第二十八章 锐角三角函数（单元重点综合测试，人教版）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记•巧练（湖南专用）

第二十八章 锐角三角函数（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（本题3分）（24-25九年级上·北京·期中）在中，．若，则的值为（    ） A． B． C． D．2 2．（本题3分）（24-25九年级上·河北邢台·期中）把各边的长度都缩小得到，其中与A是对应顶点，则（   ） A． B． C． D． 3．（本题3分）（24-25九年级上·山东威海·期中）如图，鱼竿的长为．露在水面上的鱼线的长为，将鱼竿逆时针转动到的位置，此时露在水面上的鱼线的长度是（   ） A． B． C． D． 4．（本题3分）（2024九年级上·全国·专题练习）如图，将以A为直角顶点的等腰直角三角形沿直线平移得到，使得与C重合，连接，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 5．（本题3分）（2025九年级下·全国·专题练习）如图，梯子（长度不变）与地面所成的锐角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系，下列说法中，正确的是（） A．的值越大，梯子越陡 B．的值越大，梯子越陡 C．的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与的函数值无关 6．（本题3分）（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，中，，，将绕点按逆时针方向旋转，得到，若点的对应点恰好落在边上，连接，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（本题3分）（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，点是矩形中边上一点，沿折叠为，点落在上，若，则的值为（） A． B． C． D． 8．（本题3分）（2024·重庆九龙坡·模拟预测）在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（　　）​ A． B． C． D． 9．（本题3分）（24-25九年级上·山东济南·期中）如图，圭表是度量日影长度的一种天文仪器，垂直于地面的直杆叫“表”，水平放置于地面上刻有刻度以测量影长的标尺叫“圭”．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，冬至日影最长，夏至日影最短．圭面上冬至线与夏至线之间的距离的长为，则表高为（　　）（参考数据：冬至时，；夏至时，） A． B． C． D． 10．（本题3分）（24-25九年级上·重庆·期中）如图，中，，，，以点A为圆心、为半径画弧，交于点E，以点B为圆心、为半径画弧，交于点F，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．（本题3分）（24-25九年级上·广西南宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，射线与轴正半轴的夹角为，则的值为 ． 12．（本题3分）（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，，，则 ． 13．（本题3分）（22-23九年级上·甘肃嘉峪关·期末）在中，，则的形状是 ． 14．（本题3分）（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图，在菱形中，对角线、交于点，点是的中点，联结．如果，，那么 ． 15．（本题3分）（24-25九年级上·上海虹口·期中）已知a，b，c分别是中，，的对边，且a，b，c满足，若，则的值为 ． 16．（本题3分）（24-25九年级上·上海黄浦·期中）如图，已知在四边形中，与相交于点，，．若，，则 ． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题6分）（24-25九年级上·山东聊城·期中）计算： (1)； (2)． 18．（本题6分）（22-23九年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，在中，，，，求的面积． 19．（本题6分）（24-25九年级上·上海虹口·期中）已知：，，，设． (1)求的长； (2)求的值； (3)设，求的值． 20．（本题8分）（24-25九年级上·上海松江·期中）已知：如图，在平行四边形中，，点在的延长线上，连接，交于点．    (1)当时，求的长； (2)当时，求的正切值． 21．（本题8分）（24-25九年级上·山东威海·期中）【信息阅读】关于三角函数有如下公式： ； ； ． 【解决问题】利用上述公式解决问题： (1)求的值； (2)如图，建筑物前方有一个水塘，点B，D，C在同一直线上，，在C，D处测得建筑物顶端A的仰角分别为．求水塘的宽度．（结果保留根号） 22．（本题9分）（24-25九年级上·山东聊城·期中）某数学兴趣小组到一公园测量塔楼的高度，如图所示，塔楼剖面图与斜坡剖面图在同一平面内，在斜坡底部C处测得塔顶B的仰角为，沿斜坡走13米到达斜坡D处，测得塔顶B的仰角为，且斜坡的坡度，其中点A，C，G，F在同一条水平直线上．求： (1)点D到地面的距离； (2)塔的高．（精确到0.1米）（参考数据：，，，，，） 23．（本题9分）（24-25九年级上·重庆·期中）如图，海上有一座小岛，一艘游艇在海中自东向西航行，游艇在A处测得小岛在北偏西方向，半小时后游艇到达离小岛处60海里的处，测得小岛在西北方向．（参考数据：，，） (1)求游艇每小时航行多少海里？（结果保留整数） (2)由于游艇在处突发故障，只能减速前行，于是立即以每小时30海里的速度沿北偏西方向航行，此航线记为，与此同时，在航线上处的救援船立即以每小时40海里的速度沿北偏东方向前往小岛取维修材料（救援船取维修材料的时间忽略不计），当游艇在航线上航行到离小岛最近的处时停下来等待，救援船取到维修材料后立即以原速沿最近的路线前往处．游艇到达处后，再过多少小时救援船能到达处？（结果精确到0.01） 24．（本题10分）（四川雅安·一模）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与直径AB相交于点F．点E在⊙O外，作直线AE，且∠EAC=∠D． （1）求证：直线AE是⊙O的切线． （2）若BC=4，cos∠BAD=，CF=，求BF的长． 25．（本题10分）（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图1，在中，，平分交于点D，点E是线段上一点，连接、． (1)求证：； (2)过点D作于点F，取的中点H，过点H作，交于点G，交于点M， ①如图2，若，求证：； ②如图3，若，，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十八章 锐角三角函数（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（本题3分）（24-25九年级上·北京·期中）在中，．若，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了求一个角的正弦，熟练掌握知识点是解题的关键．根据正弦的定义即可求解． 【详解】解：在中，．若， ∴， 故选：A． 2．（本题3分）（24-25九年级上·河北邢台·期中）把各边的长度都缩小得到，其中与A是对应顶点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，锐角三角函数．熟练掌握解直角三角形是解答本题的关键． 根据各边的长度都缩小得到，则两个三角形相似，则，再根据正切三角函数即可求解． 【详解】解：∵把各边的长度都缩小得到， ∴ ∴ ∴ 故选：B． 3．（本题3分）（24-25九年级上·山东威海·期中）如图，鱼竿的长为．露在水面上的鱼线的长为，将鱼竿逆时针转动到的位置，此时露在水面上的鱼线的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，旋转的性质，先解得到，再由旋转的性质得到，则，最后解求出的长即可得到答案． 【详解】解：在中，， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， 在中，， ∴， 故选：C． 4．（本题3分）（2024九年级上·全国·专题练习）如图，将以A为直角顶点的等腰直角三角形沿直线平移得到，使得与C重合，连接，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等腰直角三角形的性质，平移，正切函数的定义解答即可． 本题考查了等腰直角三角形的性质，平移，正切函数的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：如图，过作出，垂足为D． 设， 由等腰直角三角形沿直线平移得到， ∴， ∴ ∴ ． 故选：B． 5．（本题3分）（2025九年级下·全国·专题练习）如图，梯子（长度不变）与地面所成的锐角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系，下列说法中，正确的是（） A．的值越大，梯子越陡 B．的值越大，梯子越陡 C．的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与的函数值无关 【答案】A 【分析】掌握锐角三角函数值的变化规律．锐角三角函数值的变化规律：正弦值和正切值都是随着角的增大而增大，余弦值是随着角的增大而减小． 【详解】解：A、的值越大，则越大，则梯子越陡，原说法正确，符合题意； B、的值越大越小，梯子越平缓，原说法错误，不符合题意； C、的值越小越小，梯子越平缓，原说法错误，不符合题意； D、陡缓程度与的函数值有关，原说法错误，不符合题意； 故选：A． 6．（本题3分）（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，中，，，将绕点按逆时针方向旋转，得到，若点的对应点恰好落在边上，连接，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，解直角三角形，等边三角形的判定．设，交于点，，根据旋转的性质证明是等边三角形，设，，利用含30度角的直角三角形的性质列出关于，的等式，再利用正切函数定义即可解决问题． 【详解】解：如图：设，交于点，， 在中，， ∵， ∴， 由旋转可知：， 是等边三角形， ， ， 由旋转可知：， ， ， 设，， ， ， ∴， ， ， ， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴， ． 故选：C． 7．（本题3分）（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，点是矩形中边上一点，沿折叠为，点落在上，若，则的值为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠问题，折叠得到的图形是轴对称图形，先求出的长，再根据相似三角形的性质，得出，最后得出正切值．根据折叠的性质，可得与的关系，根据，可得与的关系，根据勾股定理，可得的长，根据两个角相等的两个三角形相似，可得与的关系，根据正切的意义，可得答案． 【详解】解：四边形是矩形， ， 设， 沿折叠为， ，． ， ． ， ． 在中，由勾股定理，得 ． ，， ， ， ． ． ， 故选：B． 8．（本题3分）（2024·重庆九龙坡·模拟预测）在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（　　）​ A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，过点作的垂线构造出直角三角形及熟知正弦的定义是解题的关键．也考查了等腰三角形的三线合一性质． 【详解】解：过点作的垂线，垂足为，设小正方形的边长为， ∵在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上， ∴，，， ∴， ∵， ∴点是的中点， ∴， 在中，， ∴， ∴的值为． 故选：C． 9．（本题3分）（24-25九年级上·山东济南·期中）如图，圭表是度量日影长度的一种天文仪器，垂直于地面的直杆叫“表”，水平放置于地面上刻有刻度以测量影长的标尺叫“圭”．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，冬至日影最长，夏至日影最短．圭面上冬至线与夏至线之间的距离的长为，则表高为（　　）（参考数据：冬至时，；夏至时，） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，利用数形结合的思想是解题关键．设，结合题意可得出，，解出x的值即可． 【详解】解：如图，设表高， ∵冬至时，；夏至时，， ∴冬至时，；夏至时，， ∴，， ∴，， 解得：． 故表高为． 故选A． 10．（本题3分）（24-25九年级上·重庆·期中）如图，中，，，，以点A为圆心、为半径画弧，交于点E，以点B为圆心、为半径画弧，交于点F，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查扇形面积的计算、含30度角的直角三角形、勾股定理，掌握特殊角的三角函数、扇形和三角形面积计算公式是解题的关键．求出，根据三角函数求出；利用扇形的面积公式，根据“阴影部分的面积扇形的面积扇形的面积三角形的面积”计算即可． 【详解】解：，，， ，， ， 阴影部分的面积为． 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．（本题3分）（24-25九年级上·广西南宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，射线与轴正半轴的夹角为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，求正弦值，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先证明四边形是矩形，再运用勾股定理，则，即可作答． 【详解】解：如图：过点B分别作轴，作轴， 则， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵点的坐标为， ∴， ∴， 则， 故答案为：． 12．（本题3分）（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正切的定义，根据正切的定义解答即可，掌握正切是直角三角形中对边比邻边成为解题的关键． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（本题3分）（22-23九年级上·甘肃嘉峪关·期末）在中，，则的形状是 ． 【答案】等边三角形 【分析】先根据非负数的性质求出，，再根据三角函数作答． 【详解】∵， ∴，， 即，， ∴，， ∴， 则一定是等边三角形， 故答案为:等边三角形． 14．（本题3分）（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图，在菱形中，对角线、交于点，点是的中点，联结．如果，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了求角的余弦根据、分别是、的中点，知是中位线得，连接，根据菱形的性质知与垂直平分，根据余弦的定义，即可求解. 【详解】解：在菱形中，是的中点， 也是对角线的交点，且与垂直平分， 、分别是、的中点， ∴， ∴ 在中，，, ∴ 故答案为： 15．（本题3分）（24-25九年级上·上海虹口·期中）已知a，b，c分别是中，，的对边，且a，b，c满足，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理、勾股定理逆定理、正弦、余弦的定义等知识点，掌握正弦、余弦的定义成为解题的关键． 化简可得，即是直角三角形，且为直角；再由可得，设，则，由勾股定理可得，最后根据三角形函数的定义计算即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴是直角三角形，且为直角， ∵， ∴，即， 设，则， ∴， ∴． 故答案为：． 16．（本题3分）（24-25九年级上·上海黄浦·期中）如图，已知在四边形中，与相交于点，，．若，，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及三角函数的定义，垂线定义．解题时要注意相似三角形的面积比等于相似比的平方，有两角对应相等的三角形相似与有两边对应成比例且夹角相等三角形相似的性质的应用．由、可得，又由对顶角相等，根据有两角对应相等的三角形相似，易得，即可得到比例线段，再由，即可证得；由可得，又由相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求得的值． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题6分）（24-25九年级上·山东聊城·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键， （1）直接利用特殊角的三角函数值代入，进而计算得出答案； （2）直接利用特殊角的三角函数值代入，进而计算得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： 18．（本题6分）（22-23九年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，在中，，，，求的面积． 【答案】 【分析】过点C作于点D，构造出两个直角三角形，再根据所给条件直接求解即可． 【详解】解：如图，过点C作于点D． 在中，，， ∴， ∴． 在中， ∵， ∴，． ∴． ∴． 19．（本题6分）（24-25九年级上·上海虹口·期中）已知：，，，设． (1)求的长； (2)求的值； (3)设，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，角平分线的性质，理解三角函数的定义和作出辅助线是解题关键． （1）直接利用正弦函数的定义求解即可； （2）利用勾股定理求得的长，利用正切函数的定义求解即可； （3）作的平分线，作于点，证明，求得，，设，则，在中，由勾股定理得列式计算求得，再利用正切函数的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴； （3）解：作的平分线，作于点， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， 解得，即， ∵， ∴， ∴． 20．（本题8分）（24-25九年级上·上海松江·期中）已知：如图，在平行四边形中，，点在的延长线上，连接，交于点．    (1)当时，求的长； (2)当时，求的正切值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、解直角三角形、平行线分线段成比例定理等知识点，准确作出辅助线是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质和平行线分线段成比例定理求解即可； （2）如图：过点F作于点G，根据平行四边形的性质证明，然后求出，最后根据正切的定义即可解答． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴，解得∶ ． （2）解：如图：过点F作于点G，    ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的正切值． 21．（本题8分）（24-25九年级上·山东威海·期中）【信息阅读】关于三角函数有如下公式： ； ； ． 【解决问题】利用上述公式解决问题： (1)求的值； (2)如图，建筑物前方有一个水塘，点B，D，C在同一直线上，，在C，D处测得建筑物顶端A的仰角分别为．求水塘的宽度．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算，解直角三角形的实际应用： （1）根据，再结合公式计算求解即可； （2）先求出，再解求出的长，再利用公式求出的值，进而解直角三角形求出的长，进而求出的长即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：由题意得，， ∴， 在中，， ∵ = ， ∴在中，， ∴ 答：水塘的宽度为． 22．（本题9分）（24-25九年级上·山东聊城·期中）某数学兴趣小组到一公园测量塔楼的高度，如图所示，塔楼剖面图与斜坡剖面图在同一平面内，在斜坡底部C处测得塔顶B的仰角为，沿斜坡走13米到达斜坡D处，测得塔顶B的仰角为，且斜坡的坡度，其中点A，C，G，F在同一条水平直线上．求： (1)点D到地面的距离； (2)塔的高．（精确到0.1米）（参考数据：，，，，，） 【答案】(1)5米 (2)17.1米 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，勾股定理． （1）根据坡度和的长进行求解即可； （2）过点作，垂足为，设米，则米，在中， 米，在中，米，根据建立方程求解，得到m的值，即可解答． 【详解】（1）解：∵斜坡的坡度，设，， ∵， ∴， 解得， 答：点D到地面的距离为米； （2）解：如图，过点作，垂足为， 由题意得：米，，， 斜坡的坡度，米， 设米， 米， 在中，， 米， 在中，， 米， ， ， 解得：， 米， 塔高约为米． 23．（本题9分）（24-25九年级上·重庆·期中）如图，海上有一座小岛，一艘游艇在海中自东向西航行，游艇在A处测得小岛在北偏西方向，半小时后游艇到达离小岛处60海里的处，测得小岛在西北方向．（参考数据：，，） (1)求游艇每小时航行多少海里？（结果保留整数） (2)由于游艇在处突发故障，只能减速前行，于是立即以每小时30海里的速度沿北偏西方向航行，此航线记为，与此同时，在航线上处的救援船立即以每小时40海里的速度沿北偏东方向前往小岛取维修材料（救援船取维修材料的时间忽略不计），当游艇在航线上航行到离小岛最近的处时停下来等待，救援船取到维修材料后立即以原速沿最近的路线前往处．游艇到达处后，再过多少小时救援船能到达处？（结果精确到0.01） 【答案】(1)62海里 (2)0.08小时 【分析】本题主要考查了解直角三角形，构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作的垂线交延长线于点，由题意可知，．根据三角函数的定义可求出和的长，进而可得S的长，再除以时间，即可求出的速度． （2）过点作于点，由题意可知，．根据三角函数的定义可求出, , 的长，再分别求出潜艇和救援船到达M点所用的时间，再求出它们的差即可． 【详解】（1）解：过点作的垂线交延长线于点， 由题意可知：，， 在中，，， ，    在中，， ，   ，     （海里）．   答：游艇每小时航行62海里． （2）解：过点作于点． 由题意可知：，， 在中，， ， ，       在中，，    ，    ， ，          （小时）．    答：游艇到达处，再过0.08小时救援船就能到达处． 24．（本题10分）（四川雅安·一模）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与直径AB相交于点F．点E在⊙O外，作直线AE，且∠EAC=∠D． （1）求证：直线AE是⊙O的切线． （2）若BC=4，cos∠BAD=，CF=，求BF的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）连接BD，是的直径，可得，即，由同弧所对圆周角相等，可得，即； （2） 过点B作CF边的垂线交CF于点H．根据锐角三角函数求出，再求，得到，再由勾股定理得到. 【详解】证明：（1）连接BD， 是的直径， ， 即， ，， ， 即， 直线AE是的切线； （2）过点B作CF边的垂线交CF于点H． ， ， ， ， ， ， 在中，． 25．（本题10分）（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图1，在中，，平分交于点D，点E是线段上一点，连接、． (1)求证：； (2)过点D作于点F，取的中点H，过点H作，交于点G，交于点M， ①如图2，若，求证：； ②如图3，若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析 ②9 【分析】（1）利用等腰三角形三线合一的性质得到，平分，故是的垂直平分线，进而通过垂直平分线的性质即可证得． （2）①根据题目中的提示构造三角形中位线：连接，再通过等角的三角函数值相等得到三角形边的比例关系，进而化比例式为等积式即可得证． ②连接，．先利用等腰三角形的性质及平行线的性质定理等证得，利用在直角三角形中边的比例关系得到，根据勾股定理构建关于的方程进而求得的值，再根据在直角三角形中边的比例关系得到，根据勾股定理构建关于的方程，即可求得的值． 【详解】（1）证明：，平分， 且是的中点， 直线是线段的垂直平分线， ． （2）①证明：连接，如图2． ，是的中点， 中位线， ， ． ，， ，． ， ， ， ． ②解：连接，如图3． ， ， ． ， ． ，H是的中点， ． ， ， ， ， ． 连结． ，H是的中点， ． ． ． ． ． ． ， ． ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$