】（1）1条直线，0个交点，2条直线，1个交点，3条直线，个交点，4条直线，个交点，故n条直线，个交点； （2）1条直线，将平面分成2个区域，2条直线，将平面分成个区域，3条直线，将平面分成个区域，4条直线，将平面分成个区域，故n条直线，将平面分成个区域． 【详解】（1）解：1条直线，0个交点 2条直线，1个交点 3条直线，个交点 4条直线，个交点 5条直线，个交点 故n条直线，个交点 ∴n条直线，共有个交点； （2）解：1条直线，将平面分成2个区域 2条直线，将平面分成个区域 3条直线，将平面分成个区域 4条直线，将平面分成个区域 5条直线，将平面分成个区域 故n条直线，将平面分成个区域 ∴n条直线，将平面分成个区域． 【点睛】本题考查平行线和相交线，解题的关键是找出规律． 一、单选题 1．（22-23七年级·山东聊城）在∠AOB的内部从顶点O引出3条射线，则图中共有角的个数是（    ） A．9个 B．10个 C．11个 D．12个 【答案】B 【分析】本题考查角的概念，在数角的个数时要从一个边开始把它上的角数完后再换另一条射线，这样可使数的角不重不漏．有公共顶点的射线：两条射线构成1个角；三条射线构成个角；四条射线构成个角；…条射线构成个角． 【详解】解：根据题意可知，角的顶点处有条射线，共有个角． 故选B． 2．（七年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，图中共有几条线段（       ） A．4条 B．5条 C．6条 D．7条 【答案】C 【分析】根据线段的定义来解答本题即可． 【详解】图中有线段AC、CD、DB、AD、CB、AB，共6条线段， 故选C. 【点睛】本题考查了线段的条数，熟练掌握线段的定义是解题的关键. 3．（23-24七年级·全国·单元测试）平面内6条直线两两相交，但仅有3条通过同一点，则截得不重叠线段共（　　） A．24条 B．21条 C．33条 D．36条 【答案】B 【分析】本题考查的是线段的条数．先根据题意画出6条符合直线，再找出每条直线上不相交的线段，再把所得线段相加即可． 【详解】解：上共有不重合的线段4条， 上共有不重合的线段4条， 上共有不重合的线段3条， 上共有不重合的线段3条， 上共有不重合的线段3条， 上共有不重合的线段4条． 共计21条． 故选：B． 二、填空题 4．（2022七年级上·浙江·专题练习）如图中共有 个角，分别是 ． 【答案】 ，， 【分析】根据角的定义，从一边按照一定的顺序计数即可． 【详解】解：图中的角有，，，共个角． 故答案为：；，，． 【点睛】本题主要考查的是角的定义，掌握角的定义是解题的关键． 5．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，网格纸中有七个黑点和六个白点，经过同色的三点可以画 条直线． 【答案】3 【分析】本题考查了直线，根据直线的特点在图中画出满足条件的直线，即可作答． 【详解】作图如下： 经过同色的三点可以画3条直线， 故答案为：3． 6．（24-25七年级上·北京海淀·期中）、、、、是圆上的个点，在这些点之间连接线段，规则如下： 连线规则 任意两点之间至多有一条线段； 任意三点之间至多有两条线段． 如图．已连接线段，，，． （1）若想增加一条新的线段，共有 种连线方式； （2）至多可以增加 条线段． 【答案】 【分析】本题考查了线段的定义，解题的关键是理解题意． （1）根据题中的连线规则解答即可； （2）根据题意分情况讨论：①若连接，②若连接，③若连接，即可求解． 【详解】解：（1）、两点之间已有一条线段，、、之间已有两条线段， 、不可以连接， 可与、各连接一条线段， 、、之间已有两条线段， 还可以与连接一条线段， 、、之间已有两条线段， 不能再与其他点连接， 而与已连接， 也不可再连接， 为最后一个点，也没有可连接的点， 共（种）， 故答案为：； （2）①若连接，则、、之间已有两条线段， 、不可再连接，、可以连接， 可以连接，，共条； ②若连接，则、、之间已有两条线段， 、不可再连接， 、、之间已有两条线段， 、不可再连接， 可以连接，共条； ③若连接，则同①还可以连接、，则、不可连接， 可以连接，，共条； 综上所述，最多可以增加条线段， 故答案为：． 三、解答题 7．（21-22六年级下·全国·单元测试）平面上有五个点，过其中任意两点画一条直线，最多能得到多少条直线？请画出图形． 分析：五个点有四种不同的关系：①五个点在同一条直线上；②有四个点在同一条直线上；③有三个点在同一条直线上；④五个点中任意三个点都不在同一条直线上． 【答案】最多有条，见解析 【分析】五个点有四种不同的关系：①五个点在同一条直线上；②有四个点在同一条直线上；③有三个点在同一条直线上；④五个点中任意三个点都不在同一条直线上． 【详解】解：当任意三点都不在同一条直线上时，最多有：（条）， 所以最多能得到10条直线． 另外三种情况如下图所示．    【点睛】本题考查了直线、射线、线段，本题是探索规律题，有个点，每三个点都不在一条直线上，过其中每两个点画直线，可以画条直线． 8．（23-24七年级上·安徽阜阳·期末）如图，在平面内有A，B，C三点．（不写作法，保留作图痕迹） (1)画直线，射线，线段； (2)在线段上任取一点D（不与点A，C重合），连接，并延长至点E，使； (3)数一数，此时图中线段共有_________条． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了直线、射线、线段的定义； （1）依据直线、射线、线段的定义，即可得到直线，射线，线段； （2）依据在线段上任取一点D（不同于B，C），连接线段即可； （3）根据图中的线段为，即可得到图中线段的条数． 【详解】（1）如图，直线，射线，线段即为所求； （2）如图，线段和线段即为所求； （3）由题可得，图中线段的条数为，共8条， 故答案为：8． 9．（七年级上·河南许昌·期末）观察表格： 1条直线 0个交点 平面分成（1+1）块 2条直线 1个交点 平面分成（1+1+2）块 3条直线 （1+2）个交点 平面分成（1+1+2+3）块 4条直线 （1+2+3）个交点 平面分成（1+1+2+3+4）块 根据表格中的规律解答问题： （1）5条直线两两相交，有　 　个交点，平面被分成　 　块； （2）n条直线两两相交，有　 　个交点，平面被分成　 　块； （3）应用发现的规律解决问题：一张圆饼切10刀（不许重叠），最多可得到　 　块饼． 【答案】（1）10，16；（2）n(n﹣1)；1+n(n+1)；（3）56 【分析】（1）总结规律，根据规律求解； （2）根据题目中的交点个数，找出n条直线相交最多有的交点个数公式：n(n﹣1)；n条直线两两相交，平面被分成1+n(n+1)块； （3）根据（2）的结论解答即可． 【详解】解：（1）5条直线两两相交，有10个交点，平面被分成16块； 故答案为：10，16； （2）2条直线相交有1个交点； 3条直线相交有1+2＝3个交点； 4条直线相交有1+2+3＝6个交点； 5条直线相交有1+2+3+4＝10个交点； 6条直线相交有1+2+3+4+5＝15个交点； … n条直线相交有1+2+3+4+…+(n﹣1)＝n(n﹣1)； 平面被分成1+1+2+3+4+…+(n+1)＝1+n(n+1)； 故答案为：n(n﹣1)；1+n(n+1)； （3）当n＝10时，（块）， 故答案为：56 【点睛】本题考查了直线的交点，规律探索问题以及代数式求值，根据表格找出规律是解题的关键. 10．（22-23七年级上·全国·单元测试）阅读材料并填空． 【问题】 在一条直线上有个点，每两个点确定一条线段，一共有多少条线段？ 【探究】 当有个点时，有条线段； 当有个点时，有条线段； 当有个点时，有条线段； 当有个点时，有____条线段；… 当有个点时，从这些点中任意取一点，以这个点为端点和其余各点能组成条线段，这样总共有条线段，在这些线段中每条线段都重复了一次，所以一条直线上有个点时，一共有______条线段． 【应用】 平面内有个点，且任意三个点不在同一直线上，过这些点作直线，一共能作出_____条不同的直线． 【答案】【探究】10；【应用】1225 【分析】【探究】根据规律求解即可； 【应用】根据规律利用公式即可求解． 【详解】解：【探究】根据规律可知，当有 5 个点时，有条线段， 故答案为10； 因为每两个点都能连出一条线段，根据题意，一共能连条线段， 故答案为； 【应用】因为任意三个点不在同一直线上， 所以任意两个点都能作一条直线， 因为平面内有 50 个点，从这些点中任意取一点，这个点和其余各点能连成条直线，这样总共有 条直线， 在这些直线中每条直线都重复了一次， 所以一共能作出（条）直线． 故答案为：1225. 【点睛】本题考查了直线和线段的计数问题，解题关键是理解题意，找准规律． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$