19.9 第3课时 勾股定理的逆定理(7大题型提分练)-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂(沪教版2024)

19.9 第3课时 勾股定理的逆定理 知识点一 勾股定理的逆定理 1.定义 如果三角形的三边长满足,那么这个三角形是直角三角形,我们称它为勾股定理的逆定理 2.运用勾股定理的逆定理判断直角三角形的一般步骤 (1)找:确定三角形的最长边； (2)算:分别计算出最长边的平方与另两边的平方和; (3)比:通过比较来判断最长边的平方与另两边的平方和是否相等； (4)判:作出结论,若相等,则说明这个三角形是直角三角形,否则不是直角三角形. 3.股定理与其逆定理的联系与区别 (1)勾股定理和勾股定理的逆定理的题设和结论互换; (2)勾股定理是直角三角形的性质，而其逆定理是直角三角形的判定 拓展 三角形的三边长分别是(其中是最长边) (1)若,则这个三角形是直角三角形; (2)若 ,则这个三角形是钝角三角形; (3)若,则这个三角形是锐角三角形. 知识点二 勾股数 1.勾股数的概念 能够成为直角三角形三条边长的三个,称为勾股数,即中,a,b,c为正整数时,称a,b,c 为一组勾股数【注意：小数（含分数）、无理数就算满足，也不能称为勾股数，因为它们不是正整数.】 2.常见的勾股数 ①3,4,5 ;②6,8,10 ;③ 8,15,17 ;④7,24,25 ;⑤ 5,12,13 ;⑥9.12,15 ;⑦9,40,41.这些勾股数同学们请背诵下来，我们熟悉了常见的勾股数之后，将有利于我们快速判断一个三角形是否为直角三角形. 3.勾股数的求法 (1)如果a为一个大于1的奇数，b，c是两个连续自然数，且有 a2=b+c,那么a,b,c为一组勾股数.如3为大于1的奇数，4,5为两个连续自然数,且32=4+5,则3,4,5为一组勾股数,还有 5,12,13 ；7,24,25 ；9,40,41 ；11,60,61 …… (2)如果a,b,c为一组勾股数,则na,nb,nc也是一组勾股数,其中n(n≥1)为自然数. 例如3,4,5是一组勾股数,那么6,8,10也是一组勾股数,9,12,15 也是一组勾股数. 判断勾股数的方法步骤是什么？ (1) 确定三个数是正整数; (2) 确定出最大数与另外两个较小的数,计算最大数的平方与另外两个较小数的平方和; (3)进行比较,若相等,则是勾股数,否则不是 题型一、判断三边能否构成直角三角形 解题技巧提炼 判定三角形为直角三角形的方法 (1)用角判断: ①两个锐角互余的三角形是直角三角形; ②有一个角是 90°的三角形是直角三角形. (2)用边判断:如果已知条件与边有关，则可通过勾股定理的逆定理进行判断. 1．已知中，，，的对边分别是，，．下列条件不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 2．在中，、、的对边分别是a、b、c，下列条件不能说明是直角三角形的是（    ） A． B．∠ C． D． 3．具有下列条件的中，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 4．在中，分别为，和的对边，在下列条件中，无法判定为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 5．用下列长度的三条线段为边能构成直角三角形是（   ） A． B．4，5，6 C．17，8，15 D． 6．如图，在中，，，，垂直平分，分别交边、于点、，连结．    (1)求的度数； (2)求的长． 7．已知：如图是直角三角形，，点分别在边上，且，，．    (1)证明：线段能组成直角三角形； (2)当是边上的中点时，判断：的位置关系． 8．如图，在中，，直线，垂足为点． (1)如果点在直线上，且点到两边的距离相等，试用直尺和圆规作出满足上述条件的点（不写作法，仅保留作图痕迹，在图中清楚地标注出点）； (2)在第（1）题的条件下，连接接和，如果，请判断的形状，并说明理由． 题型二、图形上与己知两点构成直角三角形的点 解题技巧提炼 图形上与己知两点构成直角三角形的点问题，要进行分类讨论： 1.先将已知线段作为斜边，再求直角边构造直角三角形； 2.再将已知线段作为直角边，再求另一条直角边和斜边构造直角三角形. 9．如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 10．在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．已知在平面直角坐标系中A（﹣2，0）、B（2，0）、C（0，2）．点P在x轴上运动，当点P与点A、B、C三点中任意两点构成直角三角形时，点P的坐标为 ． 12．如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点同时出发，用表示移动的时间，当 s时，是等腰三角形；当 s时，是直角三角形． 13．如图，在中，，，，．是边上的一个动点，点与点关于直线对称，当为直角三角形时，的长为 ． 14．定义：在边长为1的小正方形方格纸中，把顶点落在方格交点上的线段、三角形、四边形分别称为格点线段、格点三角形、格点四边形，请按要求画图： （1）在图1中画出一个面积为1的格点等腰直角三角形； （2）在图2中画出一个面积为13的格点正方形； （3）在图3中画出一条长为5，且不与正方形方格纸的边平行的格点线段； （4）在图4中画出一个周长为的格点直角三角形． 15．在10×10网格中，点A和直线l的位置如图所示； （1）将点A向右平移6个单位，再向上平移2个单位得到点B，在图1中网格中标出点B，并写出线段AB的长度___________； （2）在（1）中的条件下，在直线l上确定一点P，使的值最小，在图1中保留画图痕迹，并直接写出线段的最小值：_____________； （3）点C为直线l上格点，是以AB为斜边的直角三角形，在图2网格中标出C，写出线段AC=_______； 题型三、在网格中判断直角三角形 解题技巧提炼 网格中判断直角三角形，可以连接辅助线构造直角三角形或判定三角形全等，得到对应边角关系. 16．在如图所示的正方形网格中，点A，B，C，D，E分别是网格线交点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 17．如图所示，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点A，B，C都在格点上，是边上的中线，则的长为（    ） A． B． C． D． 18．已知直角坐标平面内的点，和，那么的形状是 ． 19．如图，每个小正方形的边长为1，在中，点D为的中点，则线段的长为 ． 20．在如图的方格纸中（每个小方格的边长都是1个单位）有一个格点， (1)求出的边长，并判断的形状； (2)作出关于点的中心对称图形；作出绕点按顺时针方向旋转后得到的图形； (3)可能由怎样变换得到?_______________（写出你认为正确的一种即可）． 21．如图，网格中每个小正方形的边长都为1，    (1)求四边形的面积； (2)求的度数． 22．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，． (1)画出，判断的形状，并说明理由； (2)画出关于x轴对称的图形． 23．如图，正方形网格的每个小方格的边长均为1，的顶点在格点上．    (1)直接写出　　，　　，　　； (2)判断的形状，并说明理由； (3)直接写出边上的高为 ． 题型四、利用勾股定理的逆定理求解 解题技巧提炼 勾股定理的逆定理在叙述时不能说成“当斜边长的平方等于两条直角边长的平方和时，这个三角形是直角三角形”,在未判定三角形为直角三角形前，不能称最长边为“斜边”较短的两边为“直角边”. 24．已知三角形的三边长为1、2、，则它的最小角为 度． 25．如图，在中，，，，点P为边上一点，点P关于直线的对称点为点Q，联结、，与边交于点D．当时，则 ． 26．如图，在△ABC中，AB=6，BC=10，AC=8，点D是BC的中点，如果将△ACD沿AD翻折后，点C的对应点为点E，那么CE的长等于 ． 27．已知：如图，在中，，点是边中点，延长至点，使得，连接，当时，求的度数． 28．已知一个三角形三边的长分别为，则这个三角形的面积是 ． 29．如图，在四边形中，，，．    (1)求证：： (2)如果平分，且，求的面积． 30．如图，已知四边形ABCD中，∠B=90°，AB=15，BC=20，AD=24，CD=7，求四边形ABCD的面积． 31．如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AC于点E，DF是△ABD的中线，且CE=2，DE=4，AE=8． (1)求证：； (2)求DF的长． 题型五、勾股定理逆定理的实际应用 解题技巧提炼 解决实际问题时，应先将其转化为数学问题.遇到凹凸四边形，不要忘记连接辅助线构造直角三角形. 32．如图，某港口在南北方向的海岸线上，快、慢两艘船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，已知快、慢两船每小时分别航行12海里和5海里，2小时后两船分别位于点 ，处，且相距26海里，如果知道快船沿北偏西方向航行，那么乙船沿 方向航行． 33．如图，老李家有一块草坪，家里想整理它，需要知道其面积，老李测量了草坪各边得知：米，米，米，米，且．则这块草坪的面积是（    ） A． B． C． D． 34．某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形地时，由于在上有一处古建筑，使得的长不能直接测出，于是工作人员在上取一点，测得米，米后，又测得米，米，请你根据测量数据，求出的长度． 35．2021年第6号台风“烟花”登陆我国沿海地区．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且，， ．经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． (1)海港C会受到台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 36．张明家有一块菜地如图所示，已知米，米，米，米，且，求这块菜地面积是多少平方米？ 37．在一条东西走向的河流一侧有一村庄，河边原有两个取水点，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（在同一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． (1)求的度数； (2)求原来的路线的长． 38．如图，小明想测量校园内一块四边形场地的面积，测得，，，，．根据小明所测的数据，求这个四边形场地的面积． 39．如图，在某住宅小区在施工中留下一块空地四边形中，，，，，，试问这块空地的面积？ 题型六、勾股定理逆定理的拓展问题 解题技巧提炼 找勾股数的一种方法:首先选定一个大于1的奇数a，然后得出b=,c=,那么a,b,c就是一组勾股数.运用此法可以得到许多组勾股数. 40．阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且最大，我们可以利用，，之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，，故由③可知该三角形是锐角三角形． （1）若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是 ； （2）若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为 ； （3）带一个三角形的三边长，，，其中是最长边长，则该三角形是 三角形． 41．根据勾股定理，任意直角三角形的两条直角边长 ， ，和斜边长都是含三个未知数的方程 的一组解，而每一组勾股数（例如3，4，5；5，12，13；等）都是这个方程的正整数解．高于二次的方程，，，…是否也有正整数解呢？法国数学家费马经过研究得出结论：当自然数 时，方程没有正整数解．这个命题的证明引起了世界各国数学家的关注，最终由英国数学家怀尔斯于1995年完成了证明．困扰了数学家300多年历史的数学难题终于得到解决，在解决这一数学难题的过程中，反映了一代代数学家艰苦探索、不屈不挠的科学精神和聪明智慧．这个定理的证明被称为“世纪性的成就”．这个定理指的是（    ） A．费马大定理 B．怀尔斯大定理 C．勾股定理 D．勾股定理的逆定理 42．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形ABCD的顶点均在格点上． (1)直接写出线段AC、CD、AD的长； (2)求∠ACD的度数； (3)求四边形ABCD的面积． 43．阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，，故由③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题： （1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是________三角形． （2）若一个三角形的三边长分别是5，12，x．且这个三角形是直角三角形，求的值． （3）当，时，判断的形状，并求出对应的的取值范围． 44．先观察下列各组数，然后回答问题： 第一组：，，； 第二组：，，； 第三组：，，； 第四组：，，； （1）根据各组数反映的规律，用含的代数式表示第组的三个数； （2）如果各组数的三个数分别是三角形的三边长，那么这个三角形是什么三角形？请说明理由； （3）如图，，，，若，，为上列按已知方式排列顺序的某一组数，且，，求的长． 题型七、求最短路径（勾股定理的应用） 解题技巧提炼 求最短路径问题，可以利用轴对称图形的性质以及两点之间距离公式，利用轴对称作出图形求出最短距离． 45．小明求代数式的最小值时，采用如下方法：如图，在同一直角坐标平面内，设为轴上的一个动点，选取点和，根据两点的距离公式得，，通过构造，将求代数式的最小值转化为求的最小值，由此小明求出的最小值等于 ． 46．将矩形纸片按如图所示折叠，已知，，，，则蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是 ． 47．如图，长方体的长为，宽为，高为，点到点的距离是，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离为 ． 48．如图，动点从点出发，沿着圆柱的侧面移动到的中点，若，点移动的最短距离为5，则圆柱的底面周长为 ． 49．如图，一只蚂蚁从A点沿圆柱侧面爬到顶面相对的B点处，如果圆柱的高为，圆柱的半径为，那么最短路径长（   ） A．8 B．6 C．10 D．15 50．直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从点开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点停止．求彩条的最短长度． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 19.9 第3课时 勾股定理的逆定理 知识点一 勾股定理的逆定理 1.定义 如果三角形的三边长满足,那么这个三角形是直角三角形,我们称它为勾股定理的逆定理 2.运用勾股定理的逆定理判断直角三角形的一般步骤 (1)找:确定三角形的最长边； (2)算:分别计算出最长边的平方与另两边的平方和; (3)比:通过比较来判断最长边的平方与另两边的平方和是否相等； (4)判:作出结论,若相等,则说明这个三角形是直角三角形,否则不是直角三角形. 3.股定理与其逆定理的联系与区别 (1)勾股定理和勾股定理的逆定理的题设和结论互换; (2)勾股定理是直角三角形的性质，而其逆定理是直角三角形的判定 拓展 三角形的三边长分别是(其中是最长边) (1)若,则这个三角形是直角三角形; (2)若 ,则这个三角形是钝角三角形; (3)若,则这个三角形是锐角三角形. 知识点二 勾股数 1.勾股数的概念 能够成为直角三角形三条边长的三个,称为勾股数,即中,a,b,c为正整数时,称a,b,c 为一组勾股数【注意：小数（含分数）、无理数就算满足，也不能称为勾股数，因为它们不是正整数.】 2.常见的勾股数 ①3,4,5 ;②6,8,10 ;③ 8,15,17 ;④7,24,25 ;⑤ 5,12,13 ;⑥9.12,15 ;⑦9,40,41.这些勾股数同学们请背诵下来，我们熟悉了常见的勾股数之后，将有利于我们快速判断一个三角形是否为直角三角形. 3.勾股数的求法 (1)如果a为一个大于1的奇数，b，c是两个连续自然数，且有 a2=b+c,那么a,b,c为一组勾股数.如3为大于1的奇数，4,5为两个连续自然数,且32=4+5,则3,4,5为一组勾股数,还有 5,12,13 ；7,24,25 ；9,40,41 ；11,60,61 …… (2)如果a,b,c为一组勾股数,则na,nb,nc也是一组勾股数,其中n(n≥1)为自然数. 例如3,4,5是一组勾股数,那么6,8,10也是一组勾股数,9,12,15 也是一组勾股数. 判断勾股数的方法步骤是什么？ (1) 确定三个数是正整数; (2) 确定出最大数与另外两个较小的数,计算最大数的平方与另外两个较小数的平方和; (3)进行比较,若相等,则是勾股数,否则不是 题型一、判断三边能否构成直角三角形 解题技巧提炼 判定三角形为直角三角形的方法 (1)用角判断: ①两个锐角互余的三角形是直角三角形; ②有一个角是 90°的三角形是直角三角形. (2)用边判断:如果已知条件与边有关，则可通过勾股定理的逆定理进行判断. 1．已知中，，，的对边分别是，，．下列条件不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理、直角三角形的定义、勾股定理的逆定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．利用三角形的内角和定理、直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【详解】解：、，，故是直角三角形，不符合题意； 、，，，故是直角三角形，不符合题意； 、，，故不是直角三角形，符合题意； 、，，故是直角三角形，不符合题意． 故选：． 2．在中，、、的对边分别是a、b、c，下列条件不能说明是直角三角形的是（    ） A． B．∠ C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形内角和，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识．根据勾股定理及其逆定理可判断A、D选项，根据三角形内角和可判断B、C选项，从而解题． 【详解】解答：解：， ， 故A能，不符合题意； ，， ， ， 故B能，不符合题意； ，， ， 故C不能，符合题意； ， ， 故D能，不符合题意． 故选：C． 3．具有下列条件的中，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，根据三角形内角和为180度即可判断A、C；根据三角形三边中，两较小边的平方等于较长边的平方，那么这个三角形是直角三角形可判断B、D． 【详解】解：A、∵，， ∴， ∴是直角三角形，不符合题意； B、设， ∴， ∴是直角三角形，不符合题意； C、∵，， ∴， ∴不是直角三角形，符合题意； D、设， ∴， ∴是直角三角形，不符合题意； 故选：C． 4．在中，分别为，和的对边，在下列条件中，无法判定为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了直角三角形的判定，根据三角形的内角和，勾股定理逆定理即可，解题的关键是熟练掌握勾股定理逆定理及三角形的内角和定理的应用． 【详解】、设三角形的三角分别为，，，，解得：， ∴，，， ∴不是直角三角形，此选项符合题意； 、∵， ∴， ∴是直角三角形，此选项不符合题意； 、由得，， ∴是直角三角形，此选项不符合题意； 、由，设，，，则， ∴是直角三角形，此选项不符合题意； 故选：． 5．用下列长度的三条线段为边能构成直角三角形是（   ） A． B．4，5，6 C．17，8，15 D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理逐个判断即可．注意：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 【详解】A．，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意． B．，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； C．，能组成直角三角形，故本选项符合题意； D．，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：C． 6．如图，在中，，，，垂直平分，分别交边、于点、，连结．    (1)求的度数； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形的性质，解题的关键是证明； （2）本题考查了垂直平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是证明． 【详解】（1）解：，，， ， ， ， 又 ； （2）垂直平分，， ，， ， 又 ， ， ， ， ， （舍去）， ． 7．已知：如图是直角三角形，，点分别在边上，且，，．    (1)证明：线段能组成直角三角形； (2)当是边上的中点时，判断：的位置关系． 【答案】(1)证明见解析； (2)，理由见解析． 【分析】（）根据勾股逆定理即可求证； （）延长，使得，连接，证明，得到，，得到，根据平行线的性质得到，由勾股定理得到，进而得到，由等腰三角形三线合一即可求证； 本题考查了勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，正确作出辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴线段能组成直角三角形； （2）解：． 理由：延长，使得，连接，    ∵是边上的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， 即． 8．如图，在中，，直线，垂足为点． (1)如果点在直线上，且点到两边的距离相等，试用直尺和圆规作出满足上述条件的点（不写作法，仅保留作图痕迹，在图中清楚地标注出点）； (2)在第（1）题的条件下，连接接和，如果，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)为直角三角形．理由见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，尺规作图，勾股定理，解题的关键是掌握角平分线的性质． （1）根据角平分线的性质，尺规作的平分线，与直线交于点； （2）过点作于，根据角平分线性质得出，根据三角形面积公式求出，结合，可得，即可解答． 【详解】（1）解：如图，点即为所求， （2）为直角三角形， 理由如下：过点作于． 平分，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 为直角三角形． 题型二、图形上与己知两点构成直角三角形的点 解题技巧提炼 图形上与己知两点构成直角三角形的点问题，要进行分类讨论： 1.先将已知线段作为斜边，再求直角边构造直角三角形； 2.再将已知线段作为直角边，再求另一条直角边和斜边构造直角三角形. 9．如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键，当是斜边时有四个，当是直角边时有2个． 【详解】解：当是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H四个； 当是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点； 当是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G． 因而共有6个满足条件的顶点． 故选C． 10．在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】结合网格的性质和直角三角形的判定找到对应点即可． 【详解】解：如图，满足条件的点C共有4个， 故选D． 【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键． 11．已知在平面直角坐标系中A（﹣2，0）、B（2，0）、C（0，2）．点P在x轴上运动，当点P与点A、B、C三点中任意两点构成直角三角形时，点P的坐标为 ． 【答案】（0，0），（，0），（﹣2，0） 【分析】因为点P、A、B在x轴上，所以P、A、B三点不能构成三角形．再分Rt△PAC和Tt△PBC两种情况进行分析即可． 【详解】解：∵点P、A、B在x轴上， ∴P、A、B三点不能构成三角形． 设点P的坐标为（m，0）． 当△PAC为直角三角形时， ①∠APC＝90°，易知点P在原点处坐标为（0，0）； ②∠ACP＝90°时，如图， ∵∠ACP＝90° ∴AC2＋PC2＝AP2， ， 解得，m＝， ∴点P的坐标为（，0）； 当△PBC为直角三角形时， ①∠BPC＝90°，易知点P在原点处坐标为（0，0）； ②∠BCP＝90°时， ∵∠BCP＝90°，CO⊥PB， ∴PO＝BO＝2， ∴点P的坐标为（﹣2，0）． 综上所述点P的坐标为（0，0），（，0），（﹣2，0）． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，涉及到了数形结合和分类讨论思想．解题的关键是不重复不遗漏的进行分类． 12．如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点同时出发，用表示移动的时间，当 s时，是等腰三角形；当 s时，是直角三角形． 【答案】 或5 4或10 【分析】根据是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点在上，或点在上；根据是直角三角形，分两种情况进行讨论：，或，据此进行计算即可． 【详解】解：如图，当时，是等腰三角形， ，， 当时，， 解得； 如图，当时，是等腰三角形， ，， 当时，， 解得； 如图，当时，是直角三角形，且， ，， 当时，， 解得； 如图，当时，是直角三角形，且， ，， 当时，， 解得：t=10． 故答案为：或5；4或10． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，解决问题的关键是进行分类讨论，分类时注意不能遗漏，也不能重复． 13．如图，在中，，，，．是边上的一个动点，点与点关于直线对称，当为直角三角形时，的长为 ． 【答案】7或17 【分析】分当E在线段AD上时，当E在线段BD上时分别求解即可． 【详解】解：当E在线段AD上时， 连接CE，作A关于CE的对称点F，连接AF，EF，CF， ∵∠AEF=90°， ∴∠AEC=∠FEC==135°， ∴∠CED=45°， ∴CD=ED=5， ∴AE=AD-ED=12-5=7； 当E在线段BD上时， 连接CE，作A关于CE的对称点F，连接EF，CF，AF， ∵∠AEF=90°， ∴∠CEF=∠CEA=45°， ∴ED=CD=5， ∴AE=AD+DE=17， 故答案为：7或17． 【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，解本题的关键是注意运用数形结合的思想解决问题． 14．定义：在边长为1的小正方形方格纸中，把顶点落在方格交点上的线段、三角形、四边形分别称为格点线段、格点三角形、格点四边形，请按要求画图： （1）在图1中画出一个面积为1的格点等腰直角三角形； （2）在图2中画出一个面积为13的格点正方形； （3）在图3中画出一条长为5，且不与正方形方格纸的边平行的格点线段； （4）在图4中画出一个周长为的格点直角三角形． 【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）见详解；（4）见详解 【分析】（1）根据等腰直角三角形的定义以及面积公式，即可求解； （2）根据勾股定理画出边长为的正方形，即可； （3）根据勾股定理画出长为5的线段，即可； （4）根据勾股定理画出长为，，的三角形，即可． 【详解】（1）∵， ∴即为所求； （2）∵EF=FG=GD=DE=， ∴正方形的面积为13； （3）HI=； （4）∵KL=，JL=，JK=， 且 ∴是直角三角形，且周长为． 【点睛】本题主要考查网格中的勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 15．在10×10网格中，点A和直线l的位置如图所示； （1）将点A向右平移6个单位，再向上平移2个单位得到点B，在图1中网格中标出点B，并写出线段AB的长度___________； （2）在（1）中的条件下，在直线l上确定一点P，使的值最小，在图1中保留画图痕迹，并直接写出线段的最小值：_____________； （3）点C为直线l上格点，是以AB为斜边的直角三角形，在图2网格中标出C，写出线段AC=_______； 【答案】（1）点B见解析；；（2）作图见解析；；（3）点C见解析，或． 【分析】（1）根据题目平移获得点B，然后根据勾股定理求解即可； （2）做点A关于直线l的对称点A’，连接A’B交直线l于点P，点P即为所求； （3）在直线l上选择点C，然后根据勾股定理判断是否为直角三角形即可，然后根据勾股定理求解AC． 【详解】（1）标出B点， 故； （2）做点A关于直线l的对称点A’，连接A’B交直线l于点P， ∵两点之间直线最短 ∴此时A’B最短，点P即为所求 ∴， 故； （3）两个C点，AC=或； 【点睛】本题考查了应用对称轴求最短距离，勾股定理，会用勾股定理判定三角形是直角三角形是本题的关键． 题型三、在网格中判断直角三角形 解题技巧提炼 网格中判断直角三角形，可以连接辅助线构造直角三角形或判定三角形全等，得到对应边角关系. 16．在如图所示的正方形网格中，点A，B，C，D，E分别是网格线交点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．取格点F，连接，，证明是等腰直角三角形，则，证明，则，则. 【详解】解；如图，取格点F，连接，， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B 17．如图所示，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点A，B，C都在格点上，是边上的中线，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理、直角三角形斜边上的中线，判断是直角三角形解答的关键．先利用勾股定理及其逆定理判断是直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：根据网格特点，，，，即， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵是边上的中线， ∴， 故选：C． 18．已知直角坐标平面内的点，和，那么的形状是 ． 【答案】等腰直角三角形． 【分析】根据题意作出，然后根据图形，得到,，可判断的形状． 【详解】解：∵各点坐标分别是，和 ，根据题意，如下图所示 则：，， ， ∴，， ∴的形状是等腰直角三角形， 故答案是：等腰直角三角形． 【点睛】本题考查的是勾股定理、坐标与图形性质，熟悉相关性质是解题的关键． 19．如图，每个小正方形的边长为1，在中，点D为的中点，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，勾股定理逆定理的应用，根据勾股定理列式求出，再利用勾股定理逆定理判断出是直角三角形，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可． 【详解】解：根据勾股定理，，，， ∵， ∴是直角三角形， ∵点D为的中点， ∴． 故答案为：． 20．在如图的方格纸中（每个小方格的边长都是1个单位）有一个格点， (1)求出的边长，并判断的形状； (2)作出关于点的中心对称图形；作出绕点按顺时针方向旋转后得到的图形； (3)可能由怎样变换得到?_______________（写出你认为正确的一种即可）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）求出各边的长，用勾股定理即可得出答案． （2）找出关于点的中心对称点，顺次连接即可；找出绕点按顺时针方向旋转后对应点，顺次连接即可； （3）直接观察图形即可得出答案． 【详解】（1）解：，，， ， 是直角三角形． （2）如图，即为所求； （3）先将绕点按顺时针方向旋转，再将所得图形向右平移6个单位即得到（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了旋转变换的作图问题，难度不大，注意掌握基本作图的方法． 21．如图，网格中每个小正方形的边长都为1，    (1)求四边形的面积； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是利用网格求面积，勾股定理和勾股定理逆定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． （1）利用正方形的面积减去四个顶点上三角形及小正方形的面积即可； （2）连接，根据勾股定理的逆定理判断出的形状，进而可得出结论． 【详解】（1） 解：； （2） 解：连接，    ，，， ∴， ． 22．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，． (1)画出，判断的形状，并说明理由； (2)画出关于x轴对称的图形． 【答案】(1)作图见解析，是直角三角形 (2)见解析 【分析】此题主要考查坐标与轴对称图形的作图，以及勾股定理逆定理，解题的关键是熟知轴对称图形的特点． （1）求出各线段长，再利用勾股定理逆定理可得答案； （2）根据对称的特点作图即可． 【详解】（1）如图， ,，， ∵， ∴，即是直角三角形； （2）解：如图所示，即为所求， 23．如图，正方形网格的每个小方格的边长均为1，的顶点在格点上．    (1)直接写出　　，　　，　　； (2)判断的形状，并说明理由； (3)直接写出边上的高为 ． 【答案】(1) (2)直角三角形，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理，进行计算即可解答； （2）利用勾股定理的逆定理，进行计算即可解答； （3）利用面积法，进行计算即可解答． 【详解】（1）由题意得： ， ， ， ，，， 故答案为：，，； （2）是直角三角形， 理由：，， ， 是直角三角形； （3）设边上的高为， 的面积， ， ， 故答案为： 题型四、利用勾股定理的逆定理求解 解题技巧提炼 勾股定理的逆定理在叙述时不能说成“当斜边长的平方等于两条直角边长的平方和时，这个三角形是直角三角形”,在未判定三角形为直角三角形前，不能称最长边为“斜边”较短的两边为“直角边”. 24．已知三角形的三边长为1、2、，则它的最小角为 度． 【答案】30 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，再证明得到，则可证明是等边三角形，得到，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，中，，点D是延长线上一点，且， ∵， ∴是直角三角形，且， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴三角形的三边长为1、2、，则它的最小角为30度， 故答案为：30． 25．如图，在中，，，，点P为边上一点，点P关于直线的对称点为点Q，联结、，与边交于点D．当时，则 ． 【答案】 【分析】首先由勾股定理的逆定理可得出，由直角三角形的性质可得，再根据轴对称图形的性质及等腰三角形的性质，可求出，由直角三角形的性质得出，再由勾股定理可得出答案． 【详解】解：，，， ，， ， ， ，， ， ， 点P关于直线的对称点为点Q， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理及其逆定理，轴对称图形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 26．如图，在△ABC中，AB=6，BC=10，AC=8，点D是BC的中点，如果将△ACD沿AD翻折后，点C的对应点为点E，那么CE的长等于 ． 【答案】 【分析】连接CE，延长AD交CE于点F，根据勾股定理逆定理可知△ABC为直角三角形，所以可求得△ABC的面积；因点D是BC的中点，所以，，然后可求得AD边上的高CF；根据翻折得到的轴对称图形的性质可知AF垂直平分CE，所以CE=2CF，即得到CE的长． 【详解】将△ACD沿AD翻折后，得到图形如图所示， 连接CE，延长AD交CE于点F， 在△ABC中，AB=6，BC=10，AC=8， ∵，即, ∴△ABC为直角三角形，∠BAC=90°， ∴， ∵点D是BC的中点， ∴AD=BD=CD=BC=5， ∴， ∵△ACD沿AD翻折后，点C的对应点为点E， ∴AF垂直平分CE，即AF⊥EC，CE=2CF， ∴CF为△ACD的AD边上的高， ，解得CF=， ∴CE=2CF=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、轴对称的性质等知识，能够根据勾股定理逆定理判定出直角三角形并根据轴对称的性质进行推导是解题关键． 27．已知：如图，在中，，点是边中点，延长至点，使得，连接，当时，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理的逆定理以及等边三角形的判定和性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质和勾股定理的逆定理是解题的关键．由直角三角形斜边上的中线性质得，则，再由勾股定理的逆定理得是直角三角形，且，即可得出结论． 【详解】解：，点是边中点， ， ， ， ， 是直角三角形，且， 取的中点F，连接， ， ∴， ，即的度数为 28．已知一个三角形三边的长分别为，则这个三角形的面积是 ． 【答案】 【分析】根据勾股定理的逆定理，判断这是一个直角三角形，再结合面积公式求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴该三角形为直角三角形， ∴其面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理以及二次根式的乘法法则，熟练掌握勾股定理的逆定理是解决本题的关键． 29．如图，在四边形中，，，．    (1)求证：： (2)如果平分，且，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，即可解答； （2）过点A作，垂足为E，先利用角平分线的性质可得，然后在中，利用勾股定理求出的长，再在中，利用含30度角的直角三角形的性质求出的长，从而求出的长，最后利用三角形的面积公式进行计算，即可解答． 本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质，根据题目的逐一条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴． （2）解：过点A作，垂足为E，，    ∵平分，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为：， ∴的面积为． 30．如图，已知四边形ABCD中，∠B=90°，AB=15，BC=20，AD=24，CD=7，求四边形ABCD的面积． 【答案】234 【分析】连接AC，根据已知条件运用勾股定理逆定理可证△ABC和△ACD为直角三角形，然后代入三角形面积公式将两直角三角形的面积求出来，两者面积相加即为四边形ABCD的面积． 【详解】解：连接AC，如图， ∵， ∴， ∵AD2+CD2=242+72=625，AC2=252=625， ∴AD2+CD2=AC2， ∴∠D=90°， ∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 31．如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AC于点E，DF是△ABD的中线，且CE=2，DE=4，AE=8． (1)求证：； (2)求DF的长． 【答案】(1)见解析 (2)DF的长为5． 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理，证明△ADC是直角三角形，即可得出∠ADC是直角； （2）根据三角形的中线的定义以及直角三角形的性质解答即可． 【详解】（1）证明：∵DE⊥AC于点E， ∴∠AED=∠CED=90°， 在Rt△ADE中，∠AED=90°， ∴AD2=AE2+DE2=82+42=80， 同理：CD2=20， ∴AD2+CD2=80+20=100， ∵AC=AE+CE=8+2=10， ∴AC2=100， ∴AD2+CD2=AC2， ∴△ADC是直角三角形， ∴∠ADC=90°； （2）解：∵AD是△ABC的中线，∠ADC=90°， ∴AD垂直平分BC， ∴AB=AC=10， 在Rt△ADB中，∠ADB=90°， ∵点F是边AB的中点， ∴DF=AB=5． ∴DF的长为5． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质与判定，垂直平分线的判定和的性质，熟记勾股定理与逆定理是解答本题的关键． 题型五、勾股定理逆定理的实际应用 解题技巧提炼 解决实际问题时，应先将其转化为数学问题.遇到凹凸四边形，不要忘记连接辅助线构造直角三角形. 32．如图，某港口在南北方向的海岸线上，快、慢两艘船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，已知快、慢两船每小时分别航行12海里和5海里，2小时后两船分别位于点 ，处，且相距26海里，如果知道快船沿北偏西方向航行，那么乙船沿 方向航行． 【答案】南偏西 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理及方位角，熟练掌握勾股定理的逆定理及方位角是解题的关键． 根据勾股定理逆定理求出，进而可得，然后问题可求解． 【详解】解：如图所示， 由题意得：（海里），（海里），，海里， ∴， ∴， ∴， ∴乙船沿南偏西方向航行． 故答案为：南偏西． 33．如图，老李家有一块草坪，家里想整理它，需要知道其面积，老李测量了草坪各边得知：米，米，米，米，且．则这块草坪的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．解题的关键是在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．体会数形结合的思想的应用．连接，根据勾股定理，求得，再根据勾股定理的逆定理，判断是直角三角形．这块草坪的面积等于两个直角三角形的面积之和． 【详解】解：连接，如图， ， ， 米，米， 米， 米，米， ， 为直角三角形， 这块草坪的面积， 故选：A． 34．某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形地时，由于在上有一处古建筑，使得的长不能直接测出，于是工作人员在上取一点，测得米，米后，又测得米，米，请你根据测量数据，求出的长度． 【答案】米 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟记勾股定理的逆定理，勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理推出，再根据勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】解：米，米，米， ， ， ， （米）， （米）． 35．2021年第6号台风“烟花”登陆我国沿海地区．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且，， ．经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． (1)海港C会受到台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1)海港受台风影响，理由见解析 (2)8小时 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． （1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而得出的度数；利用三角形面积得出的长，进而得出海港是否受台风影响； （2）利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1）解：海港受台风影响，理由如下： ，，， ， 是直角三角形，且； 过点作于， 是直角三角形， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， 海港受台风影响； （2）解：如图所示，分别在上取一点E和F，当，时，正好影响港口， 在中，由勾股定理， 同理可得， ， 台风的速度为25千米小时， （小时）． 答：台风影响该海港持续的时间为8小时． 36．张明家有一块菜地如图所示，已知米，米，米，米，且，求这块菜地面积是多少平方米？ 【答案】平方米 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．构造直角三角形是解题关键． 连接，根据勾股定理，求得，再根据勾股定理的逆定理，判断是直角三角形，然后根据这块草坪的面积等于两个直角三角形的面积之和代数求解即可． 【详解】解：连接，如图， ∵，米，米， ∴米． ∵米，米， ∴， ∴， ∴这块菜地面积等于平方米． 37．在一条东西走向的河流一侧有一村庄，河边原有两个取水点，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（在同一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． (1)求的度数； (2)求原来的路线的长． 【答案】(1) (2)8.45千米 【分析】本题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）利用勾股定理的逆定理推导为直角三角形，即可获得答案； （2）设，则，在中，利用勾股定理解得的值，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意，可知千米，千米，千米， ∵，， ∴， ∴为直角三角形，； （2）由（1）可知，，即， 设，则， 在中，可有， 即，解得， ∴千米， 即原来的路线的长为8.45千米． 38．如图，小明想测量校园内一块四边形场地的面积，测得，，，，．根据小明所测的数据，求这个四边形场地的面积． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理，由勾股定理逆定理得出是直角三角形，再由勾股定理得出，最后由四边形的面积为，列式计算即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ，，即， 是直角三角形， ， ，， ， ， ∴四边形的面积为， ∴这个四边形场地的面积为． 39．如图，在某住宅小区在施工中留下一块空地四边形中，，，，，，试问这块空地的面积？ 【答案】 【分析】此题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理的应用、三角形的面积公式，先在中，利用勾股定理可求，在中，再利用勾股定理的逆定理证得是直角三角形，分别利用三角形的面积公式求出、的面积，两者相加即是四边形的面积，解题的关键是作出辅助线求出及证得是直角三角形． 【详解】解：如图，连接， 在中，，，， ， 在中，，，， ， ， ， 是直角三角形， ，， ， 答：这块空地的面积是． 题型六、勾股定理逆定理的拓展问题 解题技巧提炼 找勾股数的一种方法:首先选定一个大于1的奇数a，然后得出b=,c=,那么a,b,c就是一组勾股数.运用此法可以得到许多组勾股数. 40．阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且最大，我们可以利用，，之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，，故由③可知该三角形是锐角三角形． （1）若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是 ； （2）若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为 ； （3）带一个三角形的三边长，，，其中是最长边长，则该三角形是 三角形． 【答案】 锐角三角形 或 钝角 【分析】（1）直接利用定义结合三角形三边得出答案； （2）直接利用勾股定理得出x的值； （3）直接利用已知结合三边关系得出答案． 【详解】解：（1）∵72+82=49+64=113＞92， ∴三角形是锐角三角形， 故答案为：锐角三角形； （2）∵这个三角形是直角三角形，当x为斜边， ∴52+122=x2， ∴x=13， 当12是斜边， 则52+x2=122， 解得：x=， 综上所述：x=13或． 故答案为：13或； （3）∵a2-b2-c2=x2+3z2-x+y2-2y+=(x-)2+(y-1)2+3z2+＞0， ∴a2＞b2+c2， ∴该三角形是钝角三角形． 【点睛】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确进行相关计算是解题关键． 41．根据勾股定理，任意直角三角形的两条直角边长 ， ，和斜边长都是含三个未知数的方程 的一组解，而每一组勾股数（例如3，4，5；5，12，13；等）都是这个方程的正整数解．高于二次的方程，，，…是否也有正整数解呢？法国数学家费马经过研究得出结论：当自然数 时，方程没有正整数解．这个命题的证明引起了世界各国数学家的关注，最终由英国数学家怀尔斯于1995年完成了证明．困扰了数学家300多年历史的数学难题终于得到解决，在解决这一数学难题的过程中，反映了一代代数学家艰苦探索、不屈不挠的科学精神和聪明智慧．这个定理的证明被称为“世纪性的成就”．这个定理指的是（    ） A．费马大定理 B．怀尔斯大定理 C．勾股定理 D．勾股定理的逆定理 【答案】A 【分析】根据“法国数学家费马经过研究得出结论：当自然数时，方程没有正整数解，”即可得到答案． 【详解】法国数学家费马经过研究得出结论：当自然数时，方程没有正整数解． ∴这个定理指的是费马大定理 故选：A． 【点睛】本题主要考查了学生对于数学课外阅读的认知程度，解题的关键是要多了解有关数学的课外知识． 42．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形ABCD的顶点均在格点上． (1)直接写出线段AC、CD、AD的长； (2)求∠ACD的度数； (3)求四边形ABCD的面积． 【答案】(1)AC=，CD=，AD=5 (2)∠ACD=90° (3)13 【分析】（1）根据勾股定理可求； （2）根据勾股定理逆定理可判断； （3）由S四边形ABCD=可求． 【详解】（1）解：根据题意，得： AC=， CD=， AD==5． （2）解：∵AC+CD=+=25=5=AD． ∴∠ACD=90°． （3）解：．S四边形ABCD==8+5=13． 【点睛】本题考查了勾股定理及逆定理的应用，熟练掌握勾股定理与逆定理是解题的关键． 43．阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，，故由③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题： （1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是________三角形． （2）若一个三角形的三边长分别是5，12，x．且这个三角形是直角三角形，求的值． （3）当，时，判断的形状，并求出对应的的取值范围． 【答案】（1）锐角；（2）169或119；（3）见解析 【分析】（1）直接利用定义结合三角形三边得出答案； （2）直接利用勾股定理得出x2的值； （3）分△ABC为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形结合三边关系得出答案． 【详解】解：（1）∵72+82=49+64=113＞92， ∴三角形是锐角三角形， 故答案为：锐角； （2）∵这个三角形是直角三角形，当x为斜边， ∴52+122=x2， ∴x2=169， 当12是斜边， 则52+x2=122， 解得：x2=119， 故x2的值为169或119； （3）∵a=2，b=4， ∴， ∴， 若△ABC是钝角三角形， 则或， 则或， ∴或； 若△ABC是直角三角形， 则或， 则或； 若△ABC是锐角三角形， 则或， 则或， ∴． 【点睛】此题主要考查了勾股定理及其逆定理以及三角形的三边关系，正确进行相关计算是解题关键． 44．先观察下列各组数，然后回答问题： 第一组：，，； 第二组：，，； 第三组：，，； 第四组：，，； （1）根据各组数反映的规律，用含的代数式表示第组的三个数； （2）如果各组数的三个数分别是三角形的三边长，那么这个三角形是什么三角形？请说明理由； （3）如图，，，，若，，为上列按已知方式排列顺序的某一组数，且，，求的长． 【答案】（1），，；（2）直角三角形，见解析；（3） 【分析】（1）根据已知数据即可得到结果； （2）根据勾股定理判断即可； （3）根据题意可得出，，，在根据勾股定理计算即可； 【详解】（1）∵第一组：，，； 第二组：，，； 第三组：，，； 第四组：，，； ， ∴第组：，，． （2）直角三角形； 证明：为正整数， ． 以，，为三边的三角形是直角三角形． （3），，为上列按已知方式排列顺序的某一组数， 这组数为第九列：，，， 即，，． ， ． ，， ． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用和找规律，准确分析计算是解题的关键． 题型七、求最短路径（勾股定理的应用） 解题技巧提炼 求最短路径问题，可以利用轴对称图形的性质以及两点之间距离公式，利用轴对称作出图形求出最短距离． 45．小明求代数式的最小值时，采用如下方法：如图，在同一直角坐标平面内，设为轴上的一个动点，选取点和，根据两点的距离公式得，，通过构造，将求代数式的最小值转化为求的最小值，由此小明求出的最小值等于 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了利用轴对称求最值问题以及两点之间距离公式，根据原式表示的几何意义是是点M到点的距离之和的最小值，利用轴对称作出图形求出的长即可，正确转化代数式为两点之间距离问题是解题关键． 【详解】如图所示，根据原式表示的几何意义是点M到点的距离之和的最小值，可作B点关于x轴的对称点，连接，此时的长即为所求代数式的最小值， ∵， ∴， ∵ ∴ ， ∴的最小值等于5 ， 故答案为：5． 46．将矩形纸片按如图所示折叠，已知，，，，则蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是 ． 【答案】26 【分析】本题考查平面展开—最短路径问题，两点之间线段最短，勾股定理，要注意培养空间想象能力，解题的关键是熟练掌握两点之间线段最短．根据题意画出矩形纸片的平面展开图，根据两点之间线段最短连接即可． 【详解】解：依题意，如图， 根据题意可得：展开图中的，． 在中，， ∴， 即蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程是． 故答案为：26． 47．如图，长方体的长为，宽为，高为，点到点的距离是，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离为 ． 【答案】 【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．本题考查的是平面展开−最短路径问题，根据题意画出长方体的侧面展开图，根据勾股定理求解是解答此题的关键． 【详解】解：把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图： 由题意得， ∵长方体的宽为，高为，点离点的距离是， ∴； 把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图： 由题意得 长方体的宽为，高为，点离点的距离是， ； 把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图： 由题意得 长方体的宽为，高为，点离点的距离是， ； ， 蚂蚁爬行的最短距离是． 故答案为：． 48．如图，动点从点出发，沿着圆柱的侧面移动到的中点，若，点移动的最短距离为5，则圆柱的底面周长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查利用勾股定理最短路径问题，得出点P移动的最短距离是是解答的关键． 根据圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求出即可求解． 【详解】解：圆柱的侧面展开图如图，点P移动的最短距离为， 根据题意，，， ∴， ∴圆柱的底面周长为． 故答案为：6． 49．如图，一只蚂蚁从A点沿圆柱侧面爬到顶面相对的B点处，如果圆柱的高为，圆柱的半径为，那么最短路径长（   ） A．8 B．6 C．10 D．15 【答案】C 【分析】此题主要考查了平面展开最短路径问题，做此类题目先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．首先根据题意画出示意图，连接，根据圆的周长公式算出底面圆的周长，底面圆的周长，再在中利用勾股定理算出的长即可． 【详解】解：把圆柱一半侧面展开，如图，连接， 圆柱的底面半径为， ， 在中，， ， 即蚂蚁爬行的最短路径长为． 故选：C 50．直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从点开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点停止．求彩条的最短长度． 【答案】 【分析】本题考查的勾股定理得实际应用，如果从点开始经过4个侧面缠绕2圈到达点，相当于直角三角形的两条直角边分别是和，再根据勾股定理求出斜边长即可． 【详解】解：将长方体的侧面沿展开，取的中点，取的中点，连接，，则为所求的最短彩条长， 由题意得，， 由勾股定理得， 同理可得， ∴， 答：所用彩条最短长度是． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$